Compito di Fisica Matematica, 22/1/2008
Prof. F. Bagarello
Lo studente da 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello da 9 cfu ne risolva almeno 6:
(1) Sia C(0, 1) lo spazio vettoriale lineare delle funzioni continue in (0, 1). Dimostrare che le funzioni f1(x) = cos(x), f2(x) = x ed f3(x) = ex sono linearmente indipendenti. Dimostrare che esse non sono un sistema di generatori per C(0, 1).
(2) Ottenere lo sviluppo in serie di Fourier per la funzione f (x) = | sin(x)|.
(3) Ottenere la parte singolare della funzione f (z) = z3−z1 4 in corrispondenza dei suoi punti singolari.
(4) Calcolare l’integrale
I = Z 2π
0
cos(θ) 4 − cos(θ)dθ (5) Verificare che la funzione
f (x) =
x + 1 x ∈ [−1, −1/2]
1 x ∈] − 1/2, 1/2[
−x + 1 x ∈ [1/2, 1]
0 altrove appartiene ad L2(R) e calcolarne la trasformata di Fourier.
(6) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+4y0(t)+3y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = 5 e y0(0) = 2 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(7) Verificare che la funzione f (x) =
x x ∈ [0, 1[
2 − x x ∈ [1, 2]
0 altrove
`e una densit`a di probabilit`a.
Ottenere la funzione cumulativa associata e la probabilit`a che la variabile aleatoria assuma valore tra 0.2 e 0.8.
(8) Calcolare i momenti di ordine 1,2 e 3 della variable aleatoria associata alla densit`a di probabilit`a dell’esercizio precedente. Ottenere poi la funzione caratteristica e verificare il risultato appena ottenuto.
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