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ES.1 Sia f : R 7→ R definita da f (x) = q

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Esercitazione scritta di Analisi Matematica I - C.d.L. Civile Anno accademico 2003-2004

25/11/03

Rispondere ai seguenti quesiti giustificando le risposte.

ES.1 Sia f : R 7→ R definita da f (x) = q

4 − p x

2

− 9

a. Determinare il dominio e gli eventuali asintoti orizzontali e verticali.

b. La funzione ` e pari, dispari, periodica?

c. Determinare i punti in cui la funzione ` e continua.

d. Spiegare perch´ e a questo punto dello studio di f posso affermare che ammette massimo e minimo.

e. Determinare i punti in cui f ` e derivabile e gli eventuali punti singolari.

f. Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nei punti di ascissa x = −5, 3, 4.

g. Determinare gli eventuali punti critici e gli intervalli di crescenza e decrescenza.

h. Determinare il massimo, il minimo e i punti di massimo e di minimo della funzione.

i. Determinare la derivata seconda e giustificare l’esistenza di un punto di flesso con ascissa positiva e tangente obliqua, valutando i limiti agli estremi.

j. Disegnare il grafico di f

ES.2 Sia g : R 7→ R definita da x 7→

q 4 − p

x

2

− 9 − √ 2

A. Usando il grafico di f disegnare il grafico di g

B. Determinare l’immagine di g

C. Determinare i punti angolosi di g e le tangenti destre e sinistre in tali punti

D. Spiegare, da un punto di vista teorico, come possono essere trovati i massimi e minimi di g su [−9/5, −3] e calcolarli

E. Determinare al variare di k ∈ R il numero e il segno delle soluzioni dell’equazione g(x) = k

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