|xy| dxdy, dove T ` e il triangolo di vertici (0, 0), (1, −1), (1, 1).

Esercizio 1

Calcolare Z Z

T

|xy| dxdy, dove T ` e il triangolo di vertici (0, 0), (1, −1), (1, 1).

Esercizio 2

Determinare le soluzioni reali della seguente equazione differenziale:

y ⁰⁰ + 4y = x − cos 2x .

Esercizio 3

Determinare tre punti appartenenti al grafico della curva parametrica γ : [−1, 3] → R ³

definita da γ(t) = (t, 1 − 2t, −t)

Esercizio 1

Studiare la seguente forma differenziale:

ω = x dx + y dy (x ² + y ² ) ^3/2 .

Esercizio 2

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 y ⁰ = 2xy + 2x ³ y(0) = 0 .

Suggerimento. Se non si ricorda la formula risolutiva per le equazioni differenziali del tipo assegnato, si pu` o cercare una soluzione particolare tra i polinomi.

Esercizio 3

Ricordiamo l’enunciato del Teorema del prodotto di due numeri complessi: il pro-

dotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la

somma degli argomenti. Tenendo conto del concetto di rapporto, dedurre dal suddetto

teorema che il modulo del rapporto di due numeri complessi ` e il rapporto dei moduli e

l’argomento ` e la differenza degli argomenti.

Esercizio 1

Determinare il gradiente nel punto (0, 0) della funzione

f (x, y) =



 

 

2x − y + xy ² cos(x + 2y)

p x ⁴ + 3y ² se (x, y) 6= (0, 0) , 0 se (x, y) = (0, 0) .

N.B. C’` e un modo per svolgere l’esercizio effettuando pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 2

Determinare la soluzione del problema di Cauchy







y ⁰ = y x + 1 y(−1) = 1 specificandone il dominio.

Esercizio 3

Scrivere in forma trigonometrica e in forma algebrica il numero complesso z =

 4

√ 3 + i

 6

.

Esercizio 1 Determinare il

x→0 lim

y(2x) x ⁵ − x ³ ,

dove y(x) ` e la soluzione (massimale) del seguente problema di Cauchy:

y ⁽⁴⁾ + y = x ³ , y(0) = y ⁰ (0) = y ⁰⁰ (0) = 0, y ⁰⁰⁰ (0) = 1 .

N.B. C’` e un modo per svolgere l’esercizio effettuando pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 2

Determinare l’immagine della funzione

f (x, y) = 1

|x| + x ⁴ sen ² y + |y| , usando esclusivamente la nozione di immagine.

Esercizio 3

Scrivere in forma trigonometrica e in forma algebrica il numero complesso z = (1 + i) ⁶ .

Esercizio 1

Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f (x, y, z) = yz sen(x + y) − |z| p

x ⁴ + 2z ² + y ² 2 + cos xy + z ²

`

e derivabile (parzialmente) nel punto (0, 0, 0).

N.B. C’` e un modo per svolgere l’esercizio effettuando pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 2 Determinare il

x→0 lim

y(2x) x ⁸ + 2x ³ ,

dove y(x) ` e la soluzione (massimale) del seguente problema di Cauchy:

y ⁽⁴⁾ − y = x + cos x, y(0) = y ⁰ (0) = y ⁰⁰ (0) = 0, y ⁰⁰⁰ (0) = 1 .

N.B. C’` e un modo per svolgere l’esercizio effettuando pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Determinare almeno tre punti appartenenti al grafico dalla funzione

f (x, y, z) = x ³ − y ² + 2z ² + x − 2z.

Esercizio 1

Determinare il gradiente nel punto (−1, 1) della funzione f (x, y) =

Z _xy

1

t ² 3 + t ² dt .

N.B. C’` e un modo per svolgere l’esercizio effettuando pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 2

Determinare l’immagine della funzione

f (x, y) = |x ³ − y| exp(−|x ³ − y|).

N.B. C’` e un modo per svolgere l’esercizio effettuando pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Determinare almeno tre punti appartenenti al grafico dalla curva γ : [−5, 3] → R ³ definita

da γ(t) = (cos πt, sen πt, −1).

Esercizio 1

Determinare il volume dell’insieme

A = (x, y, z) ∈ R ³ : |x| + |y| + |z| ≤ 1 .

Esercizio 2

Determinare le soluzioni (in campo reale) dell’equazione differenziale y ⁰⁰⁰ + y = 2 sen(x + π/4).

Esercizio 3

Provare la seguente uguaglianza tra espressioni differenziali in R ² :

ds ² = dx ² + dy ² .

Esercizio 1

Calcolare Z Z

T

|x + 1| dxdy, dove T ` e il triangolo di vertici (−2, 0), (0, 0), (0, −1).

Esercizio 2

Determinare il gradiente di

f (x, y) = x ² y cos(x − y)

x ² + y ⁴ + 1 + sen 2x

1 + xy + x ² y ³ p

2 + x + y + y cos(x + y) nel punto (0, 0).

N.B. C’` e un modo per svolgere l’esercizio effettuando pochi semplicissimi calcoli.

Esercizio 3

Trovare tre punti appartenenti al grafico della funzione f : R ² → R definita da f (u, v) = u ² − v ² + 1.

In ciascuno dei punti trovati si determini un versore normale al grafico di f .

Esercizio 1

Determinare l’insieme dei punti (x, y) ∈ R ² in cui la funzione f (x, y) = y|x| sen x + x|y| cos y non ` e derivabile.

Esercizio 2

Determinare l’insieme dei numeri λ ∈ R per i quali l’equazione 1

|x| + |y − 1| + 1 + 2λ = 1 ammette almeno una soluzione (x, y) ∈ R ² .

Esercizio 3

Trovare i due versori normali al grafico della funzione f (x, y) =

Z xy 2

|t − 3|dt

nel punto (del grafico) corrispondente a (1, 2).

Esercizio 1

Calcolare Z Z

C

|x + 1| dxdy, dove C ` e il cerchio di raggio 2 con il centro in (−1, 3).

Esercizio 2

Determinare le soluzioni reali della seguente equazione differenziale:

y ⁽³⁾ − y = cos x.

Esercizio 3

Sia P (z) un polinomio complesso di grado n e sia k ∈ N tale che k ≤ n. Cosa significa

affermare che un numero z 0 ∈ C `e una radice di P (z) di molteplicit`a k?

Esercizio 1

Determinare l’immagine della funzione

f (x, y) = 2

|x ² + y + 3| − 3

usando esclusivamente la definizione di immagine (altrimenti l’esercizio non sar` a valu- tato).

Suggerimento. Fissare un arbitrario numero c ∈ R e stabilire se sta (o non sta) nell’im- magine di f , cio` e se l’equazione . . .

Esercizio 2

Determinare il dominio della soluzione massimale del seguente problema di Cauchy:

 y ⁰ = 2(1 − y ² )x, y(3) = 1.

Esercizio 3

Sia ω = A(x, y)dx + B(x, y)dy una forma differenziale esatta definita su R ² . Provare che

l’integrale curvilineo di ω esteso ad una qualunque curva in R ² dipende solo dagli estremi

della curva.

Esercizio 1

Determinare l’immagine della seguente funzione reale di variabile complessa:

f (z) = 2

|z ⁵ − 2z ² + 3i| + 3 .

Esercizio 2

Determinare il dominio della soluzione massimale del seguente problema di Cauchy:

( y ⁰ = y ² , y(0) = ¹ ₂ .

Esercizio 3

Usando esclusivamente la nozione di forma differenziale esatta, determinare una funzione

g(x, y) in maniera che ω = xydx + g(x, y)dy risulti esatta.

Esercizio 1

Determinare l’immagine della seguente funzione reale di due variabili reali:

f (x, y) = |x + y| exp(−|x + y|).

Esercizio 2

Provare che tra le soluzioni dell’equazione differenziale y ⁰⁰⁰ + xy ⁰ = 2(y − 1) c’` e almeno un polinomio di secondo grado.

Suggerimento. Chi cerca trova.

Esercizio 3

Sia f : R ² → R ² definita da f (x, y) = (x − 2y + 1, x ² + y + 3). Determinare due punti del

grafico di f .

Esercizio 1

Tra tutti i punti della retta

 x − y = 0, x + z = 1.

determinare quello pi` u vicino all’asse x. Concludere l’esercizio calcolando la distanza di detto punto dall’asse x.

Esercizio 2

Determinare l’immagine della funzione

f (x, y) = 1

1 + | cos x| + |y|

usando esclusivamente la definizione di immagine.

Esercizio 3

Provare che le funzioni e ^−x , sen x e cos x sono linearmente indipendenti (nello spazio

vettoriale C ^∞ (R) delle funzioni da R in R di classe C ^∞ ).

Esercizio 1

Calcolare Z

c

y dx,

dove la curva (di livello) c = (x, y) ∈ R ² : 3x ² + 2y ² = 7 `e orientata in senso antiorario.

Esercizio 2

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione f (x, y) = 2

p 3x ² + 2y ² + 9 nell’insieme A = (x, y) ∈ R ² : 3x ² + 2y ² ≤ 7 .

Esercizio 3

Enunciare il teorema della media per gli integrali curvilinei (non orientati) e darne una

dimostrazione.

Esercizio 1

Calcolare Z

L

|y − x| ds,

dove L ` e il segmento (in R ² ) di estremi A = (0, 1) e B = (0, −1).

Esercizio 2

Calcolare il numero y(2), dove y(x) ` e la soluzione del seguente problema di Cauchy:

y ⁰ = |1 − x| , y(0) = 0.

Esercizio 3

Tra tutti i rettangoli inscritti in un cerchio di raggio r, trovare quello di area massima

(cio` e determinarne i lati in funzione del raggio del cerchio).

Esercizio 1 Calcolare

r→0 lim 1 r ²

Z Z

C

1

2 + x ² + y ² dxdy, dove C _r ` e il cerchio di raggio r con il centro nell’origine di R ² .

N.B. L’esercizio pu` o essere svolto anche senza calcolare l’integrale (basta applicare un noto teorema).

Esercizio 2

Tra tutte le soluzioni reali dell’equazione differenziale y ⁰⁰⁰ − y = e ^−x determinare quelle che tendono a zero per x → +∞.

Esercizio 3

Siano p ₁ = (1, −1), p ₂ = (1, 0) e p ₃ = (2, −1) tre punti di R ² e siano v ₁ = (2, 0, 1),

v 2 = (2, 2, −1), v 3 = (4, 0, −2) e v 4 = (−4, −2, 1) quattro vettori di R ³ . Elencare le coppie

(p i , v j ) con la seguente propriet` a: v j ` e ortogonale al grafico della funzione f (x, y) = x ² −y ²

nel punto (del grafico) corrispondente a p _i .

Esercizio 1

Determinare il momento d’inerzia di un’asta (sottile) di lunghezza l e massa m rispetto ad un asse perpendicolare all’asta e passante per il centro di massa.

Esercizio 2

Tra tutte le soluzioni reali dell’equazione differenziale y ⁰⁰ − 4y = cos x

determinare (tutte) quelle la cui restrizione alla semiretta [0, +∞) risulta limitata.

Esercizio 3

Scrivere in forma trigonometrica e in forma algebrica il numero complesso z =

 4

√ 3 + i

 6

.

Esercizio 1

Un recipiente sferico di raggio r contiene un liquido di livello h. Determinare il volume V (r, h) di detto liquido.

N.B. Lo svolgimento dell’esercizio verr` a preso in considerazione solo se la funzione V (r, h) trovata verifica le ovvie condizioni di compatibilit` a corrispondenti ai seguenti tre casi:

recipiente vuoto; recipiente mezzo pieno; recipiente pieno.

Esercizio 2

Studiare il seguente campo vettoriale:

v = yzi + xzj + (xy − 2z)k .

Esercizio 3

Risolvere la seguente equazione in campo complesso:

z ⁴ − (1 + i) ⁴ = 0.

Esercizio 1

Determinare l’immagine della restrizione all’insieme

A = (x, y) ∈ R ² : 0 < |x| + y ² < 2/π dalla funzione f (x, y) = − sen 1

|x| + y ² .

Esercizio 2

Tra tutti i punti della sfera

(x − 4) ² + (y − 3) ² + (z + 5) ² − 4 = 0 determinare quello pi` u vicino al piano yz.

Esercizio 3

Ricordiamo l’enunciato del Teorema del prodotto di due numeri complessi: il pro-

dotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la

somma degli argomenti. Tenendo conto del concetto di rapporto, dedurre dal suddetto

teorema (e soltanto dal suddetto teorema) che il modulo del rapporto di due numeri

complessi ` e il rapporto dei moduli e l’argomento ` e la differenza degli argomenti.

Esercizio 1

Determinare la parte reale e la parte immaginaria del seguente numero complesso:

√ 3 2 + i

2

! 2078

Esercizio 2

Tra tutti i punti dell’insieme

C = (x, y) ∈ R ² : x ² + y ² + 2x − 6y + 6 ≤ 0 determinare quello pi` u lontano dall’asse x.

Esercizio 3

Verificare, mediante la definizione di limite, che lim

(x,y)→(0,1)

1 + |y|

x ² = +∞.

Cio` e, fissato k > 0, trovare δ > 0 tale che . . .

Esercizio 1

Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale ω = x dx + y dy

x ² + y ² lungo la seguente curva parametrica:

x = t sen t , y = 1 + cos 3t , t ∈ [0, 4π].

Esercizio 2

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione reale di variabile complessa F (z) = |z + i|

nell’insieme z ∈ C : |z + 1| ≤ 2 .

Esercizio 3

Verificare, mediante la definizione di limite, che lim

(x,y)→(1,0)

1 + |y|

x ² + y ² − 2x + 1 = +∞.

Cio` e, fissato k > 0, trovare δ > 0 tale che . . .

Esercizio 1

Studiare la seguente forma differenziale:

ω = y

(x + 1) ² dx − 1

x + 1 dy + 2z dz

Esercizio 2

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

y ⁰ + xy + x = 0 , y(0) = 0

Esercizio 3

Sia f : R ² → R una funzione di classe C ¹ . Supponiamo che

∂f

∂x (p) = ∂f

∂y (p) = 0, ∀p ∈ R ² . Provare che f ` e costante.

Suggerimento. Dedurre da un noto teorema per le funzioni di una sola variabile che, fissato

un (arbitrario) punto p = (x ₀ , y ₀ ) ∈ R ² , risulta f (x ₀ , y ₀ ) = f (0, 0).

Esercizio 1 Calcolare il

x→0 lim y(x) x + x ² , dove y(x) ` e la funzione implicita dell’equazione

sin y + Z 2x

0

cos t 1 + t dt = 0 tale che y(0) = 0.

Esercizio 2

Determinare le soluzioni, in campo reale, della seguente equazione differenziale:

y ⁽⁴⁾ + y ⁽¹⁾ = x + 1.

Esercizio 3

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione reale di variabile complessa f (z) = |z + i|

nell’insieme

A = z = x + iy ∈ C : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2 .

Esercizio 1

In R ³ , tra tutti i punti dell’asse delle x, trovare quello pi` u vicino alla sfera di centro (−2, 3, −4) e raggio 2. Calcolare poi la distanza di tale punto dal punto della sfera ad esso pi` u vicino.

Esercizio 2

Determinare l’immagine della funzione f : R ² → R definita da

f (x, y) = 2

1 + p2 + cos(x − 2) sen(y ⁴ + 1) .

Esercizio 3

Provare la Formula di De Moivre per il calcolo della potenza n-esima di un numero

complesso.

Esercizio 1

Si consideri la seguente funzione reale di due variabili reali:

f (x, y) = Z 2y

x

cos θ θ + 2π dθ.

Specificare, giustificando la risposta, in quali dei seguenti punti f ` e definita (e in quali non lo ` e): (0, −2), (2π, 0), (−5, −1), (0, −π), (6, −1), (−1, −5).

Suggerimento. Utilizzare il teorema di integrabilit` a per determinare il dominio di f .

Esercizio 2

Data la funzione f (x, y) = x ² + y ² + 2y, determinare l’insieme dei numeri λ per i quali l’insieme di livello f ⁻¹ (λ) interseca il cerchio chiuso C di raggio 3 col centro nell’origine di R ² .

Esercizio 3

Provare la Formula di De Moivre per il calcolo della radice n-esima di un numero complesso.