Concavit`a e convessit`a: Posto x0= 1 2, calcolare la retta tangente al grafico della funzione nel punto (x0, f (x0)) 1

COGNOME NOME Matr.

Firma studente

1 2 3 4 5 6 Totale

A

ANALISI MATEMATICA 1 — 19 gennaio 2006

Esercizio 1

Studiare la seguente funzione

f (x) = x² − 4 x − 2

√ 4 x + 1

1. Insieme di definizione:

2. Limiti:

3. Derivata prima:

4. Punti stazionari:

5. Derivata seconda:

6. Concavit`a e convessit`a:

Posto x0= 1

2, calcolare la retta tangente al grafico della funzione nel punto (x0, f (x0))

1. Retta tangente:

Grafico della funzione f (x)

1

Esercizio 2

Determinare il massimo ed il minimo ed i punti di massimo e di minimo della funzione g(x) = (x − 1) e^x

nell’intervallo [− 1 , 2]

Massimo:

Punto di massimo:

Minimo:

Punto di minimo:

Esercizio 3

Assegnata la funzione funzione

f (x) = (x − 1) ln(x) Calcolare

1. Le primitive

L’integrale:

Z e 1

f (x) dx

Valore approssimato dell’integrale:

2

Esercizio 4

Calcolare le soluzioni della equazione differenziale seguente:

y⁰ = x² − x y − 1

Integrale generale:

Determinare l’integrale particolare che soddisfa la condizione:

y(0) = 1 − √ 3

Integrale particolare:

Esercizio 5

Assegnata l’equazione differenziale

2 y⁰⁰ + 2 y⁰ + y = e^−x/2sinx 2 Calcolare:

L’integrale generale della equazione omogenea associata

Un integrale particolare della equazione completa

L’integrale generale della equazione completa

Assegnate le condizioni iniziali:

y(π) = 1 y⁰(π) = 0

determinare la soluzione particolare che le soddisfa

3

Esercizio 6

Studiare la convergenza, al variare del parametro x della serie seguente:

+∞

X

k=0

3^k + 4 k

k + 2 (x² − x)^k Insieme di convergenza

4