Compito di Esame del 17 febbraio 2015 - Unità 2
Gianluca Ferrari 29 agosto 2018
Esercizio 2
Si determinino i valori di β ∈ R per i quali l’integrale improprio Z +∞
1
xβlog x2+ 1 x2
dx
risulta convergente, e lo si calcoli per β = 0.
Soluzioni:
Riscriviamo l’integrale di partenza nel seguente modo:
Z +∞
1
xβlog
1 + 1
x2
dx.
Per x → +∞, avremo che
log
1 + 1
x2
∼ 1 x2,
di conseguenza, per il criterio del confronto asintotico, l’integrale di partenza sarà asintoticamente equivalente a
Z +∞
1
xβ 1
x2
dx =
Z +∞
1
1 x2−βdx.
L’integrale così ottenuto converge se e solo se 2 − β > 1 =⇒ β < 1.
Per tali valori di β converge anche l’integrale di partenza, sempre in virtù del teorema del confronto.
Ora, posto β = 0, l’integrale diventa Z +∞
1
log x2+ 1 x2
dx =
Z +∞
1
log
1 + 1
x2
dx.
1
Integrando per parti abbiamo che Z
log
1 + 1
x2
dx = x log
1 + 1
x2
− Z
x · x2
1 + x2· −2 x3
dx
= x log
1 + 1
x2
+ 2
Z 1
1 + x2dx
= x log
1 + 1
x2
+ 2 arctan x + c
Una volta determinata la famiglia di primitive per f , possiamo calcolare l’integrale improprio Z +∞
1
log x2+ 1 x2
dx = lim
t→+∞
x log
1 + 1
x2
+ 2 arctan x
t
1
= lim
t→+∞
t log
1 + 1
t2
+ 2 arctan t − log 2 − 2 arctan 1
= 0 + 2 ·π
2 − log 2 − 2 · π 4 =π
2 − log 2
2
