I teoremi di Sylow Denis Nardin

I teoremi di Sylow

Denis Nardin

Lo scopo di questo breve saggio ` e di dimostrare i tre teoremi di Sylow.

L’ispirazione ` e dovuta a una lezione del corso di teoria di Galois del prof. Zannier e dall’ottimo libro di Herstein sull’algebra elementare.

In tutto l’articolo G ` e un gruppo finito e p un numero primo tale che p <sup>n</sup> divide esattamente G. Un p-Sylow ` e un sottogruppo di G di ordine esattamente p ⁿ .

Dimostriamo per cominciare un risultato pi` u debole, che ci servir` a nelle dimostrazioni successive.

Teorema 1 (Cauchy). Se p divide |G|, allora esiste x ∈ G di ordine esattamente p.

Proof. Consideriamo l’insieme

A = {(g ₁ , . . . , g _p ) ∈ G ^p | g 1 · · · g p = e}

Questo insieme ha cardinalit` a esattamente |G| <sup>p−1</sup> , infatti ogni p-upla ` e determi- nata completamente dai suoi primi p − 1 elementi, e questi possono essere scelti a caso. In particolare |A| ` e multiplo di p. Facciamo ora agire su di A il gruppo Z/(p) in questo modo:

1 + (g 1 , . . . , g p ) = (g 2 , . . . , g p , g 1 )

Infatti, poich` e g 2 · · · g p = g <sub>1</sub> <sup>−1</sup> anche il membro di sinistra sta in A. E un ` controllo immediato che questa ` e effettivamente un’azione. Ora, le cardinalit` a delle orbite dell’azione sono indici dei loro stabilizzatori, perci` o sono divisori di p, cio` e sono o 1 o p. Inoltre una p-upla ha orbita di cardinalit` a 1 se e solo se

g ₁ = · · · = g _p

Cio` e se l’elemento ` e della forma (g, . . . , g) con g ^p = e. Poich` e la somma della cardinalit` a delle orbite deve dare la cardinalit` a di A, che ` e multipla di p, ne segue che le orbite di cardinalit` a 1 devono essere un numero multiplo di p. Inoltre ce n’` e almeno una (l’orbita di (e, . . . , e)) perci` o ce ne sono almeno p. Quindi esiste g ∈ G diverso da e tale che g <sup>p</sup> = e. Ma allora g ` e l’elemento cercato.

Ora, forti del risultato precedente dimostriamo il primo teorema di Sylow nel caso di un gruppo abeliano.

Proposizione 1. Se G ` e abeliano, ha esattamente un p-Sylow.

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Proof. Sia

G p = {x ∈ G | ord(x) ` e una potenza di p}

Poich` e G ` e abeliano si vede immediatamente che G _p ` e un sottogruppo di G.

Inoltre poich` e tutti i suoi elementi hanno ordine una potenza di p, segue dal teorema di Cauchy che l’ordine di G p sia una potenza di p. Supponiamo ora che l’ordine di G/G p sia multiplo di p. Allora, per il teorema di Cauchy, esiste xG p di ordine p. Ma questo ` e assurdo, perch` e

(xG p ) ^p = G p ⇔ x ^p ∈ G p ⇔ x ∈ G p

perch` e se l’ordine di x <sup>p</sup> ` e una potenza di p, allora anche l’ordine di x lo ` e. Ma allora xG <sub>p</sub> = G <sub>p</sub> ha ordine 1 e non p. Quindi |G/G <sub>p</sub> | = |G|/|G <sub>p</sub> | non ` e multiplo di p, pertanto |G _p | = p ⁿ e G _p ` e il p-Sylow cercato. Inoltre ` e unico, perch` e gli elementi di un p-Sylow hanno tutti ordine una potenza di p.

Infine ricaviamo il primo teorema di Sylow in tutta generalit` a.

Teorema 2 (Primo teorema di Sylow). G ha almeno un p-Sylow.

Proof. Dimostriamolo per induzione su |G|. Il caso |G| = p ⁿ ` e ovvio, cos`ı come il caso n = 0. Supponiamo quindi di averlo dimostrato per tutti i gruppi il cui ordine ` e un divisore proprio di |G|. Scriviamo l’equazione delle classi per G

|G| = |Z(G)| + X

x∈R

|G|

|C(x)|

dove Z(G) ` e il centro, C(x) ` e il centralizzatore di x e R ⁰ ` e un insieme di rap- presentanti delle classi di coniugio non banali. Ora, se un C(x) ` e multiplo di p ⁿ , per l’ipotesi induttiva contiene il p-Sylow cercato. Altrimenti ogni addendo della somma al membro destro ` e multiplo di p. Ma anche il membro sinistro ` e multiplo di p, perci` o |Z(G)| ` e un multiplo di p.

Supponiamo che p ^k divida esattamente |Z(G)| e, grazie al caso dei gruppi abeliani, troviamo un p-Sylow H di Z(G). Osserviamo che k > 0 e che H ` e un sottogruppo normale, perch` e contenuto nel centro. Quindi possiamo considerare G/H. Il suo ordine ` e un divisore proprio di |G| e perci` o, per l’ipotesi induttiva, ha un p-Sylow K di ordine p ^n−k . Dalla struttura dei gruppi quozienti, possiamo dire che K ` e della forma P/H per qualche sottogruppo P di G. Ma allora

|P | = |K||H| = p ^n−k p ^k = p ⁿ e P ` e il p-Sylow cercato.

Per dimostrare il secondo e il terzo teorema di Sylow sar` a necessario un lemma tecnico. Nel seguito indicheremo con

N (H) = {x ∈ G | xHx ⁻¹ = H}

il normalizzatore di un sottogruppo H.

Proposizione 2. Sia P un p-Sylow. Se x ∈ N (P ) ha ordine una potenza di p, allora x ∈ P . In particolare, P ` e l’unico p-Sylow contenuto in N (P ).

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Proof. Consideriamo N (P )/P . Questo gruppo ha ordine primo con p, perch` e

|P | = p ⁿ divide esattamente N (P ) (questo perch` e p ⁿ divide esattamente |G|).

Quindi l’ordine di xP ∈ N (P )/P ` e primo con P . Ma x ^p

= e, per cui l’ordine di xP divide p. Quindi l’ordine di xP ` e 1 e x ∈ P .

Teorema 3 (Secondo e terzo teorema di Sylow). • Siano P ₁ , P ₂ due p-Sylow.

Allora sono coniugati.

• Il numero di p-Sylow di G ` e congruo a 1 modulo p

Proof. Osserviamo per cominciare che se P ` e un fissato p-Sylow, il numero dei suoi coniugati ` e |G|/|N (P )|. Infatti facendo agire G per coniugio sui suoi sottogruppi, lo stabilizzatore di P ` e proprio N (P ). Ma p <sup>n</sup> divide N (P ), perch` e ha P come sottogruppo, e perci` o |G|/|N (P )| non ` e divisibile per p. Quindi il numero di coniugati di P non ` e divisibile per p.

Siano ora P 1 , P 2 due p-Sylow di G, e facciamo agire P 2 sui coniugati di P 1

tramite coniugio. Con un ragionamento analogo al precedente, abbiamo che la cardinalit` a dell’orbita di xP 1 x <sup>−1</sup> ` e

|P 2 |

|P ₂ ∩ N (xP ₁ x ⁻¹ )| = p ⁿ

|P ₂ ∩ N (xP ₁ x ⁻¹ )|

Ora, si hanno due casi. Se P 2 = xP 1 x ⁻¹ la cardinalit` a dell’orbita ` e (ovviamente) 1. Altrimenti, poich` e P 2 per la proposizione precedente non pu` o essere contenuto in N (xP 1 x ⁻¹ ), il denominatore ` e una potenza di p minore di p <sup>n</sup> . Quindi se P <sub>2</sub> 6= xP 1 x <sup>−1</sup> , allora la cardinalit` a dell’orbita ` e multipla di p. Ma

|G|

|N (P 1 )| = X

x∈R

p ⁿ

|P 2 ∩ N (xP 1 x ⁻¹ |

per un opportuno insieme di rappresentanti R. Ora, il membro sinistro non

` e divisibile per p, per cui non pu` o esserlo neppure il membro destro. Perci` o gli addendi al membro destro non possono essere tutti divisibili per p, e deve esistere un x tale che P 2 = xP 1 x <sup>−1</sup> . Quindi P 1 e P 2 sono coniugati. Inoltre, poich` e P 2 pu` o stare in al pi` u un orbita, tutte le altre orbite sono divisibili per p. Quindi il numero di coniugati di P 1 ` e congruo a 1 modulo p. Ma abbiamo appena visto che i coniugati di P 1 sono tutti e soli i p-Sylow di G.

Concludiamo questa discussione con una propriet` a molto importante dei p- gruppi, cio` e dei gruppi di ordine esattamente p ⁿ .

Proposizione 3. Sia G un p-gruppo. Allora Z(G) ` e non banale.

Proof. Scriviamo l’equazione delle classi

|G| = |Z(G)| + X

x∈R

|G|

|C(x)|

Con R un opportuno insieme di rappresentanti delle classi di coniugio non banali.

Ora se x ∈ R, deve essere C(x) 6= G, per cui |G|/|C(x)| deve essere una potenza

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di p maggiore di 1. Ma allora la somma al membro di destra ` e multipla di p.

Ma il membro di sinistra ` e anche lui multiplo di p, perci` o deve esserlo anche

|Z(G)|, quindi non pu` o essere Z(G) =< e >.

Proposizione 4. Sia G un p-gruppo. Allora esiste una successione di sot- togruppi

< e >= G ₀ < G ₁ < · · · < G _n = G tale che |G _k | = p ^k

Proof. Andiamo per induzione su n. Il caso n = 0 ` e ovvio. Poich` e Z(G) ` e non banale, |Z(G)| = p <sup>k</sup> con k ≥ 1. Allora esiste g ∈ Z(G) di ordine esattamente p, per il teorema di Cauchy. Consideriamo il sottogruppo H =< g >. Questo ` e normale, perch` e ` e contenuto nel centro. Applicando l’ipotesi induttiva a G/H otteniamo una successione

G ⁰ ₀ < G ⁰ ₁ < · · · < G ⁰ _n−1

di sottogruppi di G/H di ordine G ⁰ _h = p ^h . Ma ogni sottogruppo del quoziente si pu` o scrivere come

G ⁰ _h = G h+1 /H

dove G _h+1 ` e un sottogruppo che contiene H. Posto G ₀ =< e >, abbiamo che i G _h formano la successione richiesta.

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