Problemi : dinamica
1.
Un blocco di massa M = 3.3 kg scorre su una superficie orizzontale senza attrito. Tale blocco è legato mediante una fune che passa attraverso una puleggia ad un secondo blocco di massa m = 2.1 kg.Fune e puleggia sono prive di massa. Mentre il blocco appeso cade, il blocco scorrevole subisce una accelerazione verso destra. Si calcoli:
a) accelerazione del blocco M;
b) accelerazione del blocco m;
c) tensione della corda.
blocco M:
, 0
,
=
−
=
=
=
=
=
Mg N
Ma F
Ma T
Ma F
y y
net
x x
net
blocco m:
ma mg
T ma F
ma F
y y
net
x x
net
−
=
−
=
=
=
=
,
, 0
i due corpi hanno stressa accelerazione a !!!
ma mg
T
Ma T
−
=
−
=
⇒
Ma = −ma+mgN s
kg m kg g kg
M m T Mm
s m s
kg m g kg
M m a m
13 /
8 . ) 9
1 . 2 3 . 3 (
) 1 . 2 )(
3 . 3 (
/ 8 . 3 /
8 . ) 9 1 . 2 3 . 3 (
1 . 2
2
2 2
+ = + =
=
+ = + =
= attenzione a
decimali e
cifre significative !!
2.
Un blocco di massa M = 15.0 kg è sospeso mediante 3 corde legate ad un nodo di massam
K , disposte come nel disegno. Le corde hanno massa trascurabile e si può ignorare la forza di gravità sul nodo.Quali sono i moduli delle tensioni nelle 3 corde ?
N s
m kg
Mg T
Ma Mg
T y
147 )
/ 8 . 9 )(
0 . 15 (
0
2 3
3
=
=
=
=
=
−
= +
+
= +
+
=
= + +
0 0
0
3 2
1
3 2
1
3 2 1
y y
y
x x
x
K K
T T
T
T T
T
a m T
T
Tr r r r
3 cifre significative
blocco
nodo
=
− +
= + +
−
0 47
sin 28
sin
0 0 47 cos 28
cos
3 0 2
0 1
0 2
0 1
T T
T
T T
=
− +
= +
−
0 147
73 . 0 47
. 0
0 68
. 0 88
. 0
2 1
2 1
N T
T
T T
=
=
=
=
N N
T
N N
T
134 5
. 134
104 9
. 103
2 1
[N.B. devo avere al massimo 3 cifre significative!]
3.
Un blocco di massa m = 15 kg è trattenuto da una fune su un piano liscio inclinato di un angoloθ=27
0.a) determinare la tensione T e la forza N;
b) se ora taglio la fune, quanto vale l’accelerazione del blocco?
= 0
= +
+ N F m a T r r r
gr
0 cos
0
0 sin
0
=
− +
=
− +
θ θ mg
N
mg T
N s
m kg
N
N s
m kg
T
131 27
cos ) / 8 . 9 )(
15 (
67 27
sin ) / 8 . 9 )(
15 (
0 2
0 2
=
=
=
=
a)
decompongo in x e y:
b) elimino la tensione T:
⇒ − mg sin θ = ma
=
= N F
ma F
gy
x gx
2 0
2
) sin 27 4 . 4 / /
8 . 9 (
sin m s m s
g
a = − θ = − = −
N.B. il modulo di a è inferiore a g essendo dovuta
solo alla componente di F
glungo il piano.
4.
Un passeggero di massa m = 72.2 kg sta su una bilancia nella cabina di un ascensore.a) Trovare una soluzione generale per la lettura della bilancia, valida per qualunque moto verticale della cabina.
b) che valori leggo sulla bilancia se l’ascensore è fermo o si muove con moto uniforme di velocità v = 0.50 m/s ?
c) che valori leggo se l’ascensore risente di una accelerazione verso l’alto o verso il basso pari ad a = 3.20 m/s2?
d) durante l’accelerazione verso l’alto quale è il modulo della forza netta sul passeggero e qual è l’accelerazione impressa al passeggero dal punto di vista del sistema di riferimento in moto? Il loro rapporto è m?
) ( g a m
N
ma F
N
a m F
N
g g
+
=
=
−
=
+ r r
r
N s
m kg
mg
N ( 72 . 2 )( 9 . 8 / ) 708 0
2
=
=
= r =
=
±
=
±
=
=
N s N
m s
m kg
a g m N
s m a
477 ) 939 /
20 . 3 /
8 . 9 )(
2 . 72 (
) (
/ 20 . 3
2 2
r
2a)
la lettura della bilancia dipende da a
b) a
c)
N ma
mg a
g m F
N F
a m F
N F
g net
g net
231 )
( + − = =
=
−
=
= +
= r r r
d) r
accelerazione del passeggero rispetto a cabina è 0
⇒ F/a ≠ m NON vale la legge di Newton (sistema non inerziale)
Problemi : forze di attrito e ritardanti
5.
Se le ruote di un’auto sono bloccate durante una frenata di emergenza l’auto slitta sulla strada. Le tracce di frenata più lunghe (290 m) sono state misurate nel 1960 in Gran Bretagna. Supponendo che il coefficiente di attrito dinamico fosse µd = 0.60, calcolare la velocità dell’auto all’istante di bloccaggio delle ruote.m x
x v
x x a v
v
290 0
) (
2
0
0 2
0 2
=
−
=
− +
=
devo determinare
a [è una decelerazione]
L’unica forza idonea a provocare a è la forza di attrito:
(1) L’accelerazioneè costante [le ruote sono bloccate]
applico le leggi del moto ad accelerazione costante
x d
x a
net
ma f
ma F
=
−
,
=
mg N
N f
d d=
= µ
Sostituendo in (1):
h km h
km s
m
m s
m x x g v
s m s
m m g
mg m
a f
d
d d
d
/ 209 3600 /
/ 1
10 / 58
58
) 290 )(
/ 8 . 9 )(
60 . 0 ( 2
) (
2
/ 9 . 5 /
8 . 9 60 . 0
3 2 0 0
2 2
⋅ =
=
=
=
−
=
−
=
⋅
−
=
−
=
−
=
−
=
−
µ
µ µ
6.
Una donna tira a velocità costante una slitta carica di massa m=75 kg, su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico fra i pattini e la neve è µd=0.10, e l’angolo φ è di 420.a) qual è il modulo T della tensione della fune?
b) se la donna tira la fune in modo che T aumenti,
il modulo della forza di attrito aumenta, diminuisce o rimane uguale ?
a)
Idea chiave:v è costante ⇒ a = 0 malgrado la slitta sia sotto tiro la sua accelerazione è nulla !!= 0
= +
+
+
N F f ma Tr r r
gr
dr
=
− +
=
− + +
0 0 0
0
g y
d x
F N T
f T
=
− +
=
−
0 sin
0 cos
mg N
T
N
T d
φ
µ φ
ho un sistema di 2 equazioni nelle 2 incognite T ed N:
d
N T
µ φ
= cos
s N m kg
T mg
mg T
mg T T
d d
d d
d
42 91 cos ) 42 )(sin 10 . 0 (
) / 8 . 9 )(
75 )(
10 . 0 ( cos sin
) cos sin
( sin cos
0 0
2 =
= +
= +
= +
−
=
φ φ
µ µ
µ φ φ
µ
µ φ φ
decompongo in x ed y:
φ µ
φ
φ sin
cos sin
d
mg T N
T mg
−
− =
=
b)
La forza di attrito è proporzionale ad N, quindi vedo come cambia N con T.Uso l’equazione in y:
φ sin T mg
N = −
⇒
al crescere ti T, N diminuisce.[aumenta la componente di T verso l’alto che quindi riduce la forza normale applicata dalla neve sulla slitta]
7. Una piccola sfera di massa m=3.00 g è rilasciata dalla quiete a t = 0 in una bottiglietta di shampoo liquido. Sapendo che la velocità limite è v
T=2.00 cm/s, trovare:
a) il valore della costante b;
b) il tempo τ necessario per raggiungere 0.632 v
l,
c) il valore della forza ritardante quando la sferetta raggiunge
la velocità limite
8. Una goccia di pioggia di raggio R=1.5 mm cade da una nuvola che si trova ad altezza h = 1200 m sopra il terreno.
Il coefficiente aerodinamico D per la goccia vale 0.60.
Supponendo la goccia sferica ed assumendo per le densità di aria e acqua i valori ρ
a= 1.2 kg/m
3ed ρ
w=1000 kg/m
3a) quale è la velocità limite della goccia ?
b) quale sarebbe la velocità raggiunta appena prima dell’impatto
con il terreno se non vi fosse alcuna forza di resistenza del mezzo ?
a) idea chiave: la velocità limite viene raggiunta quando la forza di gravità
bilancia la resistenza aerodinamica del mezzo
2
2 1
l
g R D Av
F
= = ρ
3 ) ( 4 R
3g
Vg mg
F
g= = ρ
w= ρ
wπ
h h km
s km m
m kg
m kg s
m m
D Rg R
D
R g A
D v F
a w a
w a
g l
/ 3600 27
/ 1
10 4 . / 7
4 . 7
) / 2 . 1 )(
60 . 0 ( 3
) / 1000 )(
/ 8 . 9 )(
10 5 . 1 ( 8
3 8 3
4 2 2
3
3
3 2
3
2 3
=
=
=
= ⋅
=
=
=
−
−
ρ ρ π
ρ π ρ
ρ
b) idea chiave: senza la resistenza dell’aria la goccia risente della accelerazione g [moto uniformemente accelerato]
h km s
m
m s
m gh
v
gh v
x x g v
v
f
i f f
/ 550 /
153
) 1200 )(
/ 8 . 9 ( 2 2
2 )
( 2
2 2 0 2
0 2
≈
=
=
=
+
=
− +
=
Problemi : forza centripeta/ moto circolare
9. Un oggetto di massa m
1percorre una circonferenza di raggio R su un piano privo di attrito, e sostiene un corpo
di massa m
2sospeso ad un filo che passa
attraverso un foro al centro della circonferenza.
Se l’oggetto sospeso rimane in equilibrio, a) quale è la tensione della fune ?
b) quale è la forza risultante sul disco ? c) quale è la velocità del disco ?
m2 m1
R
diagrammi delle forze:
T r
m
1F
cT r r
m
2=
F r
g10. Un’automobile di massa m=1600 kg viaggia con velocità costante su una pista circolare di raggio R = 190 m.
Quale è il valore minimo del coefficiente di attrito µ
s(pneumatici-terreno) che impedisce alla macchina di slittare verso l’esterno ?
idee chiave:
1) se l’auto percorre traiettoria
circolare è sottoposta a forza centripeta 2) unica forza orizzontale che agisce su
auto è attrito
⇒
forza centripeta = attrito3) l’auto non slitta verso l’esterno quindi è un attrito statico
4) se l’auto è sul punto di slittare il modulo della forza di attrito è massimo
N f
s,max= µ R
sf
smv
2 max
,
=
21 . ) 0 190 )(
/ 8 . 9 (
) / 20 (
2 2 2
2 2
=
=
=
=
=
m s
m
s m mgR
mv NR
mv R N
mv
s s
µ
⇒
µse µ
s< 0.21 l’auto slitta verso l’esterno
N.B. 4 µ
s∝ v
2[ho bisogno di attrito maggiore
per mantenere auto veloce in curva]
4 µ
snon dipende da m [vale per ogni corpo]
11. Un ingegnere vuole progettare una rampa sopraelevata per la strada, tale che le macchine non debbano fare affidamento sull’attrito per affrontare la curva senza slittare. Si supponga che l’auto percorra la curva a 48 km/h e che il raggio della curva sia 50.0 m.
Con quale angolazione deve essere sopraelevata la curva ?
Idea chiave: la forza centripeta è data dalla forza di attrito
macchina-strada
12. Nel rotore del Luna Park una persona viene fatta ruotare molto velocemente dentro un cilindro. La persona
rimane bloccata contro la parete quando il pavimento del cilindro viene aperto.
Il coefficiente di attrito statico tra la persona e la parete è µ
sed il raggio del cilindro è R.
a) determinare il massimo periodo di rotazione necessario perché la persona non cada.
b) dare un valore numerico per T se R=4.00m e µ
s=0.400.
Quanti giri al minuto deve
compiere il cilindro?
13. Un satellite geostazionario (o sincrono) orbita attorno alla Terra seguendo un’orbita perfettamente sferica e con un periodo orbitale coincidente con il periodo di rotazione della Terra attorno al
proprio asse. Si calcolino:
a) la quota del satellite rispetto al centro della Terra;
b) la sua velocità orbitale.
Idea chiave:
la forza centripeta che mantiene il satellite in orbita è data dalla forza di gravità Terra-satellite.
MeteoSat
=
=
=
=
T r r
v
r v m r
m G M
Fg T sat sat
ω 2 π
2 2
km m
kg Nm T
r GM
r T
GM
r T m
r m G M
r T m
T r r
m r
v m
T T
sat sat T
sat sat sat
42250 10
225 . 4
4
60s) 60
kg)(24 10
5.98 )(
/ 10
6 . 6 ( 4
4 4
4 2
6
3 2
2 24
2 2 11
3 2
2 3 2 2
2 2 2
2 2 2
2
≈
×
=
×
×
×
= ×
=
=
=
=
=
−
π π
π π
π π
Sapendo che il raggio della terra è R
T≈6370 km la quota del satellite, sopra la superficie terrestre è
km R
r
h = −
T≅ 35880
Ricavo la velocità orbitale del satellite:
s km s
m m kg Nm r
G M v
r v m r
m G M
T
sat sat
T
/ 3 /
10 3070 23
. 4
kg) 10
5.98 )(
/ 10
6 . 6 (
7
24 2
2 11 2
2
≈
× ≈
×
= ×
=
=
−
