Riportare i seguenti dati anche sui fogli protocollo con lo svolgimento:

prima prova parziale Geometria 2 parte A - 22 novembre 2019

Vanno consegnati: questo testo e al pi` u due fogli protocollo con lo svolgi- mento (leggibile e ben giustificato) degli esercizi.

Riportare i seguenti dati anche sui fogli protocollo con lo svolgimento:

Cognome: Nome:

Matricola:

Testo del compito:

Esercizio 1. Si considerino in un piano proiettivo due rette distinte r, s, sia O il punto di intersezione. e tre punti distinti e diversi da O su ciascuna, siano R ₁ , R ₂ , R ₃ ∈ r e S 1 , S 2 , S 3 ∈ s.

(a) Applicando il teorema di Pappo alle 6 coppie (di terne ordinate) R ₁ , R ₂ , R ₃ ∈ r e S _π(1) , S _π(2) , S _π(3) ∈ s, per π nel gruppo delle permutazioni di {1, 2, 3}, si ottengono in generale 6 rette di collineazione; mostrare che in generale le sei rette appartengono a due fasci; siano H e K i punti centri dei fasci. [sugg.: se π ` e un ciclo d’ordine 3, allora π, π ² , π ³ (= id) danno tre rette d’un fascio.]

(b) Determinare sotto quali condizioni, in termini dei due birapporti (O, R 1 , R 2 , R 3 ) e (O, S ₁ , S ₂ , S ₃ ), le rette di uno dei fasci coincidono tra loro.

(c) Mostrare che se (O, R 1 , R 2 , R 3 ) = (O, S 1 , S 2 , S 3 ) allora le tre rette di uno dei due fasci (quale?) formano con H ∨ K una quaterna armonica; vale il viceversa? In quali casi in entrambi i fasci le tre rette formano una quaterna armonica con H ∨ K?

Esercizio 2. Una proiettivit` a di P ⁴ (K) ha tre soli punti uniti. Determinare le possibili forme di Jordan, e per ciascuna descrivere la configurazione dei sottospazi uniti.

In particolare discutere le posizioni reciproche delle rette unite.

Esercizio 3. Si consideri la forma bilineare g di V = R ⁴ di matrice

G =







1 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 −1

1 1 −1 1







nella base canonica.

(a) Scrivere la forma quadratica Q(X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ) associata alla forma g, trovarne una base ortogonale, determinare rango e segnatura di g.

(b) Trovare due sottospazi complementari di V isotropi per g, e scrivere la matrice di g

in una base formata dalla unione delle basi dei due sottospazi trovati.

Risultati per il primo esercizio (variazioni sul teorema di Pappo).

Il primo punto si pu` o fare sia in modo astratto, sia tramite conti in coordinate, che poi aiutano a risolvere i successivi punti.

Astratto: consideriamo il 3-ciclo (1, 2, 3) e le sue potenze; siccome le rette di collineazione sono determinate dai tre punti R 1 S π2 ∧ R 2 S π1 , R 1 S π3 ∧ R 3 S π1 , R 2 S π3 ∧ R 3 S π2 , abbiamo che le tre rette associate sono determinate dai tre punti delle righe di

R ₁ S ₂ ∧ R ₂ S ₁ R ₁ S ₃ ∧ R ₃ S ₁ R ₂ S ₃ ∧ R ₃ S ₂ R 1 S 3 ∧ R 2 S 2 R 1 S 1 ∧ R 3 S 2 R 2 S 1 ∧ R 3 S 3

R ₁ S ₁ ∧ R ₂ S ₃ R ₁ S ₂ ∧ R ₃ S ₃ R ₂ S ₂ ∧ R ₃ S ₁

e prendendo due triangoli scegliendo i vertici uno da ciascuna riga, verifichiamo subito che sono omologici (usando il teorema di Pappo, si tratta dei tre punti di una retta di collineazione di una delle altre permutazioni!), e di conseguenza prospettivi, il che dimostra che le tre rette di collineazione sono concorrenti. Per le altre tre rette segue applicando uno scambio di indici.

In coordinate: usiamo O =  ₁

0 0



, R ₁ =  ₀

1 0



, S ₁ =  ₀

0 1



, R ₂ =  ₁

1 0



, S ₂ =  ₁

0 1



, R ₃ =  ₁

x 0



, S ₃ =  ₁

0 y

 . Qualche facile conto d` a che le rette di collineazione per id, (123), (132) sono

 _y−x

1−y x−1



,  _y−1−xy

1 x



,  _x−1−xy

y 1



, visibilmente concorrenti in H =

 _1−xy

(1−y)(x

−x+1) (1−x)(y

−y+1)

 . Per le altre tre permutazioni (12), (1, 3), (2, 3) otteniamo le tre rette

 _xy−x−y

1 1

 ,

 _1−x−y

y x

 ,

 _1−xy

y−1 x−1



, visibilmente concorrenti in K =

 _y−x

(y−1)(x

−x+1) (1−x)(y

−y+1)

 .

Siccome x = (O, R ₁ , R ₂ , R ₃ ) e y = (O, S ₁ , S ₂ , S ₃ ), le tre rette per H coincidono tra loro se i due birapporti sono uno inverso dell’altro ed equianarmonici (cio` e equianarmonici discordi), e le tre rette per H coincidono tra loro se i due birapporti sono uguali ed equianarmonici (cio` e equianarmonici concordi).

Calcolando il birapporto delle rette per H nel caso x = y si trova sempre 1/2, quindi

la quaterna ` e armonica, e viceversa. Perch´ e anche l’altro birapporto (rette per K) sia

armonico si deve avere anche la condizione (O, R ₁ , R ₂ , R ₃ ) = (O, S ₁ , S ₃ , S ₂ ), quindi xy = 1

(e x = y), da cui segue x = y = −1, cio` e servono quaterne armoniche in partenza, nel qual

caso i punti H e K sono sulla retta per R ₁ ed S ₁ e ne sono separatori armonici.