Controllo in retroazione:
Analisi e Sensitività
Prof. Laura Giarré
Laura.Giarre@UNIMORE.IT https://giarre.wordpress.com/ca/
ppo CELT affection
mmmm
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Regolatori standard
• Alcune strutture standard di regolatori
• reti correttrici
• anticipo o ritardo
• 1 polo ed uno zero reali
• anticipo/ritardo
• due poli e due zeri reali distinti
• regolatori industriali
• Proporzionali (P)
• Integrali (I)
• Proporzionali-Integrali (PI)
• Proporzionali-Derivativi (PD)
• Proporzionali-Integrali-Derivativi (PID)
wetness .
µ i
Rete di anticipo (phase lead)
• Funzione di trasferimento:
0 10 20
Gain dB
(rad/sec) 0
20 40 60
Phase deg
1/
1/
m 1 Si assume una rete a
guadagno statico unitario
La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello:
migliora il margine di fase intorno ad wm・ effetto utile aumenta il guadagno per w > 1/t ・ effetto collaterale
1 1
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Rete di Anticipo (phase lead)
• Formule utili
m
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Spesso 0.1
m= 55°
Massimo sfasamento introdotto dalla rete
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→ =
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Rete di Anticipo (phase lead)
-100 -50 0 50
Gain dB
(rad/sec) -90
-180 0
Phase deg
Se si sceglie in modo che w
m ceffetto stabilizzante migliora M
Fcresce
c• Effetti sulla f.d.t. di anello
L(s)
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Rete di Anticipo (phase lead)
-20 0 20
Gain dB
-90 -180 0
(rad/sec)
Phase deg
L'aumento di guadagno in
csi può compensare
riducendo il guadagno statico del regolatore
prestazioni statiche !!!
Ingrandita aggiunta di un polo nell'origine
• Effetti sulla f.d.t. di anello
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Rete di Anticipo (phase lead)
-50 0 50
Gain dB
-180
-270
(rad/sec)
Phase deg
-90
La specifica sul Mf 90°
si può soddisfare qui
se si vuole c come prima
Con la rete di anticipo non si può ottenere Mf 90° perché max anticipo è < 90°
per imporre c si può modificare il R del regolatore statico
1/ 1/
Aggiunto polo nell'origine
• Effetti sulla f.d.t. di anello
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• L’obiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà ( , ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati
NOTA: la rete sfasa in anticipo e amplifica. Quindi la pulsazione di
attraversamento desiderata
c* deve essere ≥ di quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per =
c* deve essere minore di -180
o+ M
f* (M
f* margine di fase desiderato).
• Problema: Dati valori desiderati (M*, *,
c*) (con M* > 1, 0 < * < 90
o)
identificare le formule per trovare ( , ) della rete che alla pulsazione =
c* amplifichi di M* e sfasi di *
Reti anticipatrici formule di inversione
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I valori di ( , ) che garantiscono un’amplificazione pari a M* e uno sfasamento * (con M* > 1 e 0 < * < 90
°) per =
c* sono:
Reti anticipatrici formule di inversione
ovvero
che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria) infatti
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• Attenzione: non tutti gli sfasamenti 0 < * < 90
oe le attenuazioni M*>1 possono essere arbitrariamente ottenuti con > 0 e 0 < <1.
• Infatti mentre è facile verificare che 0 < * < 90
oe M* > 1 garantiscono che > 0 e < 1, si ha che
Reti anticipatrici formule di inversione
10-1 100 101 102 103 104
0 30 60
Phase (deg)
0 5 10 15 20
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
'
Ot
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• Progetto mediante formule di inversione:
• Dati del problema:
Sistema esteso Ge(s)
Pulsazione di attraversamento c* e margine di fase Mf*
• Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice
Reti anticipatrici formule di inversione
Step3: Calcolare ( , ) mediante le formule di inversione
Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode)
Verificando che
(ovvero che )
(ovvero che ) Step2: Calcolare
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Reti anticipatrici: code di assestamento
• La presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete anticipatrice
• La rete contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza inferiore a quella di attraversamento (nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione lo zero fungerà da attrattore per un polo dell’impianto)
• La dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento
• Se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di assestamento potrebbe essere più corta del tempo di assestamento
=
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Reti anticipatrici: progetto per cancellazione
• Per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione.
• si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo dell'impianto
• è opportuno scegliere il polo a frequenza inferiore alla
c* prescelta piùvicino ad essa
• il progetto per cancellazione non è sempre possibile:
• occorre verificarne la fattibilità
• lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo
Poli dell’impianto
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Reti anticipatrici: progetto per cancellazione
Step 1)
Si può valutare lo sfasamento e l’amplificazione
dello zero alla pulsazione . fissato
Step 2)
Calcolare l’attenuazione desiderata del polo a = c* e il valore di p = che garantisce l’attenuazione Mp
CA 2018-2019 Prof. Laura Giarré
Reti anticipatrici: progetto per cancellazione
Step 1)
Si può valutare lo sfasamento
e l’amplificazione
dello zero alla pulsazione . fissato
Step 2)
Calcolare l’attenuazione desiderata del polo a = c* e il valore di p = che garantisce l’attenuazione Mp
Nel caso in cui si considerino valori in scala lineare e non in decibel le formule relative ai primi due step diventano
ok
e
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Reti anticipatrici: progetto per cancellazione
Step 3)
Valutare se lo sfasamento del polo per
= c* risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero:
Step 4)
Se sì, si sceglie = p, altrimenti provare con un diverso valore di c*
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La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello:
riduce il guadagno per w>1/t ・ effetto utile
peggiora il margine di fase intorno ad w ・ effetto collaterale
Rete di Ritardo (phase lag)
• Funzione di trasferimento
-20 -10 0
Gain dB
(rad/sec) -60
-40 -20 0
Phase deg
1/
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1
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Rete di Ritardo (phase lag)
• Formule utili
-
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10 20 30 40 50 60 70
Massimo sfasamento negativo introdotto dalla rete
0
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• Effetti sulla f.d.t. di anello
•due possibilità
• aumento del guadagno in bassa frequenza senza alterare il
comportamento in alta frequenza
Rete di Ritardo (phase lag)
-50 0 50
-200 -100 0
impianto
1/
R= 1/
1/
c/10
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• Effetti sulla f.d.t. di anello
• due possibilità
• riduzione del guadagno in alta frequenza per migliorare il margine di fase
• si riduce la banda passante
Rete di Ritardo (phase lag)
R = 1
e maggiori della più grande costante di tempo dell'impianto
-50 0 50
-200 -100 0
impianto
a parte evidenti cambiamenti di segno sono valide
le stesse formule della rete di anticipo
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Sintesi delle Reti di Ritardo
• Si sfrutta l’attenuazione senza accentuare il ritardo di fase
• Lo zero si colloca una decade prima della c scelta, in modo da non
aggiungere ritardo di fase in c
• si calcola per ottenere l'attenuazione necessaria per imporre
c0 dB
°
0
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-180
-1
Impianto + R
sc
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M
Fnon soddisfacente e
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11
-2
Attenzione alla coppia
polo/zero strutturalmente a frequenza più bassa di quella di taglio
coda di assestamento
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• L’obbiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà ( , ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati
NOTA: La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata
c* deve essere <= a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per =
c* deve essere maggiore di -180
o+ M
f* (M
f* margine di fase desiderato).
• Problema: Dati valori desiderati (M*, *,
c*) (con 0 < M* < 1, -90 < * <
0
o) identificare le formule per trovare ( , ) della rete che alla pulsazione =
c* attenui di M* e sfasi di *
Reti ritardatrici formule di inversione
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• I valori di ( , ) che garantiscono un’attenuazione pari a M* e uno sfasamento * (con 0 < M* < 1 e -90
o< * < 0
°) per =
c* sono:
Reti ritardatrice formule di inversione
ovvero
che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria) infatti
*
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• Attenzione: non tutti gli sfasamenti -90
o< * < 0
oe le attenuazioni 0< M* <1 possono essere arbitrariamente ottenuti con > 0 e 0 < <1.
• Infatti mentre è facile verificare che -90
o< * < 0
oe 0 < M* <1 garantiscono che > 0 e < 1, si ha che
Reti ritardatrici formule di inversione
-20 -15 -10 -5 0
Magnitude (dB)
10-1 100 101 102 103 104
-60 -30 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
a O
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• Progetto mediante formule di inversione:
• Dati del problema:
Sistema esteso Ge(s)
Pulsazione di attraversamento c* e margine di fase Mf*
• Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice
Reti ritardatrici formule di inversione
Step3: Calcolare ( , ) mediante le formule di inversione
Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode)
(ovvero che )
Verificando che (ovvero che ) Step2: Calcolare
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Reti ritardatrici: progetto per cancellazione
Step 1)
Si può valutare lo sfasamento e l’amplificazione
dello zero alla pulsazione . fissato
Step 2)
Calcolare l’attenuazione desiderata del polo a = c* e il valore di p = che garantisce l’attenuazione Mp
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Reti ritardatrici: progetto per cancellazione
Step 1)
Si può valutare lo sfasamento
e l’amplificazione
dello zero alla pulsazione . fissato
Step 2)
Calcolare l’attenuazione desiderata del polo a = c* e il valore di p = che garantisce l’attenuazione Mp
Nel caso in cui si considerino valori in scala lineare e non in decibel le formule relative ai primi due step diventano
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Reti ritardatrici: progetto per cancellazione
Step 3)
Valutare se lo sfasamento del polo per
= c* risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero:
Step 4)
Se sì, si sceglie = p, altrimenti provare con un diverso valore di c*
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1 1 2 2
Re Im
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Arg[G(jw)]
log(w)
log(w) 0
1 2 1 1
1 1 1
Diagramma di Bode asintotico
Rete di Ritardo e Anticipo (lead-lag)
• Funzione di trasferimento
Unione di rete
di ritardo e di rete di anticipo
Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza senza pregiudicare la banda passante ed il margine di fase
Esercito
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