(a) si determini la forma normale di A =

10 Gennaio 2008

1. Nell’anello Mat ₃ (Q):

(a) si determini la forma normale di A =





1 1 5

0 −1 0 2 −2 4



;

(b) si trovi B tale che rango(B ² ) < rango(B).

3. Considerando M := Z 24 ⊕Z 15 ⊕Z 30 come Z-modulo, se ne determinino:

1) i divisori elementari e la decomposizione primaria;

2) i fattori invarianti e la forma normale;

3) l’ ordine |M |, il minimo numero di generatori e l’ annullatore;

4) un insieme di generatori di cardinalit` a minima.

3. Siano A ∈ Mat n (C), V = C ⁿ , λ ∈ C. Si supponga V = U ˙ +W con AU ≤ U, AW ≤ W.

Posto V λ := {v ∈ V |Av = λv} si dimostri che ` e : V _λ = U _λ +W ˙ _λ

dove U λ := {u ∈ U |Au = λu} e W λ := {w ∈ W |Aw = λw}.

4. Data A =





−9 −2 −4

0 1 0

20 4 9



 ∈ Mat ₃ (C), se ne determinino:

1) la forma canonica razionale;

2) la forma canonica di Jordan ; 3) gli autovalori e gli autospazi.

5. Sia A ∈ Mat n (C) tale che A ³ = I. Si dimostri che A ` e diagonalizzabile

17 Marzo 2008

1. Si consideri il gruppo abeliano M := Z 20 ⊕ Z 9 ⊕ Z ed i suoi elementi:

m 1 := ([5] 20 , [0] 9 , 0) , m 2 := ([6] 20 , [0] 9 , 3) . a) Si calcolino Ann _Z (m ₁ ) e Ann _Z (m ₂ ) ;

b) si scriva la sequenza dei fattori invarianti di M e la sua forma normale;

c) si determini un insieme di generatori di M di cardinalit` a minima;

d) si dica se {m ₁ , m ₂ } ` e un insieme di generatori di M .

2. Siano M e N sottomoduli di un R-modulo L. Si dimostri che:

a) M + N e M ∩ N sono sottomoduli;

b) i moduli quoziente _{M ∩N} ^N e ^{M +N} _M sono ismorfi.

3. In Mat 3 (C) si consideri la matrice

A =





1 0 0 1 1 0 0 r 1



 .

In relazione a r si calcolino autovalori e autovettori di A, la sua forma canonica di Jordan, e la sua forma canonica razionale.

4. Si consideri

B =





1 0 0

−3 2 1

2 −2 −1



 ∈ Mat ₃ (Q).

Si calcolino una forma normale B ⁰ di B e due matrici P, Q ∈ GL 3 (Q) tali che P BQ = B ⁰ .

5. Si scrivano una matrice non diagonalizzabile C e una matrice diago-

nalizzabile D di Mat 4 (C) i cui autovalori sono 0 e 3.

11 Dicembre 2008

1. Dato lo Z-modulo M = Z 98 ⊕ Z 180 se ne determinino:

• i divisori elementari e la decomposizione primaria;

• i fattori invarianti, e la forma normale;

• un insieme di generatori di cardinalit` a minima.

Si indichi un elemento di M il cui annullatore ` e 7Z.

2. Data A =





1 0 −1

−3 1 6 3 0 −1



 ∈ Mat ₃ (C), se ne calcolino:

• la forma canonica razionale e quella di Jordan;

• autovalori e autospazi.

Si determini una matrice P tale che P ⁻¹ AP sia diagonale.

3. Siano GL n (C) il gruppo delle matrici invertibili n × n a elementi complessi, C il gruppo additivo di tutti i numeri complessi e C ^∗ il gruppo miltiplicativo dei numeri complessi non nulli. Si indichino:

• un omomorfismo f : C → GL 2 (C);

• un omomorfismo h : C ^∗ → GL ₂ (C);

• una matrice non diagonalizzabile di GL ₃ (C) con autovalori 1 e 2.

4. Si consideri il Q[x]-modulo M = ^Q[x] _hx

i .

a) si determinino gli annullatori, in Q[x], di ciascuno degli elementi:

m 1 = x ³  + x + 1, m 2 = x ³  + x;

b) detti M 1 = Q[x]m 1 e M 2 = Q[x]m 2 i sottomoduli generati da m 1 e da m 2 , si dimostri che M 1 = M , mentre 0 < M 2 < M .

b) Considerando M come spazio vettoriale su Q, se ne determini una

base B e la matrice, rispetto a B, della moltiplicazione per x ² + 1.

8 Gennaio 2009

1. Sia α : C ³ → C ³ l’applicazione tale che:



 x y z



 7→





−x + 2y + z 3x − 2z

−x + 3y + z



 .

• Si dimostri che α ` e lineare;

• si scriva la matrice A di α rispetto alla base canonica;

• si calcolino la forma canonica razionale e quella di Jordan di A.

A ` e diagonalizzabile ?

2. Dato il C[x]-modulo

M = C[x]

hx ³ − 1i ⊕ C[x]

hx ² − xi se ne determinino:

• i divisori elementari e la decomposizione primaria;

• i fattori invarianti, e la forma normale;

• l’annullatore;

• la dimensione e una base come C-modulo.

3. Sia M un D-moduli sinistro e siano N, M ₁ , M ₂ sottomoduli di M . Si dimostri che:

• se M ` e finitamente generato, anche il quoziente <sup>M</sup> <sub>N</sub> lo ` e ;

• se M ₁ e M ₂ sono finitamente generati, anche la somma M ₁ + M ₂ lo ` e ;

• si dia un esempio di un R-modulo non finitamente generato.

4. Si determinino la forma normale A ⁰ di A =

 1 2 3

−1 0 2



∈ Mat _2,3 (Q)

e due matrici invertibili P, Q tali che A ⁰ = P AQ.

19 Marzo 2009

1. Si consideri il gruppo abeliano M := Z 25 ⊕ Z 4 ⊕ Z ed i suoi elementi:

m 1 := ([10] 25 , [0] 4 , 0) , m 2 := ([15] 25 , [0] 4 , 2) . a) Si calcolino Ann _Z (m 1 ) e Ann _Z (m 2 ) ;

b) si determini un insieme di generatori di M di cardinalit` a minima;

c) si dica se {m ₁ , m ₂ } ` e un insieme di generatori di M . 2. Si consideri la matrice

A =





0 4 2

−1 −4 −1

0 0 −2



 ∈ Mat ₃ (C).

a) Si determini la forma canonica razionale e quella di Jordan.

b) Si dica se A ` e diagonalizzabile, motivando la risposta.

c) Data la matrice

B =





0 0 −8 1 0 −12 0 1 −6



 ∈ Mat ₃ (C), si dica se A e B sono coniugate, motivando la risposta.

d) Si determinino autovalori e autospazi di A.

3. Dato il C[x]-modulo

M = C[x]

hx ³ − 1i ⊕ C[x]

hx ² − 1i se ne determinino:

• i divisori elementari e la decomposizione primaria;

• i fattori invarianti e la forma normale;

• l’annullatore;

• la dimensione e una base come C-modulo.

4. Siano M e M ⁰ due D-moduli isomorfi. Si provi che Ann(M ) =

Ann(M ⁰ ).

9 Luglio 2009

1. Considerato lo Z-modulo

M = Z 6 ⊕ Z 9 ⊕ Z 75 ⊕ Z 75

se ne calcolino:

a) i divisori elementari e la decomposizione primaria;

b) la sequenza dei fattori invarianti e la forma normale.

Si indichi qualche elemento di M il cui annullatore ` e 25Z.

2. Siano R un anello, M un R-modulo generato dal sottoinsieme {m ₁ , m 2 }.

Si dimostri che Ann(M ) = Ann(m 1 )∩ Ann(m 2 ).

3. Si dia un esempio di due Z-moduli non isomorfi con annullatore 6Z.

4. Si scriva la forma canonica razionale C di

A :=





0 1 −1

0 0 0

1 0 2





e si calcolino gli autovalori e gli autospazi di A e quelli di C.

5. Si calcolino le forme canoniche razionali di Mat 2 (Z 3 ).

10 Settembre 2009

1. Considerato il C[x]-modulo M = C[x]

hx ² − 1i ⊕ C[x]

hx ³ − 1i se ne calcolino:

a) i divisori elementari e la decomposizione primaria;

b) la sequenza dei fattori invarianti e la forma normale.

Si indichi una matrice A di Mat 5 (C) tale che C ⁵ , considerato come C[x]

modulo rispetto f (x)v := f (A)v, sia isomorfo a M . 2. Dopo aver dimostrato che i sottoinsiemi

B = (1, 0, 0) ^t , (1, 0, 1) ^t , (1, −1, 1) ^t , C = (0, 2, 0) ^t , (1, 1, 1) ^t , (3, 0, −1) ^t sono basi di R ³ , si scriva la matrice della applicazione identica R ³ → R ³ rispetto a B e C.

3. In Mat ₃ (C), si determinino la forma canonica razionale e quella di Jordan di

A :=





4 2 0

−1 1 0

−3 −2 2



 e si calcolino gli autovalori e gli autospazi di A.

4. In Mat ₃ (C):

a) si dia un esempio di due matrici non coniugate che hanno lo stesso polinomio caratteristico;

b) si dimostri che una matrice A tale che A ⁵ = I ` e diagonalizzabile.

5. Dopo aver definito il rango di una matrice, si dimostri che due

matrici di Mat m,n (Q) sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

24 Settembre 2009

1. Si considerino i gruppi abeliani M = Z 20 ⊕ Z 8 , N = Z 10 ⊕ Z 16 . i) Si determinino il numero degli elementi e gli annullatori di M e di N . ii) Si dica se M e N sono isomorfi, motivando la risposta.

iii) Si classifichino i gruppi abeliani di ordine 160, a meno di isomorfismi.

2. Siano M, N degli R-moduli sinistri e f : M → N un R-omomorfismo.

i) Si dimostri che f (M ) ´ e un sottomodulo di N ;

ii) Sia M 0 un sottomodulo di M . Si dimostri che f (M ) = f (M 0 ) se e solo se M = M ₀ + Ker f .

3. Si consideri l’applicazione lineare α : Q ³ → Q ³ tale che



 x y z



 7→





x + y − 2z 2x − y + z

x



 .

i) Si determini la matrice A di α rispetto alla base canonica di Q ³ . ii) Si determinino le dimensioni di Ker α e di Im α.

4. In Mat ₃ (R) si consideri la matrice

A =





9 0 −4

−2 1 −2 9 0 −3



 . Si determinino:

a) La forma canonica di Jordan J di A;

b) gli autovalori e gli autospazi di A;

c) il rango di A.

17 Dicembre 2009

1. Si consideri l’applicazione lineare α : Q ³ → Q ² la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, ` e A =

 9 0 −4

−2 1 −2

 .

a) Si determinino α(e ₁ ), α(e ₂ ), α(e ₃ ), α(2e ₁ − e ₂ + 5e ₃ ).

b) si trovino una base B di Q ³ e una base C di Q ² tali che la matrice di α rispetto B, C sia

 1 0 0 0 1 0

 .

2. Si calcolino la decomposizione primaria, la forma normale M ⁰ , l’annullatore e il minimo numero di generatori del gruppo abeliano

M = Z 60 ⊕ Z 9 ⊕ Z 50 .

Si definisca un epimorfismo f : Z ² → M ⁰ , e si calcoli Ker f . Esiste una base di Ker f come Z-modulo ?

3. Considerato il D-modulo M = U + W , siano {u ₁ , u ₂ }, {w ₁ , w ₂ } basi di U e W rispettivamente e sia S := {u ₁ , u ₂ , w ₁ , w ₂ }. Si dimostri che:

a) S genera M ;

b) S ` e indipendente se e solo se U ∩ W = {0 _M }.

4. Data A =





1 2 1

0 3 0

−4 4 5



 ∈ Mat ₃ (C), se ne calcolino:

a) la forma canonica razionale e quella di Jordan;

b) autovalori, relativi autospazi.

A ` e diagonalizzabile ? A <sup>2</sup> ` e diagonalizzabile ?

Si determini il sottomodulo del C[x]-modulo A C ³ generato da e 1 .

14 Gennaio 2010

1. Nell’anello Mat 2 (Z) si considerino le matrici:

A =

 4 −2 0 2



, B =

 3 0 9 −6

 .

1) Si dimostri che il sottomodulo N di Z ² , generato dalle colonne di AB,

` e contenuto nel sottomodulo M di Z ² , generato dalle colonne di A;

2) si dica se N = M ;

3) si calcolino tutte le forme normali di B in Mat ₂ (Z).

2. Si calcolino la decomposizione primaria, la forma normale, l’annullatore e il minimo numero di generatori del Q[x]-modulo

V = Q[x]

hx ³ − 1i ⊕ Q[x]

hx ² − 2x + 1i .

V ` e libero come Q-modulo ? V `e libero come Q[x]-modulo?

3. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, e siano v 1 , v 2 e v 3 elementi di V , con v ₁ , v ₂ linearmente indipendenti. Si dimostri che v ₁ , v ₂ , v ₃ sono linearmente dipendenti se e solo se v 3 ∈ hv ₁ , v 2 i.

4. Data A =





4 −2 1

−1 5 −1

−6 10 −2



 ∈ Mat ₃ (C), se ne calcolino:

a) la forma canonica razionale C e quella di Jordan J ; b) autovalori e relativi autospazi.

Esiste qualche matrice P ∈ GL(3, C) tale che P ⁻¹ CP = J ?

In caso affermativo se ne trovi una.

25 marzo 2010

1. Ricordiamo che due matrici A, B sono equivalenti se esistono due matrici invertibili P, Q tali che B = QAP .

1) Quante sono le classi di equivalenza in Mat 4,3 (Q)? Per ciascuna di esse si indichi una forma normale e il rango.

2) Se esistono, si indichino due matrici non equivalenti di Mat _2,3 (Z) che hanno lo stesso rango.

2. Si consideri il Q-modulo (ossia lo spazio vettriale su Q):

V := Q[x]

hx ² − 3i ⊕ Q[x]

hx ⁴ − 9i . 1) Si trovi una base B di V ;

2) si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V → V tale che v 7→ xv.

3) si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ _x

: V → V tale che v 7→ x ⁴ v.

3. Si determinino i gruppi abeliani non isomorfi di ordine 7 ³ . Di ciascuno si scriva l’annullatore e il minimo numero di generatori.

4. Si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale della matrice:









−1 0 0 0

1 2 0 0

0 1 1 0

0 0 1 4









.

8 Aprile 2010

1. Considerato il gruppo abeliano M = Z 30 ⊕ Z 6 ⊕ Z 100 , si determinino:

i) l’ordine, la decomposizione primaria e la forma normale di M ; ii) un insieme minimo di generatori per M .

2. Sia f : M → N un epimorfismo fra due moduli M, N sull’anello A.

Detti m, n il minimo numero di generatori per M, N rispettivamente, si dimostri che n ≤ m. Si dia inoltre un esempio in cui n < m.

3. Si consideri l’applicazione lineare α : Q ³ → Q ³ tale che



 x y z



 7→





x + 2y + 3z

−x + y + z 3y + 4z



 .

i) Si determini la matrice A di α rispetto alla base canonica di Q ³ . ii) Si determinino una base di Ker α e una base di Im α.

4. Nell’anello Mat ₄ (C) si determinino la forma canonica razionale, la forma canonica di Jordan, gli autovalori e gli autospazi della matrice

A =









−1 0 0 0

0 −2 0 −4

0 0 −1 0

0 1 0 3









.

8 Luglio 2010

1. Si considerino i gruppi abeliani M = Z 6 ⊕ Z ⊕ Z e N = Z 6 ⊕ Z.

i) Si determinino gl annullatori e i sottomoduli di torsione di M e N . ii) Si dica se M e N sono isomorfi.

iii) Si classifichino i gruppi abeliani di ordine 360, a meno di isomorfismi.

2. Siano A un R-modulo sinistro e B, C due sottomoduli di A tali che A = B + C. Si dimostri che l’applicazione f : C → ^A _B tale che

c 7→ B + c

per ogni c ∈ C, ` e un epimorfismo di R-moduli. Si deduca che _B∩C ^C ∼ _B ^A .

3. Si consideri l’applicazione lineare α : Q ⁴ → Q ³ tale che







 x y z t







 7→





x − t 2x − y + z − 2t

−x + 3y − 2z + 4t



 .

i) Si determini la matrice A di α rispetto alle basi canoniche di Q ⁴ e Q ³ . ii) Si determinino delle basi di Ker α e di Im α.

4. Nell’anello Mat ₄ (C) si determinino la forma canonica razionale, la forma canonica di Jordan, gli autovalori e gli autospazi della matrice

A =









3 0 0 0

0 −2 0 −4

0 0 −1 0

0 1 0 3









.

9 Settembre 2010

1. Si determinino l’ordine, i divisori elementari, la decomposizione pri- maria, la forma normale, i fattori invarianti, l’annullatore, il minimo numero di generatori del gruppo abeliano:

Z 20 ⊕ Z 120 ⊕ Z 50 .

2. Si dia la decomposizione primaria del C[x]-modulo:

V = C[x]

hx ⁴ + 16i . Inoltre si calcolino:

i) una base B di V come C-modulo;

ii) la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ _x : V → V tale che x ⁴ + 16 + f (x) 7→ x ⁴ + 16 + xf (x).

3. Sia v un autovettore della matrice A relativo a λ. Si dimostri che:

i) v ` e un autovettore della matrice A ² relativo a λ ² ;

ii) P ⁻¹ v ` e un autovettore della matrice P ⁻¹ AP relativo a λ.

4. Si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale della matrice:

B =









2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 4 0 0 0 2









.

23 Settembre 2010

1. Si determinino l’ordine, i divisori elementari, la decomposizione pri- maria, la forma normale, i fattori invarianti, l’annullatore, il minimo numero di generatori del gruppo abeliano:

Z 9 ⊕ Z 15 ⊕ Z 100 .

2. Si dia la decomposizione primaria del C[x]-modulo:

V = C[x]

hx ³ − 1i . Inoltre si calcolino:

i) una base B di V come C-modulo;

ii) la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ _x : V → V tale che x ³ − 1 + f (x) 7→ x ³ − 1 + xf (x).

3. Sia A ∈ Mat n (C) tale che A ⁴ = I.

i) Si dimostri che A ` e diagonalizzabile;

ii) si discuta quale ` e il polinomio minimo di A, in relazione ai suoi autovalori.

4. Si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale della matrice:

B =









−1 0 0 3

1 −1 0 0

0 1 −1 −1

0 0 0 2









.

16 Dicembre 2010

1. Dato uno Z-modulo M , siano M 1 , M 2 due suoi sottomoduli liberi, con rispettive basi B ₁ = {m ₁ , m ₂ }, B ₂ = {m ₃ , m ₄ }.

(i) Si dimostri che B = B 1 ∪ B ₂ ` e una base di M se e solo se M = M ₁ +M ˙ ₂ (somma diretta).

(ii) Quando B ` e una base di M , si determinino i suoi fattori invarianti.

2. Si calcolino i divisori elementari, i fattori invarianti, la decomposizione primaria e la forma normale e dello Z-modulo

M = Z 10 ⊕ Z 15 ⊕ Z 4 .

Esiste m ∈ M il cui annullatore ` e l’ideale 7Z ? Si motivi la risposta.

3. Siano M, N due D-moduli e M 1 ≤ M un sottomodulo di M . Considerato un D-epimorfismo ϕ : M → N , si dimostri che:

(i) ϕ(M ₁ ) ` e un sottomodulo di N ;

(ii) ϕ(M 1 ) = N se e solo se M = Ker ϕ + M 1 .

4. In Mat ₄ (C), si calcolino la forma canonica razionale C, la forma canonica di Jordan J , autovalori e autovettori della matrice

A :=









0 −2 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 −2 2







 .

Si determini inoltre una matrice invertibile P tale che P ⁻¹ AP = J .

13 Gennaio 2011

1. Si elenchino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 125 e quelli di ordine 180. Si dica se i gruppi abeliani Z e 2Z sono isomorfi.

2. Data la matrice A :=





1 2 −1

0 1 0

0 0 3



 ∈ Mat ₃ (Q), si consideri l’applicazione lineare α : Q ³ → Q ³ tale che, per ogni v ∈ Q ³ :

v 7→ Av.

(i) Posto v =





−1

−2 3



, si calcoli α (v);

(ii) Detta B la base canonica di Q ³ , si trovi la base C di Q ³ tale che la matrice di α rispetto B e C sia quella identica.

(iii) Dopo aver determinato la forma canonica di Jordan J di A, si trovi una base B ⁰ di Q ³ tale che la matrice di α rispetto B ⁰ (e B ⁰ ) sia J .

3. Siano M un D-modulo e M ₁ ≤ M un sottomodulo di M . Si dimostri che:

(i) l’annullatore di M ` e contenuto in quello di M 1 ;

(ii) si dia un esempio di M, M ₁ , D in cui Ann(M ₁ ) 6= Ann(M );

(iii) si dia un esempio in cui M ₁ 6= M , ma Ann(M ₁ ) = Ann(M ).

4. In Mat ₃ (C), si calcolino autovalori e autovettori, forma canonica razionale C, forma canonica di Jordan J della matrice

A :=





√

5 − 3 9 2

−1 √

5 + 3 1

0 0 −1



 .

24 Marzo 2011

1.

a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 100, precisando di ciascuno l’annullatore e il minimo numero di generatori;

b) si dica se il gruppo additivo Z dei numeri interi `e ismorfo al gruppo additivo 2Z dei numeri interi pari.

2. Siano R un anello, M, M ⁰ due R - moduli e f : M → M ⁰

un R-omomorfismo. Dato un sottomodulo N di M si dimostri che:

a) f (N ) ` e un sottomodulo di M ⁰ ;

b) f (N ) = f (M ) se e solo se M = N + Kerf . 3. In Mat 3 (C), considerata la matrice

A =





0 3 2

−2 1 1

3 −1 −1





a) se ne calcolino autovalori, autovettori, forma canonica razionale e forma di Jordan;

b) si indichi una base di C ³ rispetto la quale l’applicazione lineare v 7→

Av, per ogni v ∈ C ³ , ha matrice diagonale.

4.

a) Si dimostri che una matrice A e la sua trasposta A ^T hanno lo stesso polinomio minimo.

b) si scriva una matrice di Mat 3 (Q) il cui polinomio minimo `e (x − 3) ² .

Tale matrice ` e diagonalizzabile ?

7 Aprile 2011

1.

a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 45, precisando di ciascuno l’annullatore e il minimo numero di generatori;

b) si dimostri esplicitamente che non esiste alcun isomorfismo fra il gruppo additivo Z ⊕ Z 2 e il gruppo additivo Z.

2. Siano R un anello, M, M ⁰ due R - moduli e f : M → M ⁰

un R-omomorfismo. Dato un sottomodulo N ⁰ di M ⁰ si dimostri che:

a) N := f ⁻¹ (N ⁰ ) ` e un sottomodulo di M ; b) si dica se Kerf ≤ N .

3. In Mat 3 (C), considerata la matrice

A =





0 3 2

0 1 1

0 −1 −1





a) se ne calcolino autovalori, autovettori, forma canonica razionale e forma di Jordan;

b) esiste una base di C ³ rispetto la quale l’applicazione lineare v 7→ Av, per ogni v ∈ C ³ , ha matrice diagonale ?

4.

a) Sia A una matrice il cui polinomio minimo ` e x ² − x + 2. Si dimostri che A ⁵ = −A + 6I.

b) si scriva una matrice di Mat 3 (C) il cui polinomio minimo `e x ² − x + 2.

23 Giugno 2011

1.

a) Si trovino i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti e la forma normale e del Q[x]-modulo:

M := Q[x]

hx ² − 6x + 9i ⊕ Q[x]

hx ³ − 9xi .

b) Se ne calcoli l’annullatore e un insieme di generatori di cardinalit` a minima.

2. Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, con base B = {v 1 , v 2 , v 3 }.

a) Posto

w 1 := v 1 , w 2 := v 1 + v 2 , w 3 := v 1 + v 2 + v 3

si dimostri che C = {w ₁ , w ₂ , w ₃ } ` e una base di V . b) Dato v ∈ V , e detto v B =



 x ₁ x 2

x 3



 il vettore delle sue coordinate rispetto B, si calcoli il vettore v C delle sue coordinate rispetto C.

3. In Mat ₃ (C) si consideri la matrice

A =





−1 1 1

0 3 0

0 0 −1





e se ne calcolino autovalori, autovettori, forma di Jordan e forma canon- ica razionale. A ` e diagonalizzabile ?

4. Sia A ∈ Mat 3 (C). Si dimostrino le seguenti affermazioni:

a) A ha inversa se e solo se non ha l’autovalore nullo;

b) se A ha solo l’autovalore nullo, allora A ³ = 0;

c) se A ha periodo 5, allora ` e diagonalizzabile.

Si dia infine un esempio di matrice A ∈ Mat ₃ (C), avente periodo 5 e

determinante 1.

11 Luglio 2011

1. Considerati i gruppi abeliani Z ⊕ Z e Z ⊕ 2Z, si dica se sono isomorfi.

Si indichi inoltre un insieme minimo di generatori di Z ⊕ 2Z.

2. Un A-modulo M sia somma di due sottomoduli M 1 e M 2 , ossia M = M 1 + M 2 .

Sia N un sottomodulo di M . Si provi che N = M ₁ + (N ∩ M ₂ ) se e solo se N che contiene M ₁ .

3. Si consideri il Q[x]-modulo : V := Q[x]

hx ² + 4i ⊕ Q[x]

hx ² − 3i . Si trovi:

a) una base B di V come Q-modulo, ossia come spazio vettoriale su Q;

b) la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V → V

tale che v 7→ xv.

c) la matrice, rispetto a B, di (µ _x ) ² .

4. In Mat ₄ (C) si consideri la matrice

A =









0 4 0 4

1 0 0 −2

0 0 0 0

0 0 1 2









e se ne calcolino autovalori, autovettori, forma di Jordan e forma canonica

8 Settembre 2011

1. Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 16.

2. Sia R ² il gruppo additivo dei vettori colonna a due componenti reali, rispetto alla somma componente per componente Si definiscano i prodotti:

• R × R ² → R ² rispetto al quale R ² ` e un R-modulo;

• Mat ₂ (R) × R ² → R ² rispetto al quale R ² ` e un Mat 2 (R)-modulo.

Si ponga e 1 :=

 1 0

 .

a) Considerando R ² come R-modulo, si determini il sottomodulo generato da e ₁ e si dica se {e ₁ } ` e indipendente.

b) Considerando R ² come Mat 2 (R)-modulo, si determini il sottomodulo generato da e 1 e si dica se {e 1 } ` e indipendente.

3.

a) Si trovino i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti e la forma normale e del C[x]-modulo:

M := C[x]

hx ³ − 1i ⊕ C[x]

hx ² − 1i .

b) Se ne calcoli l’annullatore e un insieme di generatori di cardinalit` a minima.

4.

a) Si dimostri che se una matrice A ha l’autovalore λ, allora A ² ha l’autovalore λ ² .

b) In Mat ₂ (C) si calcolino autovalori, autovettori, forma di Jordan e forma canonica razionale di ciascuna delle matrici:

 6 1

−1 4

 ,

 6 1

−1 4

 2

.

22 Settembre 2011

1. Si consideri il sottoinsieme S = n  1 2

 ,

 −1 3

 o di R ² .

i) Considerando R ² come spazio vettoriale su R, si dica se S `e una base.

ii) Considerando R ² come Z-modulo, si dica se S genera R ² e se ` e in- dipendente.

2. Si dica se l’applicazione f : Z → Z 3 ⊕ Z 6 tale che

z 7→ [z] ₃ [z] ₆

!

` e un omomorfismo di Z-moduli. Si determini Ker f e si dica se f `e suriettiva.

3. Si determinino l’ordine, i divisori elementari, la decomposizione pri- maria, la forma normale, i fattori invarianti, l’annullatore, il minimo numero di generatori del seguente gruppo abeliano:

Z 45 ⊕ Z 120 ⊕ Z 50 .

4. Considerato il C[x]-modulo V = _hx ^C[x]

−16i , sia µ _x : V → V l’applicazione:

x ⁴ − 16 + f (x) 7→ x ⁴ − 16 + xf (x).

Si determinino una base B di V come spazio vettoriale su C e la matrice

della µ x rispetto B. Infine si calcolino gli autovalori e gli autovettori di tale

matrice.

15 Dicembre 2011

1.

(i) Si calcolino l’annullatore e la forma normale dello Z-modulo M = Z 6 ⊕ Z 9 ⊕ Z 20

(ii) si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 54.

(iii) considerato (Q, +, 0) come Z-modulo si dica se il sottomodulo ₃

5 , ¹⁵ ₇ 

` e libero. In caso affermativo se ne indichi una base e il rango.

2.

(i) Sia {m 1 , m 2 } un insieme di generatori di R-modulo M . Dato r ∈ R, si stabilisca se {m ₁ , rm ₁ + m ₂ } ` e un insieme di generatori per M .

(ii) B =

 1 3

 ,

 1 1



` e una base di Z <sup>2</sup> ? ` E una base di Q ² ? (iii) In Q ² si trovi v tale che v B =

 1 0



e si trovi

 1 0



B

.

3. In Mat 3 (C), si consideri la matrice A =





0 1 −2

0 −1 3

0 0 −1



. Si trovino:

(i) gli autovalori di A e i corrispondenti autospazi;

(ii) la forma canonica di Jordan J e la forma canonica razionale C di A;

(iii) una matrice P ∈ GL 3 (C) tale che P ⁻¹ AP = J .

4. Si trovi una base B di V := ^K[x] _hxi ⊕ _h(x+1) ^K[x]

_i , come K-modulo, e si scriva la matrice, rispetto a B, di µ _x : V → V tale che v 7→ xv. Esiste una base di V rispetto alla quale la matrice di µ _x ` e A, definita nel precedente esercizio

?

12 Gennaio 2012

1. (i) Si calcolino i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti, la forma normale, il minimo numero di generatori e l’annullatore dello Z-modulo

M = Z 15 ⊕ Z 63 ⊕ Z 49 .

(ii) Siano S, R due anelli, f : S → R un omomorfismo, M un R-modulo.

Si dimostri che M risulta un S modulo rispetto al prodotto:

s ∗ m := f (s)m, ∀s ∈ S, m ∈ M.

2. Si consideri lapplicazione lineare α : R ³ → R ³ tale che



 x y z



 7→





2y − 2z 3y − 2z

y



 .

(i) Si scriva la matrice A di α rispetto alla base canonica {e ₁ , e ₂ , e ₃ };

(ii) si calcolino autovalori e autospazi di A, la sua forma di Jordan e la sua forma canonica razionale;

(iii) si trovino la matrice B di α rispetto alla base {e ₃ , e ₁ , e ₂ }, e una matrice P tale che P ⁻¹ AP = B.

3. Si dia una dimostrazione diretta dei seguenti enunciati:

6Z ∩ 45Z = 90Z, 6Z + 45Z = 3Z.

4. (i) Si trovi A ∈ Mat ₃ (Q) avente polinomio minimo x ² − 1.

Esiste B ∈ Mat 3 (Q), non coniugata ad A, avente lo stesso polinomio mi- nimo? Se s`ı , se ne indichi una, spiegando perch` e non ` e coniugata ad A.

(ii) Sia λ un autovalore di una matrice C. Si dimostri, per induzione,

che λ ⁿ ` e autovalore di C ⁿ per ogni intero n ≥ 0.

22 Marzo 2012

1.

a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 150, precisando di ciascuno l’annullatore e il minimo numero di generatori;

b) si dica se il sottogruppo < 2 > di (Q ^∗ , ·, 1), generato da 2, ` e abeliano e se ` e isomorfo al gruppo (Z, +, 0) dei numeri interi.

2. Siano R un anello, M, M ⁰ due R-moduli. M sia libero con base B = {m ₁ , m 2 } .

a) Si dimostri che, per ogni applicazione f : B → M ⁰ esiste un unico omomorfismo di moduli b f : M → M ⁰ la cui restrizione a B ` e f .

b) Si mostri che B ⁰ = {m 1 , m 1 + m 2 } ` e base di M e si scriva la matrice di passaggio da B a B ⁰ .

c) Dato m ∈ M con vettore coordinate m B =

 3

−2



si calcoli m B

. 3. In Mat 3 (C), considerata la matrice

A =





0 −1 −1

0 0 −1

8 −4 2





a) si dica se



 1 2

−4



 ` e un suo autovettore;

b) se ne calcolino autovalori, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale;

c) si indichi una base di C ³ rispetto la quale l’applicazione lineare v 7→

Av, per ogni v ∈ C ³ , ha matrice diagonale.

4. Siano A, B due matrici di M at n (Q). Si dimostri che, se esiste una matrice P ∈ GL _n (C) tale che P ⁻¹ AP = B, allora esiste G ∈ GL _n (Q) tale

−1

10 Aprile 2012

1.

a) Si determinino, a meno di isomorfismi, i gruppi abeliani di ordine 3 ⁴ , precisando di ciascuno l’annullatore e il minimo numero di generatori;

b) si dica se il gruppo additivo Z dei numeri interi `e isomorfo a Z ⊕ Z.

2. Siano R un anello, M un R-modulo libero con base B = {m ₁ , m 2 , m 3 } .

a) Si mostri che B ⁰ = {m 1 , m 1 + m 2 , m 1 + m 2 + m 3 } ` e base di M e si scriva la matrice di passaggio da B a B ⁰ ;

b) detto α l’R-omomorfismo la cui matrice, rispetto a B, ` e A =





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 si determini α (m ₁ + 4m ₂ − m ₃ ).

3. In Mat 3 (C), considerata la matrice

A =





2 −1 0 4 −2 −1 6 −3 0





a) se ne calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jordan e forma canonica razionale;

b) si indichi una base di C ³ rispetto la quale l’applicazione lineare v 7→

Av, per ogni v ∈ C ³ , ha matrice diagonale.

4. Siano A, B due matrici di M at _n (Q). Si dimostri che se A `e coniugata

a B, allora A ² ` e coniugata a B ² .

21 Giugno 2012

1. Si consideri il gruppo abeliano (Q, +, 0) come Z-modulo.

a) Il sottoinsieme S = 2, ⁷ ₃ `e indipendente ? Genera Q ? b) Q `e finitamente generato ? Si giustifichi la risposta.

2. Si consideri la base B =









 0 0 2



 ,





−1 1 0



 ,



 3 1

−1









 di R ³ . 1) Si calcoli la matrice di passaggio P dalla base canonica di R ³ a B.

2) Dato un generico vettore



 x y z



 ∈ R ³ , si trovi



 x y z





B

.

3. Si dimostri che l’applicazione f : Z → Z 6 ⊕ Z 8 tale che

z 7→ [z] ₆ [z] ₈

!

` e un omomorfismo di Z-moduli. Si calcoli Ker f e si dica se f `e suriettiva.

4.

a) In Mat ₄ (C) si calcolino autovalori, autospazi, forma canonica di Jor- dan e forma canonica razionale di

A =









−5 11 0 0

−2 5 0 0

0 0 2 1

0 0 0 2







 .

A ` e diagonalizzabile ?

b) In Mat 2 (C), si dica se sono coniugate le matrici

 3 1 0 3

 ,

 3 5 0 3



.

12 Luglio 2012

1. (i) In Q ² si consideri il sottoinsieme S = {

 4

−1

 ,

 1 3

 }.

Considerando Q ² come Q-modulo, si dimostri che S `e una sua base.

Considerando Q ² come Z-modulo, si dica se S lo genera.

(ii) Sia Z 5 l’anello delle classi di resti modulo 5. Il modulo regolare _Z

Z 5

` e libero ? Il gruppo abeliano (Z 5 , +, [0] <sub>5</sub> ) ` e libero come Z-modulo ? 2. (i) Si trovi una base B di

V := Q[x]

hx ² + 5i

come Q-modulo e si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare µ x : V → V tale che

x ² + 5 + f (x) 7→ x ² + 5 + xf (x).

3. Data A =





12 0 9

0 3 0

−9 0 −6



 ∈ Mat ₃ (C), si calcolino autovalori, au- tospazi, forma canonica di Jordan J e forma canonica razionale C di A.

Quali sono gli autovalori di A ⁻¹ ?

A ` e diagonalizzabile ? A <sup>−1</sup> ` e diagonalizzabile ? 4. Siano A coniugata ad A ⁰ , B coniugata a B ⁰ . (i) Si dimostri che sono coniugate le matrici:

 A 0 0 B

 ,

 A ⁰ 0 0 B ⁰



.

(ii) Si dimostri che A ² ` e coniugata ad (A ⁰ ) ² .