Compito di Fisica Matematica, 7/9/2009
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 9cfu risolva almeno sei dei seguenti quesiti e quello da 6 cfu almeno quattro:
(1) Calcolare il residuo della funzione f (z) = πe(z2+2i)z4+9 in corrispondenza dei suoi punti singolari.
(2) Calcolare i seguenti integrali
I1= Z ∞
−∞
x3dx
x6+ 1, nonch`e I2= Z ∞
0
x2dx x4+ 1
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0= 0 la f (z) = ez2+π(1 + z4) e determinarne il raggio di convergenza.
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) = (
ex, x ∈ [−π2,π2];
0, altrove,
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) =
( sin(x), x ∈ [−1, 1];
0, altrove.
(6) Calcolare l’antitrasformata di Fourier della funzione ˆf (p) ottenuta nell’esercizio precedente.
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
2, t ∈ [0, 1[;
−2, t ∈ [1, 2[;
0, altrove.
(TdP1) Ottenere N , se possibile, in modo che la funzione f (x) = Nxx42+1dx sia una densit`a di probabilit`a. Ottenere i momenti della variabile aleatoria associata fino al terzo ordine.
(TdP2) Consideriamo un’urna contenente dei bussolotti numerati da 1 a 5. Determinare la probabilit`a che, in tre estrazioni successive (con reintroduzione), i risultati appaiano in ordine non decrescente.
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