→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
1
© Zanichelli Editore, 2006■
PROBLEMA 1Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali x, y:
x11 y
a1,
dove a è un parametro reale positivo.
a)Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano ri- ferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
b)Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione xy4.
c)Scrivere l’equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (1; 1) e intercetta sul- la retta t una corda di lunghezza 22.
d)Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta t.
e)Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenza k.
■
PROBLEMA 2Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:
BD DEEC.
Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.
a)Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC.
b)Ammesso che l’area del quadrilatero DENM sia 4
25a2, dove a è una lunghezza assegnata, e ammesso che l’angolo ABˆC sia acuto e si abbia inoltre: AB13a, BC15a, verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo.
c)Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente sistema di assi cartesiani, trovare l’equazione della parabola, avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti M, N, C.
d)Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo ADC.
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2001
Sessione ordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
2
© Zanichelli Editore, 2006■
QUESTIONARIOIndicata con f (x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f (x)→l per x→a, essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f (a)l e fornire un’esauriente spiegazione della rispo- sta.
Sia f (x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f (0)2.
Calcolare:
limx→0 ,
dove e è la base dei logaritmi naturali.
Si consideri il cubo di spigoli AA′, BB′, CC′, DD′ in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A′B′D′C′. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC′ e D′DE dividono il cubo in quattro parti.
Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.
Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo preferito, che il suo volu- me V è espresso dalla seguente formula:
V1
3 h (BbBd ).
In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione.
Sia f (x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a, b] e tale che, per ogni x di tale intervallo, risulti f′(x)0. Dimostrare che f(x) è costante in quell’intervallo.
Dimostrare che si ha:
dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con nk0.
Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha:
A) area massima e perimetro massimo;
B) area massima e perimetro minimo;
C) area minima e perimetro massimo;
D)area minima e perimetro minimo.
Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione.
Considerata la funzione:
f (x)ax32ax23x,
dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.
8 7
n1 k1 n1
k n
k
6 5 4 3
0xf (x) dt
2xex
2 1
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
■
PROBLEMA 1Si consideri la funzione reale fmdi variabile reale x tale che:
fm
x2 x
m
2
m
,
dove m è un parametro reale non nullo.
a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione.
b) Indicata con C1 la curva rappresentativa della funzione f1(x) corrispondente ad m1, studiarla e dise- gnarla in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, dopo aver determinato, in particola- re, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento nel punto A di ascissa 2.
c) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva C1e dalla retta parallela all’asse delle ascisse condotta per il punto A.
■
PROBLEMA 2Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è 24a2, dove a è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che A
BC
B
3
5 e che il piano della faccia VAB della piramide forma con il piano della base ABC un angolo tale che sen 1
1 2 3 . a) Calcolare l’altezza della piramide.
b) Controllato che essa è 2
54a, calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB.
c) Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di dalla base ABC, cal- colare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo.
d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale?
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2001
Sessione suppletiva
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
■
QUESTIONARIOConsiderata una funzione reale di variabile reale f (x), si prendano in esame le due seguenti proposizioni:
A: condizione necessaria e sufficiente affinché f (x) sia definita in un punto a è che sia continua in a.
B: condizione necessaria e sufficiente affinché f (x) sia continua in un punto a è che sia derivabile in a.
Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un’esauriente giustificazione della ri- sposta.
A vera - B vera A vera - B falsa A falsa - B vera A falsa - B falsa
Si consideri il cubo di spigoli AA′, BB′, CC′, DD′, in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A′B′C′D′. Indicato con E il punto medio dello spigolo AB, sia CF la retta perpendicolare a DE condotta per C. I piani D′DE e C′CF dividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale frazione del cubo equivale ciascuna di esse.
Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti:
nk0 1 048 576.
Sia f (x) una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo reale, tale che: f (0)1 ed f′(0)2. Calcolare:
limx→0 .
Dimostrare che la derivata, rispetto a x, della funzione ax, dove a è un numero reale positivo diverso da 1, è axln a.
Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima.
Una primitiva della funzione f (x) è x22x. Se è possibile calcolare 01fx2dx, determinare il valore del- l’integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile.
In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sia T un trapezoide di base [a; b] relati- vo alla funzione f (x), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all’asse x.
Calcolare la derivata della funzione sen 2x rispetto alla variabile x, ricorrendo alla definizione di derivata di una funzione.
Considerata una funzione reale di variabile reale f (x), derivabile almeno due volte in un dato punto a, af- finché la funzione f (x) abbia in a un punto di flesso la condizione f ″(a)0 è:
necessaria e sufficiente. necessaria ma non sufficiente. sufficiente ma non necessaria.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
C B
A 10
9 8 7 6 5
0xf (t) dtx
cos 2x1
4
n k
3 2
D C
B A
1
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
1
© Zanichelli Editore, 2006■
PROBLEMA 1In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione yf(x), dove è:
f (x) x x
2 3
2
.2
a)Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y0 e per quali nel semipiano y0.
b)Trovare l’equazione della parabola passante per l’origine O degli assi e avente l’asse di simmetria paral- lelo all’asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa 1 (N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari).
c)Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa 1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza.
d)Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all’asse x.
e)Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f (x) assegnata, relativamente all’intervallo2 x0.
■
PROBLEMA 2Si considerino le lunghezze seguenti:
[1] a2x, ax, 2ax,
dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita.
a)Determinare per quali valori di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere.
b)Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima.
c)Verificato che per x a
4 le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costru- zione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ot- tusangolo.
d)Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c, in modo che BC sia il lato maggiore, si con- duca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due piani DBC e ABC.
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2002
Sessione ordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
2
© Zanichelli Editore, 2006■
QUESTIONARIOIl rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.
Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali A′e A″e volumi V′e V″. Si sa che A A
″
2. Cal-′ colare il valore del rapporto
V V
″
.′
Considerati i numeri reali a, b, c, d – comunque scelti – se ab e cd allora:
A adbc;
B adbc;
C adbc;
D
dab c.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.
Si consideri la seguente proposizione: “La media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica”. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.
Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione:
x22 1
x3
x
a
3
x b
1 sia un’identità.
Si consideri la funzione:
f (x)(2x1)7(42x)5.
Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo 1
2 x2.
Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f (x) tale che:
f (x)xx1ln tdt, con x0.
La funzione reale di variabile reale è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1; 3] e derivabile nell’inter- vallo aperto ]1, 3[. Si sa che f (1)1 e inoltre 0f ′(x)2 per ogni x dell’intervallo ]1; 3[. Spiegare in ma- niera esauriente perché risulta 1f(3)5.
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:
yx2 1 1 x.2
9 8 7 6 5 4 3 2 1
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
3
© Zanichelli Editore, 2006Tale luogo è costituito da:
A un punto;
B due punti;
C infiniti punti;
D nessun punto.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
La funzione reale di variabile reale f (x), continua per ogni x, è tale che:
02f (x) dxa, 06f (x) dxb, dove a, b sono numeri reali.
Determinare, se esistono, i valori a, b per cui risulta:
03f (2x) dxln2 e 13f (2x) dxln4.
10
Durata massima della prova: 6 ore
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
■
PROBLEMA 1Se il polinomio f (x) si divide per x2– 1 si ottiene x come quoziente e x come resto.
a) Determinare f (x).
b) Studiare la funzione
y
x f
2
(
x)
1
e disegnarne il grafico G in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), dopo aver trovato, in particolare, i suoi punti di massimo, minimo e flesso e i suoi asintoti.
c) Trovare l’equazione della retta t tangente a G nel suo punto di ascissa 1 2 . d) Determinare le coordinate dei punti comuni alla retta t e alla curva G.
e) Dopo aver determinato i numeri a, b tali che sussista l’identità:
x2 x
1
x a
1
x b
,1
calcolare una primitiva della funzione y
x f
2
(
x)
.1
■
PROBLEMA 2Una piramide di vertice V, avente per base il trapezio rettangolo ABCD, è tale che:
– il trapezio di base è circoscritto a un semicerchio avente come diametro il lato AB perpendicolare alle basi del trapezio;
– lo spigolo VA è perpendicolare al piano di base della piramide;
– la faccia VBC della piramide forma un angolo di 45° con il piano della base.
a) Indicato con E il punto medio del segmento AB, dimostrare che il triangolo CED è rettangolo.
b) Sapendo che l’altezza della piramide è lunga 2a, dove a è una lunghezza assegnata, e che BC2AD, calcolare l’area e il perimetro del trapezio ABCD.
c) Determinare quindi l’altezza del prisma retto avente volume massimo, inscritto nella piramide in modo che una sua base sia contenuta nella base ABCD della piramide.
d) Stabilire se tale prisma ha anche la massima area laterale.
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2002
Sessione suppletiva
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
■
QUESTIONARIOSi consideri la seguente equazione in x, y:
2 x22 y2xyk0,
dove k è un parametro reale. La sua rappresentazione in un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali:
è una circonferenza per ogni valore di k.
è una circonferenza solo per k1 2 . è una circonferenza solo per k1
4 . non è una circonferenza qualunque sia k.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e giustificare la risposta.
Considerata la funzione di variabile reale: f (x)x 1 1 x, dire se esiste il limite di f(x) per x ten- dente a 1 e giustificare la risposta.
Sia f (x) una funzione reale di variabile reale. Si sa che: f (x) è derivabile su tutto l’asse reale; f (x)0 solo per x0; f(x) → 0 per x → ; f′(x)0 soltanto per x2 e x1;f(2)1 ed f(1)2. Dire, dandone esauriente spiegazione, se le informazioni suddette sono sufficienti per determinare gli intervalli in cui la funzione è definita, quelli in cui è continua, quelli in cui è positiva, quelli in cui è negativa, quelli in cui cresce, quelli in cui decresce. Si può dire qualcosa circa i flessi di f (x)?
Sia f (x) una funzione di variabile reale definita nel modo seguente:
f (x)
dove a è un parametro reale non nullo. Stabilire se esiste un valore di a per il quale il dominio della fun- zione possa essere prolungato anche nel punto x0.
Un titolo di borsa ha perso ieri l’x % del suo valore. Oggi quel titolo, guadagnando l’y %, è ritornato al va- lore che aveva ieri prima della perdita. Esprimere y in funzione di x.
Come si sa, la condizione che la funzione reale di variabile reale f (x) sia continua in un intervallo chiuso e limitato [a; b] è sufficiente per concludere che f (x) è integrabile su [a; b]. Fornire due esempi, non concet- tualmente equivalenti, che dimostrino come la condizione non sia necessaria.
Una primitiva della funzione f (x)
2 1
x
2x 1
4è:
ln x
x
.2 ln x x
.2 ln x2 2x . ln 2x2 x .
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione della scelta operata.
D C
B A
7 6 5
a1sen2x per 0x
2
1 se
n a
x per
2 x0
4 3 2
D C B A 1
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Snrappresenta la somma dei primi n numeri naturali dispari. La successione di termine generale antale che an
2 S
n
n
, è:2
costante. crescente. decrescente.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione della scelta operata.
Dato un tetraedro regolare, si consideri il quadrilatero avente per vertici i punti medi degli spigoli di due facce. Dimostrare che si tratta di un quadrato.
Di due rette a, b – assegnate nello spazio ordinario – si sa soltanto che entrambe sono perpendicolari a una stessa retta p.
a) È possibile che le rette a, b siano parallele?
b) È possibile che le rette a, b siano ortogonali?
c) Le rette a, b sono comunque parallele?
d) Le rette a, b sono comunque ortogonali?
Per ciascuna delle quattro domande motivare la relativa risposta.
10 9
C B
A 8
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
Il limite si presenta ancora sotto forma indeterminata ∞
∞; la trattazione di quest’ultima è però più semplice, infatti (ricordando che
= ⇒ = ∀ >
2 2 0
x x x x x ):
→+∞
( )
→+∞
→+∞
+ =
+ + + − −
= + =
+ + + − −
= + = =
+ + + − −
2 2
2 2
2 2
6 2
lim 3 1 3 1
6 2
lim 3 2 3 1
1 1
6 2
lim 6 3
3 2 3 1 2
1 1
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
Nota: trattandosi di un limite per x → +∞, ci siamo limitati a considerare valori della variabile indipendente x > 0, per i quali abbiamo posto direttamente
= x x. Si ha quindi:
→+∞ 2 + + − 2 − − =
lim 3 1 3 1 3
x
x x x x
Esempio
Calcolare il seguente limite:
→−∞
+ − −
2 2
2 3
xlim
x x x x
x Risoluzione
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
+ + − − − =
+ + + − −
= + + − − − + + + − − =
+ + − − − +
= =
+ + + − − + + + − −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
lim 3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 ( 3 1) 6 2
lim lim
3 1 3 1 3 1 3 1
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
1
© Zanichelli Editore, 2006■
PROBLEMA 1Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.
a) Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.
b) Considerato il tetraedro regolare T ′ avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli spigoli di T e T ′ e il rapporto fra i volumi di T e T ′.
c) Condotto il piano , contenente la retta AB e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e posto che uno spigolo di T sia lungo s, calcolare la distanza di E dalla retta AB.
d) Considerata nel piano la parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti A, B ed E, riferire questo piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali e trovare l’equa- zione di p.
e) Determinare per quale valore di s la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta EA ha area
3 2
cm2.
■
PROBLEMA 2È assegnata la funzione f (x)
x2 2
m x
1
, dove m è un parametro reale.m
a) Determinare il suo dominio di derivabilità.
b) Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che risulti nulla per x1.
c) Studiare la funzione f (x) corrispondente al valore di m così trovato e disegnarne il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), dopo aver stabilito quanti sono esattamente i flessi di ed aver fornito una spiegazione esauriente di ciò.
d) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dal grafico , dall’asse x e dalla retta di equazio- ne x1.
■
QUESTIONARIODopo aver fornito la definizione di “rette sghembe”, si consideri la seguente proposizione: «Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe». Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazio- ne della risposta.
1
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO • 2003
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
