Compito di Esame del 27 gennaio 2015 - Unità 1
Gianluca Ferrari 3 settembre 2018
Esercizio 1
Si studi, al variare di α ∈ R, la convergenza della serie
∞
X
n=1
1
n2 − sin 1 n2
nα+ 1 1 +√
n
α
.
Soluzione:
Per cominciare, consideriamo la successione presente all’interno della prima parentesi della serie. Ricor- dando lo sviluppo di Taylor della funzione
sin x = x −x3
6 + o(x3),
avremo che
sin 1 n2 = 1
n2 − 1
6n6 + o 1 n6
,
perciò potremo riscrivere tale successione come
1 n2 − 1
n2 + 1
6n6 + o 1 n6
=
1
6n6 + o 1 n6
.
Avvalendoci del criterio del confronto asintotico, è possibile determinare una serie asintoticamente equi- valente a quella data. Nello specifico, per n → +∞ avremo che
a. se α > 0
nα+ 1 1 +√
n
α
∼ nα n12
α
= 1
n12α−α2 b. se α < 0
nα+ 1 1 +√
n
α
∼
1
√n
α
∼ 1 nα2 1
c. se α = 0
nα+ 1 1 +√
n
α
∼ 1
Di conseguenza, nel caso α > 0, la serie di partenza sarà asintoticamente equivalente a
∞
X
n=1
1
n2 − sin 1 n2
nα+ 1 1 +√
n
α
∼
∞
X
n=0
1 6n6
1 n12α−α2
∼
∞
X
n=0
1 n6
1 n12α−α2
=
∞
X
n=0
1 n12α−α2+6. Essendoci ricondotti ad una serie armonica generalizzata, sappiamo che questa converge se e solo se
6 +α
2 − α2> 1 =⇒ 2α2− α − 10 < 0 Le soluzioni dell’equazione associata sono
α1,2 =1 ±√ 1 + 80
4 = 1 ± 9
4 =⇒ n1=5
2 ∨ n2= −2.
La disequazione avrà come soluzioni
−2 < α < 5 2, da mettere a sistema con α > 0, per ottenere dunque
0 < α < 5 2.
Nel caso α < 0 la serie di partenza soddisferà l’equivalenza asintotica
∞
X
n=1
1
n2 − sin 1 n2
nα+ 1 1 +√
n
α
∼
∞
X
n=0
1 6n6
1 nα2
∼
∞
X
n=0
1 n6
1 nα2
∼
∞
X
n=0
1 nα2+6. Imponendo nuovamente la condizione di convergenza della serie armonica generalizzata si ha
α
2 + 6 > 1 =⇒ α > −10, da mettere a sistema con α < 0, ottenendo la soluzione
−10 < α < 0.
Infine, nel caso α = 0, la serie soddisferà l’equivalenza asintotica
∞
X
n=1
1
n2 − sin 1 n2
nα+ 1 1 +√
n
α
∼
∞
X
n=0
1 6n6 ∼
∞
X
n=0
1 n6, che è convergente.
In definitiva, la serie assegnata converge per
α ∈
−10;5 2
.
2
