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Cinematica dei corpi rigidi
C mentre una terna cartesiana ortogonale
S
una terna di riferimento
S’
ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ i t j t k t
con un corpo rigido
C
ˆ ˆ' ' 'ˆ i j k
O S
r
AO’
x’
y’
z’
S’
definita dai versori definita dai versori
e’ solidale
e’ fissa nello spazio
AO
il vettore
r
fornisce la posizione dell’origineO
il suo modulo
O O
A A
r = r
ˆ '
i ˆ 'j ˆ ' k
ˆi ˆj
kˆ
della terna
S
rispetto adO’
fornisce la distanza tra
O’
edO
in movimento rispetto ad
S’
Cinematica dei corpi rigidi
per via del vincolo di rigidita’
iA iR A
P P O
r = r + r
v v
iA A iR
P
=
O+
A r
PP
PR
r
PA
r
OA
r
A R A
P P O
r = r + r v v v
A R A R
P
=
P+
O+
A r
P( ) 2 v
A R R R A R
P P A P A A P O A P
a = a + r + r + a +
R R
i i
P P i
i t
r = r = cost
e
v = 0
iR iR
P
a
P=
O’
x’
y’
z’
S’
ˆ '
i ˆ 'j ˆ ' k
C
ˆi ˆj
kˆ
PR
r
ˆP
u Pi
OA
r
PA
r
in generale :
X
X X
( )
r r
a = + + a
O’
x’
y’
z’
S’
ˆ '
i ˆ 'j ˆ ' k
C
3
v v
A A
P
O➢ la velocita’ di un generico punto
P
per tutti i punti del corpo rigido di ogni punto del corpo rigido in moto
puramente
traslatorio e’ la stessa
Moto traslatorio di un corpo rigido
Cinematica traslazionale dei corpi rigidi
per via del vincolo di rigidita’ la velocita’
OA
dr
= dt
dove e’ la velocita’ dell’origine
v O
OA del sistema mobile
S
rispetto adO’
per tutti i punti del corpo rispetto ad
S’
ˆi ˆj
kˆ
PR
ˆP r
u
sara’
la cui posizione rispetto ad
S
e’ fornita dal vettorePR
r
P
OA
r
→ Nota bene:
esempio:
la traiettoria potrebbe anche essere curvilinea
O’
x’
y’
z’
S’
ˆ '
i ˆ 'j ˆ ' k
C
A S
r
OO’
x’
y’
z’
S’
ˆ '
i ˆ 'j
ˆ '
k ˆi
ˆj kˆ
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Cinematica rotazionale dei corpi rigidi
inizialmente supporremo
sia fisso nel tempo,
anche in direzione e in verso in altri termini supporremo
attorno all’origine
O
sia ’’imperniato’’
che il corpo rigido
OA
il vettore r che
oltre che in modulo
si dimostra che
3
ˆ ˆ di j
= dt
1
dj ˆ ˆ dt k
=
2ˆ dk ˆ
dt i
=
dove:
1
i ˆ
2ˆ j
3k ˆ
= + +
esiste un vettore
che descrive il comportamento di rotazione del corpo rigido
formule di Poisson
ˆ ˆ
di i
dt = ˆ
dj ˆ
dt = j ˆ dk ˆ
dt = k
in particolare risulta che
7
ˆ ˆ
du u
dt =
inoltre si puo’ dimostrare che:
dato un corpo rigido in movimento
esiste sempre un vettore tale che
fornisce la derivata
in modo qualsiasi nello spazio,
rispetto al tempo
il prodotto vettoriale tra ma solidale con il corpo rigido,
ˆu
direzionato ed un versoreed
ˆu ˆu
del versore stesso
in generale se anche il punto
O
la velocita’ del generico punto
P
del corpo rigidov v
iA A iR
P = O + A r P
v
OAsi sta spostando nello spazio con velocita’
sara’
attorno all’origine
O
e’ ’’imperniato’’
se il corpo rigido
la velocita’ del generico punto
P
del corpo rigido sara’v P
iA= A r P
iR9
