Compito di Fisica Matematica, 11/2/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Verificare che la funzione f (x) = e−x(1 + arctan(x)2) appartiene ad L2(R+) ma non ad L2(R).
(2) Dopo avere verificato che la funzione f (x) =
(
x, x ∈ [0, 1] ∪ [π, 2π]
0, altrove
appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(3) Sia f (z) = sin(z)(ez3−zz4−1). Ottenere le parti singolari della f (z) associate alle sue singolarit`a.
(4) Risolvere l’equazione differenziale y00(t) + 5y0(t) + 4y(t) = t − 1, con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Ottenere la derivata debole di f (t) = u(−t)et e verificare che f0(t) `e una distribuzione temperata.
(6) Sia δn(x) := nΦ(nx) una successione costruita a partire da una funzione Φ(x) ≥ 0, a supporto in [−1, 1], di classe C∞ con R
RΦ(x)dx = 1. Dimostrare che δn(x) converge debolmente a δ(x).
(7) Determinare quante sono le diagonali di un poligono di n lati ed n vertici, n ≥ 3.
(8) Si estraggono 8 palline da un’urna contenente 20 palline numerate da 1 a 20. Determinare la probabilit`a che il numero pi`u basso estratto sia 5.
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