A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N. 13 ARGOMENTO: Tangenti a grafici di curve. Derivata a destra e a sinistra. Uso delle finestre in DERIVE.
(LEZIONI n. 15 e 16) ATTIVITA' N. 1:
Determinare l'equazione della retta tangente al grafico delle seguenti funzioni nel punto di ascissa a fianco indicata: 1
a) f(x):=x2+x+2, x0=1; b) f(x):=x2+x+2, x0 =0;
c) f(x):= 1 ; d) ;
x2+1
, x0 =1 f(x):=x3+x+2, x0=1 e) f(x):= x2−1 , x0 =2; f) f(x):= x2−1 , x0=1.
La retta tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto di ascissa x0 ha equazione .
y=f (x0) ⋅ (x−x0) +f(x0)
a) E' f(x0) =f(1) =4. Poiché f (x) =2x+1, è f (x0) =f (1) =3.
Quindi la retta tangente ha equazione: y=3(x−1) +4, vale a dire y=3x+1.
b) E' f(x0) =f(0) =2, f (x) =2x+1 e quindi f (x0) =f (0) =1, dunque la retta tangen- te ha equazione y=x+2.
c) La funzione può essere presentata nella forma: f(x):= x2+1 .
−1/2
Applicando il teorema della derivazione delle funzioni composte si ottiene:
f (x) = −1 2
x2+1
−3
2 ⋅2x= − x
x2+1
3 .
E' f(x0) =f(1) = 1 .
2
e f (x0) =f (1) = − 1 2 2 L'equazione della retta tangente cercata è quindi:
, y= − 1
2 2 (x−1) + 1 2
che, eseguendo i calcoli e razionalizzando , equivale a .
y= − 2
4 x+3 2 4
d) E' f(1) = 4. Poiché f (x) =3x2+1, e` f (1) =4, quindi la tangente cercata è:
, y=4(x−1) +4 ossia y = 4x.
1 Altri esercizi dello stesso tipo possono essere trovati in G. C. Barozzi, "Primo Corso di Analisi Matematica", ed. Zanichelli, a pag. 484.
Schede di lavoro guidato per le esercitazioni
?
e) Può essere utile tracciare il grafico della funzione data: si tratta di una parabola che interseca l'asse delle ascisse nei punti x=1 e x= −1, sottoposta alla trasformazione de- scritta nella Scheda n. 6, Attività n. 8 (i punti della parabola con ordinata negativa ven- gono trasformati nei loro simmetrici rispetto all'asse delle ascisse).
La funzione può essere presentata in questa forma:
f(x):= .
x2−1, x∈ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[
1−x2, x∈ ]−1, 1[
Nel punto x = 2 la funzione y= x2−1 coincide con la funzione y=x2−1. Avremo così: f(2) =3 ed f (2) =4, quindi la retta tangente ha equazione y=4(x−2) +3, vale a dire y=4x−5.
f) La funzione è la stessa presa in esame nell'esempio precedente. Dall'esame del grafi- co appare evidente che la tangente richiesta non esiste: infatti esiste la derivata a sini- stra della funzione nel punto di ascissa x =1: fs(1) = −2; esiste la derivata a destra della funzione: fd(1) =2, ma i due valori non coincidono. 2
Si noti che nel punto x = 1 la funzione data è continua.
ATTIVITA' N. 2:
In questa Attività si vuole tracciare con DERIVE il grafico delle precedenti funzioni e delle rette tangenti ad essi nei punti indicati.
Selezionare Author e digitare la prima funzione: f(x):= x^2+x+2 <↵↵>.
Esistono vari modi per calcolare con DERIVE il valore della derivata di una funzione nel pun- to di ascissa x = x0, ove x0 è un valore specificato; il primo modo consiste nel calcolare la deri- vata della funzione con il comando Calculus Differentiate 3, poi assegnare a x il valore desiderato, evidenziare la derivata ottenuta e infine selezionare Simplify.
Si noti che non ha importanza l'ordine con cui vengono impartiti questi comandi: se an- che viene prima assegnato il valore x0 ad x, poi viene calcolata la derivata, DERIVE calcola comunque la derivata simbolica e provvede alla sostituzione del valore x0 ad x solo quando si impartisce il comando Simplify.
Appena ottenuta la derivata, selezionare Author e digitare x:= x <↵↵> per "liberare" la variabile x. Senza questo comando DERIVE continuerebbe a calcolare ogni espres- sione contenente la variabile x valutandola secondo il valore numerico assegnato ad x.
Un altro modo è quello di calcolare la derivata della funzione con il solito comando Calculus Differentiate, per poi utilizzare il comando Manage Substitute.
Come si è già visto nella Scheda n. 11, il vantaggio di questo modo di agire è che l'as- segnazione ad x del valore desiderato non è permanente, cioè non resta attiva per tutta la sessione di lavoro o fino ad una successiva assegnazione, ma viene effettuata solo per il calcolo desiderato e la variabile x viene "liberata" automaticamente.
Una volta calcolato il valore della derivata della funzione nel punto desiderato, è facile ottenere l'equazione della retta tangente con la nota formula
. y=f (x0) ⋅ (x−x0) +f(x0)
Selezionare Author e digitare f(x):= seguito dalla funzione a) vista nell'Attività n. 1.
2 V. G. C. Barozzi, op. cit., Proposizione 4.1-2, pag. 242.
3 V. Scheda n. 12, seconda parte dell'Attività n. 4.
:
Selezionare Calculus Differentiate, premere <R↵↵> per confermare di voler operare con la funzione ora digitata, premere ancora <↵↵> per confermare la variabile x, premere ancora <↵↵>
per confermare l'ordine della derivata desiderata. Selezionare Simplify.
Si ottiene la derivata della funzione data.
Selezionare Manage Substitute, premere <↵↵> per confermare di voler operare sull'ultima espressione calcolata; nel campo Value digitare al posto di x l'ascissa del punto desiderato, in questo caso 1; premere <↵↵> per confermare. Selezionare Simplify.
Si ottiene il valore della derivata della funzione nel punto di ascissa 1, vale a dire il co- efficiente angolare della retta tangente in quel punto al grafico della funzione.
Selezionare Author, digitare y=, evidenziare la derivata precedentemente calcolata, premere il tasto funzione <F3> per richiamare quel valore nella linea di editing, poi digitare (x-1)+f(1)
<↵↵>. Selezionare Simplify.
Si ottiene così l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa 1.
Evidenziare con i tasti cursore la funzione digitata, selezionare Plot Overlay 4, poi ancora Plot, quindi, senza aspettare che il disegno sia concluso, selezionare Algebra, evidenziare l'equazione della retta tangente ora ottenuta e selezionare ancora per due volte Plot.
Appare il grafico della funzione e della retta tangente desiderata. Se necessario preme- re i tasti funzione <F9> o <F10> per modificare la scala. 5
Ripetere le precedenti azioni per tutte le funzioni proposte.
Si noti il particolare comportamento di DERIVE nei casi e) ed f): la derivata della fun- zione viene espressa attraverso la funzione sign. Questa funzione differisce dalla fun- zione sgn x definita nel Testo di riferimento nel Capitolo 1 a pag. 40 nel caso in cui l'argomento è 0: per DERIVE, sign(0) non è uguale a 0, ma è una espressione "priva di significato"; per questo motivo sign(0) con DERIVE non si semplifica ulteriormente 6. ATTIVITA' N. 3:
In questa Attività si vuole ancora determinare con DERIVE l'equazione della retta tangente al grafico di una data funzione, utilizzando, contrariamente a quanto visto nella precedente At- tività, una funzione predefinita di DERIVE.
Selezionare Transfer Clear e rispondere Y alla domanda Abandon expressions?.
Il foglio di Algebra viene cancellato: in pratica è come se iniziassimo una nuova sessio- ne di lavoro.
Selezionare Author e digitare di nuovo la prima funzione: f(x):=x^2+x+2 <↵↵>.
Selezionare Transfer Load Utility, nel campo File digitare dif_apps <↵↵>. 7
Viene caricato il file specificato che contiene una libreria di funzioni predefinite tra cui quella che ci interessa in questa Attività: tangent.
Selezionare Author e digitare tangent(f(x),x,1) <↵↵>, poi selezionare Simplify.
4 Gli utenti che usano una versione di DERIVE precedente la 2.5 non dovranno prima selezionare Overlay.
5 V. Scheda n. 5, Attività n. 9.
6 In certe versioni di DERIVE sign(0) viene semplificato in ±±1.
7 Per i file di Utility, vedi Scheda n. 3, Attività n. 8. Il carattere _ non va confuso con il trattino - .
:
La funzione tangent(f(x),x,x0) fornisce direttamente l'equazione della retta tangente al grafico della curva di equazione y = f(x), ove x è la variabile indipendente, nel punto di ascissa x0. Si noti che, come è abitudine di DERIVE, viene sottinteso il primo membro y= dell'equazione della retta tangente ottenuta.
Se lo si desidera, tracciare il grafico sia della funzione che della retta tangente trovata utiliz- zando l'ormai ben noto comando Plot.
Ripetere le precedenti azioni per tutte le funzioni proposte nell'Attività n. 1.
ATTIVITA' N. 4:
Tracciare con DERIVE il grafico della funzione y=ax2−2x+1, che dipende dal parametro a.
Si tratta ovviamente del grafico di una parabola, anzi, di un fascio di parabole.
Selezionare Author, digitare Vector(ax^2-2x+1,a,-5,5) <↵↵>, selezionare Simplify e tracciare il grafico con il comando Plot.
Come noto con questi comandi vengono disegnati i grafici delle parabole di equazione , con il parametro a che varia a passo di 1 dal valore iniziale al va-
y=ax2−2x+1 −5
lore finale +5.
Dal grafico ottenuto appaiono alcuni fatti interessanti:
a) tutte le parabole sembrano avere in comune il loro punto di intersezione con l'asse delle ordinate;
b) tutte le parabole sembrano avere la stessa retta tangente in tale punto.
Sono fatti dipendenti dal nostro fascio con i coefficienti dati, o veri in generale per tutti i fasci aventi per parametro il coefficiente di x2?
La congettura a) è sicuramente vera: tutte le parabole passano per il punto di ascissa 0 ed ordinata uguale al termine noto, che è uguale per tutte.
La congettura b) è meno evidente, ma una verifica con altri fasci (ad es. y = ax2 + 3x + + 2, y = ax2− 1/5x − 1) sembra confermarla.
In effetti è agevole dimostrarla.
Per il primo dei fasci proposti, la tangente cercata sarà la retta passante per il punto (0, 1) ed avente coefficiente angolare uguale al valore che la derivata della funzione assu- me nel punto x = 0.
Poiché f (x) =2ax−2, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in (0, 1) sarà −2, qualunque sia il valore del parametro a e la tangente sarà quindi la retta di equazione y= −2x+1.
Come si spiega il fatto che DERIVE sembra tracciare anche il grafico della retta tan- gente ora trovata?
ATTIVITA' N. 5:
Selezionare Author e digitare la seguente funzione f(x):= x^3+2x^2-x-2.
Determinare gli zeri della funzione.
Questi possono essere trovati manualmente scomponendo in fattori il polinomio:
x3+2x2−x−2=x2(x+2) − (x+2) = (x+2)(x2−1) = (x+2)(x+1)(x−1) da cui si ricavano, applicando la legge di annullamento del prodotto, gli zeri:
. x1= −2, x2 = −1, x3= +1
:
:
Gli zeri possono essere ottenuti anche selezionando soLve dopo aver evidenziato la funzione digitata.
Trovare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione, passante per il punto di ascissa uguale alla media aritmetica di due degli zeri della funzione: x1+x2.
2
Anche se non è difficile fare i calcoli manualmente. si consiglia di utilizzare la funzione tangent(f(x),x,-3/2), ove −3/2 è la media aritmetica dei due zeri −2 e−1. Si ottiene così la retta di equazione y= −1 .
4x+1 4
Tracciare con il comando Plot il grafico delle funzione e della retta tangente trovata.
Si può osservare un fatto interessante: sembra che il grafico della tangente passi per il punto (x3, 0). La cosa può essere facilmente confermata verificando che x3 è uno zero della tangente (ovviamente è anche l'unico).
Trovare l'equazione della retta tangente alla cubica per il punto di ascissa 0, media aritmetica degli zeri x2 e x3 e tracciarne il grafico.
Anche in questo caso la tangente sembra passare per il punto (x1 , 0).
Sorge allora spontanea la domanda se questo fatto è casuale oppure ha caratteri di generalità, cioè se la tangente ad una cubica, (grafico di una funzione polinomiale di terzo grado) condot- ta per il punto avente ascissa uguale alla semisomma di due degli zeri della cubica, passa per il punto dell'asse x avente ascissa uguale al terzo zero della cubica stessa. Ovviamente si suppo- ne che la cubica possegga tre zeri reali (non necessariamente distinti).
Prima di tentarne la dimostrazione, proviamo la validità della congettura con altri
"esperimenti".
Cancellare lo schermo di grafica con il comando Delete All, selezionare Algebra e ripetere gli esperimenti con le seguenti funzioni:
. y=x3+x2−6x e y=x3−2x2−4x+8 Si noti che la seconda di queste funzioni ha due zeri coincidenti.
E' facile verificare che in tutti questi casi la congettura appare vera. Cerchiamo quindi di dimo- strarla per una generica funzione polinomiale di terzo grado.
Poiché si suppone che la funzione polinomiale abbia tre zeri reali non necessariamente distinti, è possibile esprimere la sua equazione nella forma
. y=a(x−x1)(x−x2)(x−x3)
x 1 x 1 + x 2 x 2 x 3
2
Basterà ora verificare che la tangente ad essa nel punto di ascissa (x1+x2)/2 passa per il punto di coordinate (x3,0); è evidente che l'ordine con cui si indicano i tre zeri x1, x2, x3 non è rilevante.
La cosa può essere fatta manualmente, ma, noblesse oblige, lasceremo a DERIVE il compito di eseguire i calcoli.
Selezionare Option Input e, nel campo Mode, selezionare Word.
Questa opzione ci permetterà di usare gli stessi simboli, x1, x2, x3, qui usati: ad esempio il simbolo x2 sarà interpretata da DERIVE come identificatore di variabile e non come prodotto tra la variabile x e la costante 2.
Selezionare Author e digitare f(x):=a(x-x1)(x-x2)(x-x3) <↵↵>.
Selezionare ancora Author e digitare tangent( f(x), x, (x1 + x2)/2) <↵↵> poi selezionare Sim- plify per ottenere l'equazione della retta tangente.
Selezionare poi Factor, premere <↵↵> per confermare di voler operare con l'espressione prece- dente; alla richiesta variable 1: digitare x <↵↵>, alla richiesta variable 2: premere <↵↵> senza digitare nulla; premere <↵↵> un'ultima volta per confermare l'impostazione di default (Amount: Rational).
Nell'equazione ottenuta compare il fattore (x - x3). Ovviamente la presenza di questo fattore comporta l'annullarsi del secondo membro dell'equazione per x = x3; ciò prova l'asserto che si voleva dimostrare.
Si noti anche che, come si è già detto, l'ordine degli zeri non ha alcuna importanza: ad esempio semplificando tangent(f(x),x,(x1+x3)/2) 8 si ottiene una espressione che con- tiene il fattore (x - x2).
ATTIVITA' N. 6:
Selezionare, in ambiente di Algebra, Transfer Clear e rispondere Y alla domanda Abandon expressions?
Come è noto (v. Scheda n. 7), questo comando azzera l'ambiente di Algebra; in questo caso anche la libreria di Utility che era stata caricata viene cancellata: in pratica è come se si iniziasse una nuova sessione di lavoro.
Si faccia però attenzione: le impostazioni generali (come ad esempio Options Preci- sion Digits, che come noto indica il numero di cifre decimali visualizzate in caso di calcolo approssimato) vengono mantenute. In particolare in questo caso il campo Mo- de di Options Input rimane impostato a Word, come settato nella precedente Attività.
Sarà quindi necessario accedere ancora esplicitamente al menu Options Input per ri- portare a Character l'impostazione Mode.
Selezionare Window Split Horizontal, nel campo At line digitare 20 <↵↵> 9.
Lo schermo appare diviso in due parti (finestre). Ciascuna finestra è individuata da un numero progressivo che appare nell'angolo superiore a sinistra. Il numero della finestra attiva, cioè quella su cui hanno effetto i comandi impartiti, è evidenziato e appare
8 Per rendere più veloce la digitazione si consiglia di richiamare nella linea di editing la precedente espressione con il tasto funzione <F3>, spostare il cursore con i tasti <ctrl> + <s>
ed effettuare le modifiche necessarie.
9 Questo valore si riferisce alla scheda grafica VGA nella modalità standard; se si dispo- ne di una scheda grafica inferiore, digitare un valore minore, ad esempio 16.
:
"illuminato". Si passa da una finestra all'altra, in modo ciclico, premendo il tasto fun- zione <F1>.
Dopo essersi accertati di avere attiva la finestra superiore, selezionare Window Split Vertical e, nel campo At column, digitare 39 <↵↵>.
La prima finestra viene così divisa verticalmente in altre due parti.
Se necessario, premere <F1> fino ad attivare la finestra n. 1.
Selezionare Window Designate e, nel campo Type, selezionare 2D-plot.
La finestra n. 1 viene così predisposta per il disegno di grafici.
Premere <F1> per attivare la finestra n. 2, selezionare ancora Window Designate 2D-plot.
Anche la finestra n. 2 viene predisposta per il disegno di grafici.
Al termine di queste operazioni lo schermo deve apparire così suddiviso:
La finestra orizzontale in basso (identificata dal n. 3) conterrà l'ambiente di Algebra, le due finestre verticali in alto conterranno due diversi ambienti di grafica. In quella di si- nistra (n. 1) tracceremo il grafico di alcune funzioni, in quella di destra (n. 2) traccere- mo il grafico delle loro derivate.
Premere <F1> fino ad attivare la finestra n. 3; selezionare Author e digitare la seguente fun- zione: x^4-2x^2-1 <↵↵>.
Premere <F1> per attivare la finestra n. 1 e selezionare Plot.
Nella finestra attiva viene tracciato il grafico della funzione digitata 10; si noti che è suf- ficiente selezionare il comando Plot una sola volta (e non due: una per passare all'am- biente di grafica e l'altra per tracciare il grafico); questo perché la finestra ora attiva è già stata designata come ambiente di grafica.
Premere due volte <F1> per attivare la finestra di Algebra (la n. 3).
Selezionare Calculus Differentiate per calcolare la derivata della precedente funzione. Sele- zionare Simplify.
Premere due volte <F1> per attivare la seconda finestra di grafica (la n. 2) e selezionare Plot.
Nella finestra attiva appare il grafico della funzione derivata.
Si possono notare simmetrie nei grafici che appaiono nelle due finestre superiori?
Cancellare il contenuto delle due finestra di grafica con il comando Delete All.
Premere <F1> per attivare la finestra di Algebra.
10 Se necessario, premere il tasto <F10> per modificare la scala. Si noti che le scale nelle due finestre di grafica sono indipendenti l'una dall'altra.
Ripetere le precedenti azioni (digitazione della funzione nella finestra di Algebra, tracciamento del grafico nella finestra n. 1, calcolo delle derivata nella finestra di Algebra, tracciamento del grafico della derivata nella finestra n. 2) per le seguenti funzioni:
f(x):=2 cos x−1; g(x):= 2−x2 .
Un utile esercizio è quello di tracciare prima i grafici manualmente seguendo le indica- zioni della Scheda n. 6, per poi verificare con DERIVE il risultato ottenuto.
Anche con queste funzioni è facile osservare che i grafici appaiono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate, mentre i grafici delle loro derivate appaiono simmetrici rispetto all'origine.
In altre parole tutte le funzioni digitate appaiono pari, mentre tutte le loro derivate ap- paiono dispari.
Cancellare il contenuto delle due finestre di grafica attivandole una alla volta e selezionando Delete All.
Ripetere ancora una volta le precedenti azioni con le seguenti funzioni:
f(x):= 1
3x, g(x):=sin 2x, h(x):=e−x sign(x).
Si consiglia di tracciare prima il grafico manualmente per poi verificare con DERIVE il risultato ottenuto.
E' facile osservare che i grafici delle funzioni appaiono simmetrici rispetto all'origine, mentre i grafici delle loro derivate appaiono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate.
In altre parole tutte le funzioni digitate appaiono dispari, mentre tutte le loro derivate appaiono pari.
ATTIVITA' N. 7:
Dai risultati della precedente Attività possiamo formulare la seguente congettura: la derivata di una funzione pari (se esiste) è dispari, mentre la derivata di una funzione dispari (se esiste) è pari.
Dimostrare la verità di questa congettura. 11
Iniziamo col ricordare che una funzione f si dice pari se, per ogni x appartenente al do- minio della funzione, è f(−x) =f(x), mentre si dice dispari se è f(−x) = −f(x). 12
Supponiamo che la funzione f sia pari.
Per definizione
f (x) = lim
h→0
f(x+h) −f(x)
h .
Dunque, grazie all'ipotesi che f è pari:
f (−x) = lim
h→0
f(−x+h) −f(−x)
h = lim
h→0
f(x−h) −f(x)
h =
da cui, ponendo −h=k e sfruttando la Proposizione 3.5-3 del Testo di riferimento (pag. 207), ove c= −1,
= lim
k→0
f(x+k) −f(x)
−k = −lim
k→0
f(x+k) −f(x)
k = −f (x).
In modo del tutto analogo si dimostra la proprietà "simmetrica": la derivata di una fun- zione dispari è una funzione pari.
11 V. G. C. Barozzi, op. cit., es. 4.1-8, pag. 243.
12 V. Definizione 3.1-2 a pag. 184 del Testo di riferimento.
?
ATTIVITA' N. 8:
La funzione f : R→R è così definita: f(x):=
sin x, per x≤0,
ax2+bx+c, per x>0.
Si dimostri la possibilità di scegliere a, b e c in modo che f sia:
a) continua ma non derivabile nell'origine;
b) ovunque derivabile ma priva di derivata seconda nell'origine;
c) due volte derivabile su R. Si verifichi che quest'ultima condizione determina univocamente a, b e c. 13
Si ha
x→0lim−f(x) = lim
x→0−sin 0=0, lim
x→0−f (x) = lim
x→0−cos x=1, lim
x→0−f (x) = lim
x→0−(−sin x) =0.
Analogamente
, ,
lim
x→0+f(x) = lim
x→0+(ax2+bx+c) =c lim
x→0+f (x) = lim
x→0+(2ax+b) =b .
lim
x→0+f (x) = lim
x→0+2a=2a
a) Se si vuole che la funzione sia continua nell'origine occorre che il limite a sinistra e quello a destra della funzione per x che tende a 0 coincidano, quindi che sia c = 0. Se si vuole che contemporaneamente la funzione non sia derivabile nell'origine, occorre che la derivata a destra e quella a sinistra siano diverse, quindi che sia anche b≠1.
b) Se si vuole che la funzione sia derivabile ovunque, è necessario che sia continua, quindi ancora c = 0. Inoltre, come si è visto, per assicurare la derivabilità anche nel- l'origine deve essere b = 1. Infine, perché non esista la derivata seconda nell'origine, le derivate seconde a destra ed a sinistra devono essere diverse, quindi dovrà essere
, vale a dire .
2a≠0 a≠0
c) Dai casi precedenti si deduce facilmente che se si vuole che la funzione sia due volte derivabile ovunque su R, deve essere c = 0, b = 1, a = 0.
13 V. G. C. Barozzi, op. cit., es. 4.3-7, pag. 250.
?
SINTESI MENU
Con il comando Option Input si gestiscono gli identificatori delle variabili: nel campo Mode selezionando Character gli identificatori sono costituiti da una sola lettera (questa è l'impo- stazione di default), selezionando invece Word sono accettati anche identificatori costituiti da due o più caratteri. Selezionando questa seconda opzione bisogna fare attenzione a digita- re i monomi con più lettere separandole l'una dall'altra con uno spazio. Ad esempio il mono- mio 3ab dovrà essere digitato 3 a b, altrimenti ab viene ovviamente interpretato come un unico identificatore di una variabile.
Nel campo Case selezionando Insensitive DERIVE non fa distinzione tra identificatori di va- riabili scritti in lettere maiuscole o minuscole (questa è l'impostazione di default); selezio- nando Sensitive, i simboli, ad esempio, x ed X vengono interpretati come identificatori di variabili differenti.
Il comando Transfer Clear azzera l'ambiente di Algebra e cancella dalla memoria eventuali file di Utility precedentemente caricati, ma non elimina le modifiche alle impostazioni di DE- RIVE nè cancella l'ambiente di grafica.
Per suddividere lo schermo di DERIVE in due finestre selezionare Window Split Horizontal oppure Vertical e specificare (rispettivamente nei campi At line e At column) la posizione in cui si desidera la divisione tra le due finestre. Questa posizione è misurata rispettivamente dall'alto e da sinistra.
Ogni finestra può essere divisa a sua volta in altre finestre; le finestre sono individuate da un numero posto nell'angolo superiore sinistro. Il numero della finestra attiva appare "illumina- to" cioè evidenziato in reverse. Si passa ciclicamente da una finestra all'altra premendo il ta- sto funzione <F1>. Ogni finestra è in pratica un diverso ambiente di DERIVE; possono così essere presenti contemporaneamente più file o fogli di lavoro o ambienti di grafica indipen- denti l'uno dall'altro. Per stabilire se nella finestra attiva si desidera l'ambiente di Algebra o quello di grafica, selezionare Window Designate e, nel campo Type, Algebra oppure 2D-plot. Per chiudere la finestra selezionare Window Close.
PER I SOLI UTENTI DI DERIVE VERSIONE 2.5 O SUCCESSIVA: Selezionando per la prima volta in una sessione di lavoro il comando Plot, si ottiene la richiesta Beside, Under, Overlay. Il primo equivale al comando Window Split Vertical, il secondo a Window Split Horizontal, il terzo alla creazione di una finestra di grafica a pieno schermo. Automatica- mente la nuova finestra così creata viene designata come finestra di grafica.
FUNZIONI
sign(espressione) fornisce 1 se espressione è positiva, −−1 se espressione è negativa. DERI- VE considera la funzione SIGN priva di senso se espressione è uguale a zero.
Tangent(f(x),x,x0) fornisce l'equazione della retta tangente (se esiste) al grafico della funzio- ne y=f(x) nel punto x0. Questa funzione è presente nelle libreria DIF_APPS.MTH richiamabi- le all'occorrenza con il comando Transfer Load Utility.
