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Capitolo Quinto
Equazioni di bilancio di energia
1. Il primo principio della Termodinamica: richiami
Il primo principio della Termodinamica afferma che l’energia è una grandezza che si conserva, che può essere scambiata e trasformata da una forma all’altra (termica, elettrica, meccanica), ma non creata né distrutta (si rammenti l’esperienza di Joule).
Nella enunciazione del primo principio uno degli elementi fondamentali è la possibilità, e nello stesso tempo la necessità, di distinguere fra vari tipi di energia e, in particolare, fra energia posseduta dal sistema termodinamico ed energia scambiata dal sistema stesso con l’ambiente circostante.
Energia posseduta. L’energia posseduta (E) da un sistema termodinamico è data dalla somma dei contributi di energia interna (U), di energia cinetica (K) e di energia potenziale (). Si ha infatti:
1 2
ˆ ˆ ; ; ˆ
V V V 2 V
E U K
U Udm UdV K v dV dV
Energia interna. U rappresenta l’insieme di tutti i contributi di energia al sistema di tipo non meccanico e non elettromagnetico, ovvero non riconducibili alla posizione o alla velocità del sistema stesso. Si tratta di una grandezza legata solo a proprietà interne del sistema, alla natura del sistema, alla sua composizione, alle fasi presenti, alle condizioni di pressione, densità e temperatura. Su base intuitiva (ma anche in seguito alle formulazioni della termodinamica statistica) si può associare ai livelli energetici dei legami molecolari, alle energie di legame, ecc. Qualitativamente, rappresenta la somma dei contributi energetici di ogni singola molecola, identificabili ad esempio in energia cinetica di traslazione, di rotazione e di vibrazione. L’energia interna si presenta in realtà come una grandezza primitiva e l’esperienza mostra che si tratta di una grandezza estensiva. Inoltre, il suo legame con le proprietà interne del sistema indica che la corrispondente grandezza specifica dipende da variabili di stato, ovvero dalle grandezze termodinamiche che si possono utilizzare per individuare lo stato di un sistema; è quindi una funzione di stato.
Il nome (energia “interna”) dato a questa proprietà deriva dalla sua contrapposizione all’energia “esterna” derivata dalla Meccanica classica riconducibile alla velocità ed alla posizione del sistema oggetto di studio.
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.2 In sintesi, in Termodinamica si enuncia il primo principio e si introduce la grandezza U come conseguenza di ciò che l’esperienza ha dimostrato, ovvero che:“Esiste una grandezza estensiva, funzione delle proprietà interne del sistema, tale per cui la somma di essa con i contributi di energia esterna risulta costante in un sistema isolato”.
Osservazioni:
a) Nel caso in cui nel sistema si abbiano proprietà uniformi nello spazio, cioè ad esempio
, T, p, ecc. sono costanti nel volume di riferimento (ad esempio valori costanti in ogni punto della fase a cui ci si può riferire), si ha semplicemente:
ˆ ˆ ˆ ˆ
V V
U
UdV U dV
VU U mUb) L’ energia potenziale è un termine la cui entità dipende dall’osservatore; nel campo gravitazionale si ha
V
gzdVEnergia scambiata. Con riferimento ad un sistema termodinamico di volume V racchiuso dalla superficie S attraversata da correnti materiali, si definiscono come energia scambiata attraverso la superficie le seguenti quantità:
Q = potenza termica scambiata attraverso la superficie S
L
t= potenza totale (meccanica ed elettrica) scambiata attraverso la superficie S, ivi inclusi i punti di scambio con correnti materiali Q rappresenta la quantità di energia scambiata per unità di tempo e si tratta di una grandezza primitiva. E’ ovviamente la forma di energia che viene scambiata quando si pongono in contatto sistemi che non si trovano in condizione di equilibrio termico.Dal punto di vista generale comprende i contributi di potenza termica scambiati o trasmessi per conduzione e/o irraggiamento attraverso la superficie non interessata da scambio di materia.
L’affermazione precedente ha validità in senso stretto nell’ipotesi di considerare proprietà costanti e pari a valori medi nelle sezioni di intersezione fra le correnti materiali e la superficie di controllo S, il che implica direttamente di considerare trascurabili i contributi dovuti ad eventuali trasporti diffusivi lungo le correnti materiali stesse.
L
t, nel caso generale, comprende diversi contributi ovviamente riconducibili sempre all’azione di forze. In particolare:t fS el
L L L
(5.1)FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.3
L
fS rappresenta la potenza delle forze esterne applicate alla superficie; si ricorda che fS SS
L F v
v t dS , in cui F e t sono rispettivamente la risultante delle S forze esterne applicate alla superficie e la densità di forza per unità di superficie.Il termine generale di potenza meccanica dovuta alle forze esterne di superficie può essere suddiviso in due contributi:
/
fS S e u
L L L (5.2)
in cui LS rappresenta la potenza meccanica scambiata sulla superficie non attraversata da flusso di materia, mentre Le/u costituisce la potenza scambiata attraverso le superfici punto di intersezione con correnti materiali, ovvero l’energia spesa/ottenuta per introdurre/espellere le diverse correnti materiali, altresì detta potenza di pulsione.
Rientrano ad esempio nel termine LSla potenza meccanica fornita al sistema da pompe e/o compressori o ceduta dal sistema in turbine (potenza all’albero), la potenza fornita all’albero della girante per effettuare la miscelazione del sistema, la potenza scambiata attraverso pareti mobili di sistemi chiusi (sistema pistone- cilindro) o la potenza legata all’azione della pressione esterna sul pelo libero di un liquido.
L
el rappresenta la potenza elettrica scambiata attraverso la superficie e comprende ad esempio i contributi di potenza prodotta da un generatore elettrochimico e/o consumata da un elettrolizzatore, i contributi di potenza forniti attraverso resistenze elettriche.Osservazione
Si assumono trascurabili i termini di scambio relativi ad energia elettromagnetica, che nei casi di interesse dell’ingegneria di processo non risultano mai determinanti.
1.1 Lavoro di pulsione
La potenza di pulsione costituisce la potenza scambiata attraverso le superfici punto di intersezione con correnti materiali, ovvero rappresenta l’energia spesa/ottenuta per introdurre/espellere le diverse correnti materiali.
Se nelle sezioni di entrata e/o uscita delle correnti la forza esterna che agisce sulla superficie è solo quella di pressione, la potenza di pulsione risulta facilmente esprimibile come segue, facendo riferimento a pressione e portata volumetrica
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.4 costanti e pari ai valori medi lungo le sezioni di intersezione fra le correnti entranti ed uscenti e la superficie S:
( ) ( ) ( ) ( )
/
1 1
ˆ ˆ
( ) ( )
e u
N N
e e u u
e u
e u
L m pV m pV
(5.3)che costituisce un contributo di natura meccanica alla portata di energia posseduta dal sistema.
2. Equazione di bilancio integrale di energia
Si richiama l’equazione generale di bilancio integrale di una proprietà estensiva e lo schema di Figura 3.1- cap.3:
( ) ( )
1 1
e u
N N
e u
g S
e u
d dt
(3.1)( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ˆ)
( ˆ)
(e) (e)
x x
e
e e e e e e e e e e e e
e x x x x e
u u
x x
u
u u u u u u u u u
u x x x u
v = v e
L F v p S e v e p S v p S V m pV
S
v v e
L F v p S e v e p S V m pV
S
Dimostrazione nel caso di geometria piana e proprietà medie costanti per una corrente entrante e una corrente uscente
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.5 Nella rappresentazione dell’equazione di bilancio di energia si assumono le seguenti corrispondenze, ricordando il significato del lavoro di pulsione:
E, E pV
e
S Q Lt Le u/ La Eq. (3.1) diventa quindi:( ) ( ) ( ) ( )
1 1
ˆ ˆ
e u
N N
e e u u
g t
e u
dE m E m E E Q L
dt
(5.4)Il principio di conservazione dell’energia (Primo principio della termodinamica) impone che Eg= 0 e pertanto l’equazione di bilancio integrale di energia è rappresentata dalla seguente equazione:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ
e u
N N
e e u u
t
e u
d U K
m U K m U K Q L
dt
(5.5)Nella definizione dell’Eq. (5.5) si è assunta la convenzione per la quale
Q
edL
tsono positivi se forniti al sistema, convenzione raccomandata dalla International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC).
L’Eq. (5.5) è una equazione scalare, vale per ogni sistema, sia esso puntiforme o coincidente con un’apparecchiatura o un impianto, sia esso monocomponente o costituito da più composti e più fasi, anche, ovviamente, in presenza di reazioni chimiche. Nella soluzione dei problemi di bilancio integrale per impianti chimici essa va usata assieme alle equazioni di bilancio di materia.
Per ogni superficie di controllo si dispone, quindi, di un sistema di Nc+1 equazioni di bilancio linearmente indipendenti.
3. Equazione di bilancio integrale di energia: entalpia e forme semplificate Introducendo l’espressione della potenza di pulsione (Eq. (5.3)) nell’equazione di bilancio di energia (Eq.(5.5)) si ricava l’equazione di bilancio integrale di energia, nella forma rappresentata dall’equazione (5.6), maggiormente applicata nella soluzione di problemi dell’industria di processo.
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( (
e u
N N
e e u u
S el
e u
d U K dt
m H K
m H K
Q L L
(5.6)FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.6 in cui resta definita una importante grandezza termodinamica, la entalpia (H) e la corrispondente portata entalpica (
H
( )j ) di una generica corrente:( ) ( ) ˆ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ
; j j j j j ; H=U+pV; H=U+pV
H U pV H m H n H , con
ovvio significato dei simboli.
3.1 Applicazione a problemi dell’industria di processo
Poiché negli apparati dell’industria processo le variazioni di energia cinetica e potenziale sono normalmente trascurabili rispetto alle variazioni di entalpia e soprattutto rispetto ai termini di calore e/o lavoro scambiato (si pensi a reattori, a turbine a vapore, a scambiatori di calore, a colonne di distillazione, etc.), la Eq. (5.6) si può semplificare nella Eq. (5.7):
( ) ( )
1 1
e u
N N
e u
S
e u
dU H H Q L
dt
(5.7)in cui viene trascurato il termine relativo alla potenza elettrica, tipico dei sistemi elettrochimici.
Esempio 3.1
Trascurabilità dei termini di energia cinetica e potenziale. Si consideri un sistema in cui acqua si muove con variazioni di velocità pari a 10 m/s ed è sottoposto ad una variazione di quota di 20 m. I valori corrispondenti di differenze di energia cinetica e potenziale specifiche risulterebbero:
2 2
2
ˆ 1 50 50 ; ˆ 200
2
m J J
K v gz
s kg kg
Se oltre a queste condizioni il fluido fosse sottoposto ad una variazione di temperatura di 10 °C, la corrispondente variazione di entalpia specifica sarebbe pari a:
ˆ ˆp 1x10 kcal C 41870 J H c T
kg K kg
Nel caso in cui invece il fluido subisse una evaporazione, ad esempio a 25°C, i valori di entalpia specifica sarebbero pari a ˆ 2440 10 3 J
H kg
.
Si osserva quindi che rispetto ai casi in cui sono presenti termini di calore sensibile e/o calore latente, le variazioni di entalpia risultano maggiori delle corrispondenti variazioni di energia cinetica e potenziale di almeno 2-6 ordini di grandezza, così da confermare la loro trascurabilità nelle applicazioni di bilancio di energia a sistemi dell’industria di processo.
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.7 Esempio 3.2
Macchine motrici ed operatrici. Si consideri il caso semplice riportato nella Figura 5.1 in cui si presenta un sistema aperto, in regime stazionario, con una corrente entrante ed una corrente uscente.
Per la superficie di controllo che racchiude il sistema si possono scrivere le seguenti equazioni, ricavate associando il bilancio di materia totale al bilancio di energia.
(1) (2)
(2) (1)
ˆ ˆ
( ) S
m m m
m H H Q L
La soluzione di questo sistema richiede il calcolo della differenza di entalpia specifica e consente ad esempio la valutazione della potenza scambiata (termica o meccanica o la loro somma) una volta note le condizioni delle correnti.
Esempi tipici di questo semplice caso sono rappresentati da apparecchiature quali pompe, compressori, turbine a vapore, di cui si riportano nel riquadro sottostante le schematizzazioni impiantistiche secondo le norme UNICHIM e secondo le più recenti norme UNI EN ISO 10628 (2003).
Per questi sistemi è accettabile e generalmente applicata l’ipotesi di apparecchiature adiabatiche (
Q 0
), ovvero con perdite di calore trascurabili attraverso le pareti;l’ipotesi è rappresentativa delle condizioni di funzionamento reali, perché il tempo di permanenza del fluido nell’apparecchiatura è breve o perché le apparecchiature vengono adeguatamente coibentate, o per entrambe le motivazioni. La potenza scambiata rappresenta in questi casi il lavoro meccanico fornito al (ceduto dal) fluido all’albero, con ovvia distinzione fra macchine operatrici e motrici.
Fig. 5.1. Esempio di schema di una macchina operatrice e/o motrice
LS
Q
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.8
Esempio 3.3
Bilancio di energia sistema chiuso. Nel caso di un sistema chiuso dall’Eq.(5.5), ovvero dalla Eq.(5.6), si ricava:
( )
S el
d U K
Q L L dt
(5.8)Inoltre, nel caso in cui energia cinetica e potenziale siano trascurabili rispetto all’energia interna e non si considerano sistemi elettrochimici, dall’Eq. (5.8) si ottiene anche:
S
dU Q L
dt
(5.9)Tale equazione consente, ad esempio, di ricavare l’evoluzione del sistema nel tempo, cioè
p p t ( )
, Vˆ V tˆ( ) (grandezze contenute in U), una volta che sia notoQ
eSchema di pompa centrifuga (G1), compressore (P1) e turbina (J1) secondo le norme UNICHIM (1994)
Schema di pompa (P1), compressore (V1) e turbina (Y1) secondo le norme UNI EN ISO 10628 (2003)
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.9 l’insieme delle forze applicate sulla superficie (specifica che a sua volta consente di effettuare a priori il calcolo di LS).
Per capire meglio il problema, ci si riferisca al caso di compressione di un fluido in un sistema chiuso e adiabatico, situazione realizzabile ad esempio in un cilindro a pareti rigide dotato di un pistone mobile ideale (di massa trascurabile e senza attrito) e coibentato (isolato termicamente con l’esterno), come mostrato nello schema in Figura (5.2). All’inizio il pistone è fissato in modo da mantenere all’interno una pressione p0, mentre all’esterno agisce una pressione costante pext>p0.
Se, a partire da un certo istante, il pistone viene lasciato libero di muoversi, si osserva che il pistone scorre spontaneamente ed in maniera assai veloce verso l’interno del cilindro, portando quasi istantaneamente ad una riduzione del volume a disposizione del fluido. Il processo si arresta quando le forze sul pistone sono bilanciate, ovvero quando la pressione all’interno del sistema nelle condizioni finali pf risulta uguale alla pressione pext in assenza di attrito e con massa del pistone trascurabile.
Per calcolare le condizioni finali del fluido all’interno del cilindro, si può far uso delle equazioni di bilancio di materia e bilancio di energia, unitamente alle informazioni relative alle proprietà del fluido (una equazione di stato, quella del gas ideale ad esempio) ed al sistema di forze che agiscono sul pistone. In generale, si può scrivere:
0
0 (0) dm
dt
m m
;
(0)
0S ext
dU dV
L p
dt dt
U U
;
proprietà del fluido
f p V T ( , , ) 0
Gas ideale pV RT
(si ricordi la convenzione per la potenza; se dV/dt<0 il lavoro è fornito e quindi positivo).
Integrando, nell’ipotesi di sostanze pure e/o miscele senza reazioni chimiche, si ottengono le seguenti relazioni:
Fig. 5.2. Esempio di lavoro contro pressione
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.10
0 0 0 0 0
0 0 0
; ; ( );
; ;
tf
f f S ext f f S S
f f f f f f S f S
m m n n L p V V U U L L dt
p V RT p V RT V n V L n L
in cui, note le condizioni iniziali del fluido ed il valore di pext, compaiono le incognite , , ,
f S f f
n L V T ; sapendo poi che Uf U T V( f, f), è quindi possibile procedere al calcolo della temperatura e del volume nelle condizioni finali e del lavoro globalmente scambiato al sistema.
Osservazioni.
a) Nel caso descritto, di compressione, si tratta di lavoro da fornire al sistema; la procedura di calcolo resta valida con le opportune variazioni nel caso di espansione del fluido contro pressione. In generale, la potenza meccanica scambiata durante la trasformazione contro pressione costante risulta S ext dV
L p
dt .
b) Si è risolto il problema usando una equazione di stato e la conoscenza dell’insieme di forze applicato. Si fa notare che la trasformazione descritta è una trasformazione spontanea che certamente avviene con alte velocità. Applicando l’equazione di bilancio di entropia si potrà ricavare con semplici calcoli il valore della corrispondente generazione di entropia (si rimanda ai testi di Termodinamica classica per i riferimenti del caso)
4. L’equazione dell’energia termica (OPZIONALE- solo per ripasso)
L’Esempio 3.3 pone chiaramente in evidenza, seppure per un caso semplice, l’esistenza di una potenza meccanica legata alla compressione di un fluido, cioè legata alla volontà dell’operatore di variare la pressione del fluido aumentandola.
Benchè sia intuitivo e quotidianamente sperimentato che per aumentare la pressione di un fluido si debba compiere lavoro, non altrettanto banale è la motivazione e la quantificazione di questo fenomeno. Il problema è affrontato ampiamente ed approfonditamente nei testi di Meccanica dei Fluidi ai quali si rimanda per una trattazione rigorosa e completa. In questa parte del testo si procede a riassumere gli elementi necessari per ricavare l’equazione dell’energia termica e alcune sue forme semplificate utili per applicazioni di tipo ingegneristico.
Qualitativamente parlando, è noto che si riesce a comprimere un fluido, ma non un solido, che per quanto concerne la Termodinamica può essere visto come un corpo rigido. Inoltre, per comprimere un fluido si osserva che bisogna sempre fornire lavoro per vincere la resistenza che il sistema oppone alla compressione stessa.
Compressione significa che il sistema può essere modificato nel volume e/o nella
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.11 sua forma, ma il sistema tipicamente oppone una resistenza alla deformazione che si vuole operare su di esso, resistenza che si presenta come necessità di fornire un lavoro di tipo meccanico. La risposta che il sistema presenta ai tentativi di deformarlo dipende dal tipo di materiale e può essere espressa in maniera diversa per classi di sostanze (att.ne non per classi di composti chimici, ma per classi di sostanze in cui rientrano sistemi sia monocomponente sia multicomponenti, ad esempio fluidi newtoniani, fluidi perfetti, etc.).
Quantitativamente parlando, ci si riferisce semplicemente alla equazione dell’energia meccanica per un corpo deformabile, ricordando quanto segue.
Si consideri per semplicità un sistema chiuso (e quindi a massa costante) costituito da particelle neutre, cioè non dotate di carica elettrica, e sia F la risultante delle forze esterne che agiscono su di esso; tale risultante può essere suddivisa nel contributo delle forze di campo (conservative, derivanti da un potenziale) e nel contributo delle forze di superficie:
F F
S F
cRicordando inoltre che nel sistema gravitazionale l’unica forza di campo in gioco è la forza di gravità, si ricava che:
; ( )
c c z z
d mgz
d dz d
F F v v mgz e e
dz dt dt dt
Dal teorema delle forze vive (o integrale primo del moto) applicato ad un corpo rigido si ottiene:
1
22
dv d dK
L F v ma v m v mv
dt dt dt
Da cui si ottiene rapidamente l’equazione dell’energia meccanica per un corpo rigido:
S c fS c
fS
L dK F v F v F v L F v dt
dK d L dt dt
con ovvio significato dei simboli.
In Termodinamica l’interesse verte su sistemi deformabili, per i quali l’equazione precedente si modifica significativamente; in questi casi, infatti, la Meccanica pone che la potenza delle forze esterne di superficie non venga convertita totalmente in velocità di variazione dell’energia cinetica e potenziale, ma una parte venga utilizzata (assorbita) per vincere la resistenza del mezzo alla deformazione. In
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.12 simboli, ciò implica che vale la seguente espressione, nota come equazione dell’energia meccanica per un corpo deformabile:
fS def
L d K L
dt
in cui
L
def rappresenta la potenza di deformazione.Per un sistema chiuso deformabile, nel caso in cui non sia presente il contributo della potenza elettrica o, parimenti, nel caso in cui questo contributo venga inglobato nel termine di flusso termico, è quindi possibile scrivere l’equazione di bilancio di energia (che rappresenta il primo principio della termodinamica) e l’equazione di bilancio dell’energia meccanica (che rappresenta il principio di conservazione della stessa).
( )
( )
fS
fS def
d U K
Q L dt
d K L L
dt
Questo sistema di equazioni è del tutto equivalente al seguente, ottenuto per combinazione lineare delle precedenti,:
( )
fS
def
d U K
Q L dt
dU Q L dt
(5.10)
La seconda delle Eq. (5.10) prende il nome di equazione dell’energia termica ed è scritta per un sistema chiuso.
La stessa procedura nel caso di un sistema aperto porta alla corrispondente espressione dell’equazione dell’energia termica per sistemi aperti:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
ˆ ˆ
e u
N N
e e u u
def
e u
dU m U m U Q L
dt
(5.11)Le Eq. (5.10) e (5.11) rappresentano formulazioni rigorosamente esatte del I principio della Termodinamica; in particolare risulta evidente la possibilità di convertire energia termica (Q) in energia meccanica (Ldef ) e viceversa.
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.13 Nel caso speciale di corpi rigidi, la conversione fra energia termica e meccanica è impossibile, essendo Ldef 0, ovvero la conversione fra energia termica e meccanica è possibile solo per corpi deformabili, cioè attraverso l’impiego di fluidi (si rammenti, in particolare, l’impiego del vapor d’acqua in un generico ciclo di potenza), con limitazioni al rendimento massimo ottenibile imposte dal secondo principio della TD.
Le equazioni in oggetto valgono per un qualunque sistema racchiuso da una superficie di controllo, coincidente anche con una apparecchiatura o un impianto;
valgono altresì per un sistema puntiforme continuo.
Osservazione
a) La formulazione (5.10) dell’equazione dell’energia termica per sistemi chiusi è l’espressione che comunemente viene usata nelle trattazioni elementari del primo principio della termodinamica.
b) Le formulazioni (5.10) e/o (5.11) valgono per ogni tipo di fluido (sia esso un gas ideale o una crema spalmabile al cioccolato) e per ogni tipo di trasformazione.
4.1 Potenza di deformazione (OPZIONALE- solo per ripasso)
La Meccanica del Continuo fornisce espressioni che consentono di esprimere la potenza di deformazione in funzione di proprietà interne del sistema e ad essa si rimanda per una trattazione dettagliata.
In questo capitolo si ricorda che il lavoro di deformazione (ovvero la potenza di deformazione) è il lavoro compiuto dagli sforzi interni che insorgono nel fluido a seguito delle deformazioni imposte. Il modo in cui il sistema si oppone alla deformazione dipende dal tipo di materiale, cioè si evidenziano classi di sostanze che si comportano in modo analogo, quando sottoposti a gradienti di pressione e velocità. Le relazioni che si utilizzano per esprimere il lavoro di deformazione sono di natura sperimentale e vengono classificate come equazioni costitutive del mezzo.
In maniera molto generale, si possono sintetizzare come segue.
L
def dipende essenzialmente da proprietà intrinseche del sistema (tipicamente temperatura, pressione, volume specifico, viscosità dinamica, costante elastica, etc.) e da proprietà cinetiche (la velocità con cui avviene la deformazione).Si può suddividere in due termini che esprimono il contributo delle forze di superficie agenti in direzione normale alla superficie stessa (potenza di deformazione di volume) e il contributo delle forze di superficie agenti in direzione tangenziale
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.14 alla superficie stessa (potenza di deformazione di forma), come indicato nella relazione (5.12).
def def def
L = L
(volume) L
(forma) (5.12)Per molte classi di sostanze di interesse nella termodinamica vale la seguente relazione:
( ) ˆ ( ) ( )
ˆdefvolume ; defvolume ˆdefvolume
V
L pdV L L dV
dt
(5.13)in cui p rappresenta la pressione interna del sistema. Nel caso di fluidi incomprimibili questo termine è ovviamente nullo.
E’ importante osservare che tale espressione vale se si è in grado di esprimere la derivata nel tempo del volume specifico, ovvero vale fintantoché la trasformazione avviene in modo tale che la funzione volume specifico con il tempo sia continua e derivabile. In altri termini, il sistema di misura delle proprietà costitutive del mezzo è un sistema che deve necessariamente realizzare variazioni regolari delle proprietà nel tempo. Infine, per eseguire i calcoli di cui all’Eq. (5.13), è necessario avere informazioni sulla distribuzione di pressione e della densità nel volume di controllo.
Le espressioni relative alla potenza di deformazione di forma, al contrario della potenza di deformazione di volume, si differenziano in maniera significativa per le varie classi di sostanze e generalmente esprimono la dipendenza della grandezza dalla viscosità e dalla velocità di deformazione, ad esempio.
Per una classe di sostanze dette fluidi perfetti, in cui possono rientrare il gas ideale, tutti i gas reali e/o liquidi in movimento lontano da pareti rigide, la potenza di deformazione di forma è un termine di valore nullo o trascurabile. Per le altre classi di sostanze (fluido newtoniani, fluidi viscosi stokesiani, fluidi viscosi, sistemi con tensione superficiale, etc.) tale termine si può quantificare per ogni classe di sostanze.
Osservazioni
a) Il termine di potenza di deformazione è in realtà esprimibile attraverso la conoscenza del tensore degli sforzi (T) e del tensore velocità di deformazione (D) per il fluido in questione; si ha infatti che L'''def T D: , in cui L'''def rappresenta la potenza di deformazione per unità di volume del sistema. Inoltre, ad esempio, per fluidi newtoniani il tensore degli sforzi può essere espresso come contributo di una componente isotropa (degli sforzi normali) e di una componente deviatorica (T = - p I
) in cui I rappresenta il tensore identità e da cui resta definita la pressione interna, p; le dueFAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.15 componenti sono rispettivamente correlabili alle potenze di deformazione di volume e di forma.
b) Le relazioni (5.13) sono apparentemente simili a quelle usate per calcolare il lavoro di compressione dell’Esempio 3.3, ma il significato ed il campo applicativo sono molto diversi; con le espressioni (5.13) si offre infatti una visione interna del problema, cioè si esprime la potenza di deformazione usando proprietà interne del fluido.
Trasformazioni con proprietà spazialmente uniformi. La definizione di proprietà spazialmente uniformi viene data riferendosi indifferentemente all’andamento nel volume delle proprietà di un sistema e/o al tipo di trasformazione a cui il sistema è soggetto.
I sistemi con proprietà spazialmente uniformi sono tipicamente sistemi le cui proprietà termodinamiche
( , , , , p V T U H ecc , )
variano nello spazio in maniera uniforme e generalmente tali proprietà sono costanti nel volume di controllo.Un sistema che segue una trasformazione con proprietà spazialmente uniformi subisce una evoluzione nel tempo che avviene con velocità tali da poter considerare, in ogni istante, le proprietà uniformi nel volume di controllo; nel corso della trasformazione, le proprietà possono variare nel tempo, ma in ogni istante sono uniformi nello spazio.
La definizione è certamente applicabile a sistemi termodinamici puntiformi (quindi a volumetti infinitesimi ma per i quali si può ancora parlare di continuo), a sistemi monofasici (in cui le proprietà generalmente sono costanti all’interno del volume), sia a sistemi di volume finito. In quest’ultimo caso, la realizzazione pratica di questa condizione consiste nell’operare delle trasformazioni con velocità non elevate, in modo che ogni punto del sistema abbia “il tempo” di uniformare le proprie proprietà termodinamiche istante per istante. Rientrano in questa categoria anche le trasformazioni “quasi-statiche” così come vengono intese nelle trattazioni elementari di Termodinamica, anche se esse in linea di principio richiedono definizioni più restrittive della spaziale uniformità.
Il caso di compressione adiabatica in sistema chiuso ad opera di pressione esterna costante, considerato nell’Esempio 3.3, si presenta come una trasformazione con proprietà spazialmente non uniformi: la trasformazione è infatti istantanea, così veloce che il volume totale occupato dal sistema e/o il volume specifico del sistema non variano nel tempo con continuità. Affinchè la trasformazione possa essere considerata con proprietà spazialmente uniformi, la compressione dovrebbe essere realizzata in modo tale da far variare la pressione esterna nel tempo con una velocità inferiore alla velocità di propagazione della pressione nel fluido, cioè inferiore alla velocità con cui la pressione si uniforma all’interno del recipiente.
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.16 4.2 Equazione dell’energia termica: forme particolari per sistemi con proprietà spazialmente uniformi
Nel caso in cui il sistema sia chiuso e con proprietà spazialmente uniformi, essendo la massa totale del sistema costante, la equazione dell’energia termica (Eq. (5.10)) può essere scritta nel modo seguente:
(volume) (forma) (forma)
def def def
dU dV
Q L L Q p L
dt dt
(5.14)in cui ( ) ( )
ˆ = ˆ
volume volume
del def
dV dV
L mL pm p
dt dt
Nella maggior parte dei casi di interesse per l’industria di processo, i sistemi sono caratterizzati da effetti di lavoro di deformazione di volume (i cosiddetti effetti del
“lavoro di tipo p,V”) dominanti sugli effetti del lavoro di deformazione di forma e possono essere modellati come fluidi perfetti ai fini dell’applicazione del bilancio di energia.
Pertanto, per sistemi chiusi dotati di proprietà spazialmente uniformi e con
( )
forma 0
Ldef si può scrivere:
dU dV dH dp
Q p Q V
dt dt dt dt (5.15)
da cui è facile ricavare quanto segue.4.2.1 Scambio termico in sistemi chiusi a pressione o volume costante
Per un sistema dotato di proprietà spazialmente uniformi e con L(defforma) 0 a pressione costante, dalla Eq.(5.15) si ottiene
dH
dt Q
; integrando in un intervallo di tempo si ricava che0 tf
H Qdt
, da cui Q = H ovvero che la quantità di calore globalmente scambiata è pari alla variazione di entalpia del sistema.Per un sistema dotato di proprietà spazialmente uniformi e con L(defforma) 0 a volume costante, dalla Eq.(5.15) si ottiene
dU
dt Q
; integrando in un intervallo di tempo siFAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.17 ricava che
0 tf
U Qdt
, da cui Q = U ovvero che la quantità di calore globalmente scambiata è pari alla variazione di energia interna del sistema.5. Considerazioni riassuntive
L’equazione di bilancio di energia, rappresentazione del primo principio della Termodinamica, può essere applicata in una delle varie forme fin qui presentate, a seconda del processo in esame, della validità delle ipotesi approssimative e del tipo di trasformazione.
Nel caso particolare di un sistema in evoluzione con proprietà spazialmente uniformi, può risultare particolarmente utile l’equazione dell’energia termica, scritta con riferimento alle proprietà interne del sistema.
Dal punto di vista generale, i problemi dell’ingegneria di processo si affrontano impostando un sistema di Nc+1 equazioni, ovvero associando le equazioni di bilancio di materia all’equazione di bilancio di energia.
Come già accennato nell’Esempio 3.2, risulterà chiaro nelle applicazioni del successivo capitolo 6 che tutti i problemi si riconducono alla soluzione di equazioni in cui compaiono termini di differenze di entalpia. Il problema chiave è quindi la capacità di calcolare tali differenze per ciascun composto del sistema, ovvero la necessità di disporre di equazioni costitutive per il calcolo della variazione di entalpia per sostanze pure e la capacità di discernere fra le svariate tipologie di dati disponibili in letteratura per il calcolo medesimo.
Le equazioni costitutive per l’entalpia così come per le proprietà termodinamiche in genere
( , , , , p V T U H S ecc , , .)
derivano dal secondo principio della Termodinamica e si rimanda ai testi specifici per la trattazione dettagliata dell’argomento.Un quadro riassuntivo delle relazioni di maggior uso in questo corso unitamente alla discussione delle approssimazioni che accompagnano il loro calcolo è riportato nell’APPENDICE C.
6. Lavoro di compressione ed espansione (solo per ripasso)
Si riportano in questo paragrafo le principali relazioni usate per effettuare il calcolo del lavoro di compressione o di espansione di un fluido. Si analizzano prima casi particolari di sistemi chiusi ed adiabatici in cui la trasformazione avviene in modo
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.18 da poter assumere l’ipotesi di spaziale uniformità e si discute poi il metodo generale di soluzione nel caso di apparecchiature continue reali.
6.1 Lavoro di compressione per sistema chiuso
6.1.1 Lavoro di compressione per sistema chiuso ed adiabatico. (solo per ripasso) Il caso generale del calcolo del lavoro di compressione o di espansione di un fluido in sistema chiuso ed in condizioni adiabatiche è stato discusso preliminarmente nel paragrafo 3.1. Le equazioni di bilancio di materia e di energia associate ad una equazione di stato consentono il calcolo del lavoro globalmente scambiato e delle condizioni finali per una fissata specifica (di pressione finale o di volume finale, ad esempio), una volta che è noto il sistema di forze che agisce sulla superficie del fluido.
Indicando rispettivamente con 0 e f le condizioni iniziali e finali del sistema, il problema si pone in maniera compatta nel modo seguente:
0
( , , ) 0
S
dm dt dU L
dt f p V T
0
0 0
( , , ) 0
f
f
t
f S S
f f f
m m
U U L dt L
f p V T
(5.16)Per procedere alla soluzione del sistema (5.16) è necessario avere informazioni sul tipo di trasformazione e sul tipo di sostanza coinvolta nel processo; le corrispondenti equazioni risolutive si presentano in forme più o meno semplici.
Si analizzano nel seguito i casi di maggior interesse.
6.1.1.1 Lavoro di compressione per sistema chiuso ed adiabatico con proprietà spazialmente uniformi (solo per ripasso)
Ai fini del calcolo del lavoro di compressione, si possono dare due schematizzazioni generali di sistema chiuso con proprietà spazialmente uniformi.
Dal punto di vista macroscopico, ad esempio, si può considerare tale il fluido contenuto in un cilindro con un pistone scorrevole e con peso trascurabile rispetto alle forze di pressione agenti su di esso (descritta nella Figura 5.2) in cui la trasformazione viene realizzata variando la pressione esterna in modo che in ogni
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.19 istante la pressione interna del fluido sia uniforme nel volume
( ( ) p t p
ext( ) , istante ) t t
.D’altra parte, anche un semplice volumetto infinitesimo di massa costante, per il quale si può fare l’assunzione di sistema termodinamico puntiforme che subisce una trasformazione tale per cui le proprietà variano nel tempo secondo una funzione continua e derivabile, è certamente un sistema con proprietà spazialmente uniformi.
Pertanto, in entrambi i casi, la trasformazione può essere descritta attraverso l’equazione dell’energia termica per un sistema chiuso nella forma dell’Eq. (5.14) sotto l’ipotesi di adiabaticità:
(forma) def
dU dV
p L
dt dt (5.17)
Nel caso di fluido perfetto (L(defforma) 0 o trascurabile) si ottengono le seguenti espressioni:
dU dV dH dp
p V
dt dt dt dt
(5.18)che consentono di ricavare informazioni sull’evoluzione nel tempo del sistema e di calcolare le condizioni finali del sistema noti i vincoli a cui esso è sottoposto, una volta che si dispone di un’equazione di stato per il fluido. Successivamente al calcolo delle condizioni finali del sistema, applicando il bilancio di energia nella forma dell’Eq. (5.16), ad esempio, si ricava il valore del lavoro globalmente scambiato nell’intervallo di tempo considerato (LS).
Naturalmente, confrontando il bilancio di energia nell’Eq.(5.16) con la prima delle Eq.(5.18), si osserva che il lavoro globalmente scambiato nell’intervallo di tempo considerato può essere anche calcolato come
0 tf
S
L p dV dt
dt
.Nel caso di fluido perfetto assimilabile ad un gas ideale il calcolo si semplifica notevolmente nel modo seguente.
Nel caso in cui la specifica relativa alle condizioni finali indichi il valore del volume, applicando la prima delle Eq.(5.18), si ottiene:
0
*
*
0
ln
Tf f
T V V
f f f
dT V
c R
dU pdV dT dV
T V
c R
T V
pV RT
p V RT
(5.19)FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.20 Da cui si ricavano in sequenza i valori corrispondenti di Tf e pf. Infine si può calcolare il lavoro attraverso la Eq.(5.16), che nel caso di gas ideale diventa semplicemente
0
*
S f 0 Tf V
L U U
Tc dT
(5.20)Nel caso in cui la specifica relativa alle condizioni finali indichi il valore della pressione, applicando la seconda delle Eq.(5.18), si ottiene:
0
*
*
0
ln
Tf f
T P P
f f f
dT p
c R
dH Vdp dT dp
T p
c R
T p
pV RT
p V RT
(5.21)Da cui si ricavano in sequenza i valori corrispondenti di Tf e Vf ed il valore del lavoro globalmente scambiato dalla Eq.(5.20).
Nel caso di fluido perfetto assimilabile ad un gas ideale con calori molari costanti si possono ricavare semplici relazioni per descrivere la trasformazione e per calcolare il lavoro globalmente scambiato.
Dalle Eq.(5.19) e (5.21) si ottengono rispettivamente le seguenti relazioni:
*
*
0 0 0 0
ln ln
V
R
f f f f c
V
T R V T V
T c V T V
(5.22)*
*
0 0 0 0
ln ln
PR
f f f f c
P
T R p T p
T c p T p
(5.23)Da cui, per confronto, si ricavano semplicemente le seguenti relazioni:
1 1
* 0
*
0 0 0 0 0
f f
;
f f;
f;
Pf V
T V T p p V c
T V T p p V c
(5.24)Infine si può calcolare il lavoro attraverso la Eq.(5.20), che nel caso di gas ideale con calori molari costanti diventa semplicemente:
1
* 0
0 0
0
1
1
f
S f V f
RT p
L U U c T T
p
(5.25)
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.21 Dati relativi al valore di per molti composti si trovano tabulati in [CEH 8th].
Osservazione
Associando l’equazione di bilancio di entropia all’equazione dell’energia termica nelle forme dell’Eq.(5.18), ad esempio, si ottiene l’importante informazione sulle caratteristiche non dissipative (ovvero reversibili) delle trasformazioni di fluidi perfetti con proprietà spazialmente uniformi. Le trasformazioni espresse dalle Eq.(5.18)-(5.25) sono infatti trasformazioni isoentropiche. In realtà, i termini correlabili alla degradazione dell’energia meccanica in energia termica, comunemente noti come attriti, sono contenuti nella potenza di deformazione di forma e sono quelli che comportano una generazione di entropia.
6.1.2 Lavoro di compressione per sistema chiuso ed isotermo. (solo per ripasso) Nel caso in cui il sistema debba essere mantenuto isotermo durante una operazione di compressione o di espansione è necessario prevedere uno scambio termico con l’ambiente esterno che comporterà rispettivamente un flusso termico uscente o entrante.
Dal punto di vista generale, il problema si pone esattamente come discusso nel paragrafo 6.1.1 ed il sistema di equazioni risolutivo descritto dalle Eq.(5.16) si modifica nel modo seguente:
0
( , , ) 0
S
dm dt
dU Q L dt
f p V T
0
0 0 0
( , , ) 0
f f
f
t t
f S S
f f f
m m
U U Qdt L dt Q L
f p V T
(5.26)la cui soluzione richiede ancora una volta la conoscenza di informazioni sul tipo di trasformazione e sul tipo di sostanza coinvolta nel processo.
Procedendo sulla falsariga del paragrafo precedente, ad esempio, nel caso di fluido perfetto assimilabile ad un gas ideale con proprietà spazialmente uniformi in cui la specifica indichi la pressione finale, si ricavano le seguenti relazioni:
0
ln 0
f
f f
dH Q V dp dp Q RT p
Q RT p
dt dt
pV RT p p V RT
(5.27)
FAIP_T (materiale riservato studenti A.A. 2016/17) Pagina 5.22 essendo la temperatura costante.
Infine, essendo
dU 0
dt
, si ottiene facilmente che LS Q.6.2 Lavoro di compressione per sistema aperto in condizioni adiabatiche In questo caso si tratta di cercare relazioni per esprimere il calcolo della potenza da fornire o da sottrarre ad apparecchiature che operano generalmente in condizioni stazionarie ed adiabatiche e costituite da una corrente in ingresso ed una corrente in uscita.
Il problema nella sua impostazione generale è stato discusso nell’Esempio 3.2 e riguarda il caso di macchine operatrici quali pompe e compressori e macchine motrici quali ad esempio turbine e dal punto di vista delle equazioni di bilancio si pone come indicato nelle Equazioni (5.28), avendo caratterizzato con e ed u rispettivamente le correnti entranti ed uscenti, una volta note le caratteristiche del fluido in termini di una generica equazione di stato.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( , , ) 0
e u
u e
S
n n n
n H H L
f p V T
(5.28)
E’ facilmente intuibile come il processo di compressione o di espansione che avviene realmente all’interno dell’apparecchiatura risenta di una serie di fenomeni legati alla velocità con cui si realizza il processo e alle caratteristiche reologiche del fluido trattato che portano ad evidenziare la presenza di termini legati a dissipazioni energetiche (ad esempio gli attriti). Questo fatto implica che le proprietà termodinamiche della corrente uscente, ovvero il valore della sua entalpia specifica, così come la sua temperatura, siano influenzati dal tipo di trasformazione.
6.2.1 Lavoro di compressione per sistema aperto in condizioni adiabatiche e con proprietà spazialmente uniformi (solo per ripasso)
Le Equazioni (5.18), (5.19) e (5.21) rappresentano le relazioni che descrivono l’evoluzione di un sistema chiuso costituito da un fluido perfetto modellabile come un gas ideale nel corso di una trasformazione di compressione o espansione adiabatica con proprietà spazialmente uniformi.
Se il sistema viene assunto come sistema termodinamico puntiforme, si può pensare di seguire l’evoluzione di un volumetto infinitesimo utilizzando le stesse equazioni
