ESERCIZI RISOLTI

(1)

una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è r A = 1030 kg m3 , determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla.

La forza F

in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione

idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al

La forza F

idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della

IDROSTATICA

ESERCIZI RISOLTI

INTRODUZIONE

In questi brevi appunti viene riportato lo svolgimento di alcuni esercizi inerenti la statica dei fluidi.

Riprendiamo adesso alcuni concetti utili.

Densità: per un qualsiasi corpo, è definita come rapporto fra la massa ed il volume:

m ρ = v

Nel S.I. si misura in kg/m³ , ma altre unità sono il kg/dm³ oppure il g/cm³ .

Pressione: data una superficie qualsiasi, viene calcolata facendo il rapporto fra il modulo della forza F agente e l’area della superficie stessa S, in formule:

p F

= S

La pressione si misura nel S.I. in Pascal (1 Pa = 1 N 1 m²). Altre unità di misura molto utilizzate sono il Bar (1 Bar = 10 Pa⁵ ⁾ ^e l’Atmosfera (1 atm =1.01325 bar = 1.01325 10 Pa⋅ ⁵ ≈ 1.013 10 Pa⋅ ⁵ ^).

La pressione viene a volte misurata, non come assoluta, ma relativamente alla pressione atmosferica.

Un esempio è la pressione dell’aria all’interno di uno pneumatico d’automobile, ad esempio una pressione di “2.2 atmosfere” (pressione relativa), in realtà significa 2.2 atmosfere oltre la pressione atmosferica, ovvero 3.2 atmosfere (pressione assoluta).

Atmosfera standard

L’atmosfera standard o atmosfera (abbreviata in atm) è un’unità di misura della pressione, definita con precisione a sei cifre nel Sistema Internazionale, per approssimare una quantità che varia costantemente a seconda del luogo e del momento. È all’incirca uguale alla pressione tipica dell’aria a livello del mare ed è definita come: 1 atm = 101325 Pa^.

Legge di Stevino: permette di ricavare la pressione che un fluido (generalmente un liquido) esercita ad una certa profondità. La pressione dipende dalla densità del fluido, dalla profondità a cui si trova il punto considerato e dalla pressione agente sulla superficie. La forma della superficie non influenza la pressione. Vale:

· · 0

ph = ρ g h + p

essendo g l’accelerazione di gravità nel luogo considerato (valore medio:

9.81 m s2

g ₌ ).

(2)

La forza F

Spinta di Archimede: è la forza che un corpo immerso in un fluido subisce per effetto del fluido stesso. è diretta sempre verso l’alto ed è pari al peso del liquido spostato. In formule vale:

A F · i

S = ρ ⋅ g V

essendo ρ_F la densità del fluido, g l’accelerazione di gravità e V_i il volume di fluido spostato (che in questo caso è uguale al volume del solido immerso).

Densità relativa

In generale, per densità relativa si intende il rapporto tra la densità del corpo in esame e quella di un corpo preso come riferimento, per data temperatura e pressione (il risultato che si ottiene è un numero puro).

La densità relativa viene spesso definita come il rapporto tra la densità del corpo in esame e quella dell’acqua pura a temperatura di 4 °C e pressione di 1 bar, o in maniera equivalente come il rapporto tra la massa del corpo in esame e quella di un eguale volume di acqua pura (distillata o deionizzata) a temperatura di 4 °C e pressione di 1 bar. La relazione di calcolo è dunque: ρ_r = ρ ρ_C _A^.

La densità relativa può essere determinata in vari modi. I corpi solidi, che hanno densità maggiore di quella dell’acqua, vengono pesati dapprima in aria e quindi in acqua, in condizioni di completa immersione. La densità relativa si ottiene dividendo il peso in aria per la diminuzione di peso del corpo immerso. Per determinare la densità relativa dei fluidi si utilizzano invece strumenti appositi, detti densimetri.

La densità propriamente detta talvolta viene chiamata densità assoluta, in contrapposizione alla densità relativa.

Peso apparente

Come ciascuno di noi ha notato, al mare o in una piscina con uno sforzo minimo si può sostenere una persona immersa nell’acqua mentre se la persona a mano a mano emerge la fatica aumenta progressivamente. Quindi, quando un corpo è immerso in un liquido sembra che diventi più leggero, vale a dire che si nota un’apparente diminuzione del suo peso P. Poiché il peso di un corpo in un dato luogo è invariabile, possiamo spiegare questo fenomeno ricordando che, in base alla legge di Archimede, il fluido (liquido o aeriforme) esercita sul corpo una forza verticale diretta dal basso verso l’alto: è quest’ultima che determina l’apparente diminuzione del peso.

LA LEGGE DI STEVINO

ESERCIZIO N. 1

Quanto deve essere alto un tubo, chiuso ad un’estremità, riempito di mercurio (ρ_Hg =13590 kg m³) per esercitare sulla base una pressione di p = 2.00 atm sulla sua base?

Si tratta di un’applicazione inversa della legge di Stevino: tale esercizio ha lo scopo di

(3)

La forza F

· h p

ρg

=

Inserendo i valori numerici, dobbiamo fare attenzione nell’esprimere tutte le misure in unità del S.I. è pertanto necessario trasformare la pressione in Pascal:

5 5

2 atm = ⋅2 1.013 10 Pa⋅ = 2.026 10 Pa⋅ Quindi:

2.026 105

m 1.52 m 13590 9.81

h  ⋅ 

=   =

 ⋅ 

ESERCIZIO N. 2

Una pompa idraulica deve sollevare l’acqua di una condotta fino ad un serbatoio posto su un grattacielo alto h = 130 m. Quale pressione è necessaria per effettuare questa operazione?

Appare chiaro che per sollevare un liquido ad una altezza h è necessario applicare una pressione almeno uguale a quella idrostatica prodotta dalla colonna di liquido alta h, ossia

applicata stevino

p = p = ρ ⋅ ⋅g h Nel nostro caso:

(1000 9.81 130 Pa) 1.275 10 Pa⁶ 12.6 atm

applicata

p = ⋅ ⋅ = ⋅ =

ESERCIZIO N. 3

Su una fiancata di una nave si apre una falla avente area di S = 75 cm² di area, ad una profondità h = 4.50 m sotto la superficie di galleggiamento (superficie libera del fluido). Sapendo che la densità dell’acqua marina è ρ_A = 1030 kg m³, determinare quale forza è necessario applicare dall’interno per opporsi all’apertura della falla.

La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della falla. Notiamo che la pressione atmosferica agisce sia sulla superficie libera del fluido che sulla parte interna dello scafo, quindi la forza che dobbiamo applicare deve compensare gli effetti di quella parte della pressione dovuta al solo peso del fluido.

Se F

p = S ^{, allora}F = p S⋅ ^{, quindi:}

F = ρ ⋅ ⋅ ⋅g h S

Per applicare questa relazione dobbiamo utilizzare unità di misura congruenti, quindi convertiamo la superficie in metri quadrati:

2 4 2 2

75 cm = 75 10⋅ ⁻ m = 0.0075 m Si ha quindi:

(1030 9.81 4.5 0.0075 N) 341 N

F = ρ ⋅ ⋅ ⋅ =g h S ⋅ ⋅ ⋅ =

(4)

La forza F

ESERCIZIO N. 4

Il petrolio intubato dentro ad un foro di trivellazione a causa delle spinte interne di natura geologica, ha una pressione verso l’alto di

2800 N cm2

p = (relativa alla pressione atmosferica). Per contrastare la risalita del greggio si immette nel tubo una miscela di acqua e fango, di densità ρ_F = 2500 kg m³. Quanto deve essere alta la colonna di fango per contrastare adeguatamente la fuoriuscita del greggio?

La spinta del petrolio può essere contrastata grazie alla pressione idrostatica di una colonna di fango ed acqua di altezza h. L’altezza minima della colonna di fango è quella che dà luogo ad una pressione alla base pari a quella del petrolio.

Se p_fango = p_petrolio = ρ_fango ⋅ ⋅g h, allora:

( )

fango petrolio fango

h = p ρ ⋅ g

con p_petrolio espressa però in unità del S.I. (ossia in Pascal).

Convertendo, si ha: ⁷

4 2

2800 N

2.8 10 Pa 10 m

petrolio

p = ₋ = ⋅

Da cui si ottiene:

( )

^{2.8 10 Pa}₃ ⁷ ₂ ¹¹⁴ ^m

2500 kg m 9.81 m s 1.7

fango petrolio fango

h p ρ ⋅ g = ^⋅ =

= ⋅

L’EQUILIBRIO DI PRESSIONE

ESERCIZIO N. 5

Un cilindro C di massa m_C =1000 kg e di sezione

2 3.00 dm2

S = è appoggiato sulla superficie libera di un fluido di densità ρ_F = 800 kg m³ . All’altra estremità del tubo un pistone P, avente sezione S₁ = 25.0 cm², tiene in equilibrio il fluido, agendo sulla sommità di una colonna di fluido alta h = 3.00 m. Calcolare la massa del pistone P.

Tale sistema fisico assomiglia ad un torchio idraulico e si trova in equilibrio perché la pressione esercitata dal cilindro C sul fluido è uguale alla pressione determinata dal pistone P e dalla colonna di fluido di altezza h. Si realizza quindi un equilibrio di pressioni che si può scrivere come segue:

1 2

P C

m g m g

S^⋅ + ⋅ ⋅ =ρ g h S^⋅

hfango

p

^petrolio

h

C

P

(5)

La forza F

idrostatica esercitata dall’acqua marina, a 4.50 metri di profondità, sulla superficie della 800 9.81 3.00 23544 Pa

liquido

p = ρ ⋅ ⋅ =g h ⋅ ⋅ =

La pressione dovuta al peso del cilindro vale invece:

2

1000 9.81

327000 Pa

cilindro mC g 0.03

p S

⋅ ⋅

= = =

Imponendo l’uguaglianza delle pressioni si ha:

1 P

cilindro liquido

m g

p p

S

⋅ = −

e quindi:

( )

¹ ⁽³²⁷⁰⁰⁰ ²³⁵⁴⁴⁾ ^{25 10}_9.81 ⁴ ^{77.3 kg}

P cilindro liquido

m p p S

g

⋅ −

= − ⋅ = − ⋅ =

ESERCIZIO N. 6

Si deve sollevare un’automobile di massa m_A =1200 kg con un torchio idraulico, poggiandola su una piattaforma di superficie

5.00 m2

SA = , avendo a disposizione un pistone di superficie S_P = 3.50 dm², calcolare quale è la minima forza da applicare sul pistone per poter sollevare l’automobile.

Il principio di funzionamento di un torchio idraulico si basa sul principio di Pascal, secondo il quale una pressione applicata sul pistone mobile si propaga inalterata anche alla piattaforma su cui poggia il veicolo. Il fatto che le pressioni debbano quindi essere uguali, fa sì che coincidano anche i rapporti F S, ovvero si eguagliano i prodotti:

pistone pistone auto auto

F S =F S

Pertanto, da tale ultima uguaglianza si avrà che:

pistone auto pistone auto

F F S

= S ⋅

Se ^m₂

1200 kg 9.81 s 11772 N

auto auto

F = m ⋅ g = ⋅ = , si ha:

2 2

11772 N

0.035 m 82.4 N 5.00 m

auto

pistone pistone

auto

F F S

= S ⋅ = ⋅ =

Questa forza è molto più piccola di quella dovuta al peso dell’auto e può essere prodotta, per esempio, appoggiando sulla superficie del pistone una piccola massa pari a m = 8.40 kg^.

(6)

La forza F

LA PERDITA DI PESO (PESO APPARENTE)

ESERCIZIO N. 7

Un recipiente metallico vuoto avente massa m = 4.00 kg e volume totale V = 5.00 ℓ (litri) viene completamente immerso attraverso una fune in una vasca piena di olio (ρ_olio = 765 kg m³). Calcolare la spinta di Archimede subita dal fusto e la tensione che deve avere la fune per mantenerlo in equilibrio all’interno del liquido.

La spinta di Archimede agente sul recipiente è data da:

3 2

kg 3

m

765 0.0050 m 9.81 s 37.5 N

o

A lio V

S = ρ ⋅ ⋅ g = ⋅ ⋅ =

La tensione della funeT allora uguale alla differenza fra il peso del recipiente P e la spinta di Archimede S_A:

39.2 N 37.5 N 1.7 N

T = P − SA = − =

DENSITÀ RELATIVA

ESERCIZIO N. 8

Un corpo in aria pesa 500 N, mentre quando è immerso in acqua dolce (ρ_A =1000 kg m³) il suo peso apparente¹ è pari a 460 N. Determinare il suo volume e la sua densità relativa rispetto all’acqua.

L’apparente perdita di peso dell’oggetto è ascrivibile all’azione della spinta di Archimede, dunque:

app A A app 40 N

P = P − S ⇒ S = P − P = Si ha inoltre:

3 3

40 4.08 10 m 1000 9.81

A

A A V g V SA

S ⁼ ρ ^{⋅ ⋅} ^⇒ = ρ ⋅ g ⁼ ⋅ ⁼ ^⋅ ⁻ La densità del materiale che costituisce il corpo è dunque:

1 Su un corpo completamente immerso in un fluido agiscono due forze: la forza peso P diretta verso il basso e la spinta di Archimede SA diretta verso l’alto, definite dalle relazioni:

corpo g corpo V g

P = m ⋅ = ρ ⋅ ⋅

fluido

SA = ρ ⋅ ⋅V g

(7)

La forza F

3 3

500 12492 kg m 9.81 4.08 10

C g

m P

V V

ρ = = ₋

⋅ =

= ⋅

⋅

Ricordando che per densità relativa si intende il rapporto fra la densità del corpo stesso e quella dell’acqua, ossia:

r C A

ρ ⁼ ρρ

Nel nostro caso si ottiene:

12492

12.49 1000

C r

A

ρ ⁼ ρρ ⁼ ⁼

Occorre notare che la densità relativa è adimensionale, visto che è il rapporto fra due grandezze identiche.

ESERCIZIO N. 9

Un acquario è posto sopra un dinamometro che misura un peso P = 392.40 N. Si introducono cinque pesciolini rossi, ciascuno di volume pari a V = 5.00 cm³. Quale valore del peso fornirà il dinamometro dopo l’immersione dei pesciolini?

Ogni pesciolino si trova mediamente in quiete rispetto al’acqua presente nell’acquario, quindi la sua densità media sarà pari a quella dell’acqua.

La massa complessiva dei pesciolini sarà dunque pari a:

5 2.50 10 2 kg

P A

m = ⋅ρ ⋅V = ⋅ ⁻ e il loro peso totale è

0.25 N

P P

P = m ⋅ g =

La bilancia misura dunque un peso totale pari a:

392.65 N

T P

P = P + P =

GALLEGGIAMENTO E VOLUME IMMERSO

ESERCIZIO N. 10

Una cassa galleggia sulla superficie del mare (ρ_A =1030 kg m³), affondando per 1 3 del proprio volume. Calcolare la densità della sostanza di cui è fatta la cassa.

Nella situazione rappresentata in figura, la spinta di Archimede è pari (in modulo) al peso del corpo, possiamo quindi scrivere:

A A · i

S = ρ ⋅g V

C · P = ρ ⋅ g V

· ·

A A i C

S = P ⇒ ρ ⋅g V = ρ ⋅ g V

(8)

La forza F

Sviluppando l’ultima equazione si ottiene:

1

3 1030 3

343.3 kg/m

3 3

i A

C A A

V V

ρ = ρ ⋅ = ρ ⋅ = ρ = =

ESERCIZIO N. 11

Un iceberg, la cui forma può essere approssimata ad un cono di altezza h = 50 m e raggio di base

12 m

r = , galleggia sulla superficie del mare (ρ_A = 1030 kg m³). Calcolare il volume della parte emersa, sapendo che la densità del ghiaccio è ρ_G = 920 kg m³.

L’iceberg galleggia, quindi vale la condizione di galleggiamento già vista:

· ·

A A i G

S = P ⇒ ρ ⋅g V = ρ ⋅g V Il volume immerso sarà pertanto dato da:

2

920 12 50 3

· 6735 m

1030 3

G i

A

V ρ V π

ρ ^⋅ ^⋅

= = ⋅ =

da cui si ottiene

(

⁹²⁰

)

¹²² ⁵⁰ ³

1 · 1 805 m

1030 3

G

e i

A

V V V ρ V π

ρ ^⋅ ^⋅

 

= − =  −  = − ⋅ =

 

ESERCIZIO N. 12

In un pezzo di legno (densità ρ_L = 0.50 g cm³) di massa m_P = 800 g si pratica un foro di volume

1 200 cm3

V = , riempiendolo successivamente di piombo (densità ρ_Pb = 11.34 g cm³). In acqua il corpo galleggia o affonda?

Il volume del solido intero vale:

3 3 3

800 1600 cm 1.60 10 m

tot 0.50

L

V m

ρ ⁻

= = = = ⋅

Il volume della cavità vale V₁ = 200 cm³, quindi il volume netto del legno sarà:

3 3 3

1 1400 cm 1.40 10 m

L tot

V =V −V = = ⋅ ⁻

La massa del piombo che riempie la cavità vale:

3 3

1 200 cm 11.34 g cm 2268 g 2.268 kg

Pb Pb

m = ρ ⋅V = ⋅ = =

mentre la massa del legno residuo è:

3 3

0.50 g cm 1400 cm 700 g 0.70 kg

L L L

m = ρ ⋅V = ⋅ = =