FLUSSI DI CONDUTTORI LIQUIDI IN CONDOTTI IMMERSI IN UN CAMPO MAGNETICO TRASVERSALE

FLUSSI DI CONDUTTORI LIQUIDI IN CONDOTTI IMMERSI IN UN

CAMPO MAGNETICO TRASVERSALE

Generalità

Le proprietà dei flussi all’interno di condotti in presenza di un campo magnetico applicato sono tra i problemi basilari della MHD. Nei regimi laminari completamente sviluppati le componenti del campo magnetico che sono perpendicolari alla velocità sono le uniche ad essere rilevanti. Dato che l’inerzia è nulla, il numero di Reynolds diventa irrilevante. Due parametri adimensionale assumono un’importanza particolare in questi tipi di flusso: si tratta del numero di Reynolds magnetico

m

R = ⋅ ⋅ ⋅ , definito come rapporto fra il tempo caratteristico della diffusione magnetica e il _{µ σ} U L tempo di transito, e del numero di Hartmann Ha B a= ₀⋅ ⋅ _{σ ρ ν}⋅ , il quadrato del quale rappresenta il rapporto fra le forze di Laplace e quelle viscose.

Questo numero è, di solito, abbastanza grande negli esperimenti di laboratorio e, a causa di questo, la viscosità non è trascurabile solo negli strati di confine. In particolare, lungo una qualsiasi parete perpendicolare al campo magnetico applicato si sviluppa uno strato di Hartmann, di primaria importanza dato che controlla il flusso nella zona centrale. La conducibilità elettrica delle pareti è anch’essa di grande importanza. Deriva sempre dalle condizioni di chiusura delle linee di corrente elettrica, e governa la resistenza elettromagnetica globale a questo tipo di flusso.

I flussi nei condotti di sezione trasversale uniforme piazzati in campi magnetici uniformi di grande intensità possono, pertanto, essere analizzati distinguendo differenti regioni: gli strati di Hartmann, la regione centrale e gli strati di confine che si sviluppano lungo le pareti parallele al campo magnetico. Questi ultimi sono, di solito, chiamati strati paralleli o strati tangenziali laterali. Il caso particolare di condotto rettangolare è studiato più in dettaglio.

Si affronta, infine, l’effetto degli estremi del dominio dove B0 è uniforme. Si suppone che le forze elettromagnetiche siano predominanti su tutte le altre (inclusa l’inerzia), le linee di corrente della velocità appartengono a delle superfici caratteristiche.

Il numero di Reynolds magnetico

Nota la scala caratteristica delle lunghezze L e nota la dimensione caratteristica _{δm delle strutture} magnetiche rotazionali dove è concentrato _∇2_BG

(ad esempio, dove scorre un’elevata densità di corrente), si può scrivere il rapporto fra il tempo caratteristico della diffusione magnetica

(

2

)

m µ σ δ⋅ ⋅ e il tempo di transito

(

L U

)

2 2 2 m _{U L} m L L U µ σ δ⋅ ⋅ _{= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅µ σ} δ

come prodotto del numero di Reynolds magnetico, definito come m

R = ⋅ ⋅ ⋅ _{µ σ} U L

per il quadrato del rapporto fra le più significative scale delle lunghezze.

Nei metalli fusi

(

_{µ σ⋅ ≈1s m}2

)

_{su scala di laboratorio}

(

_{U ≈0,1m s L, ≈0,1m}

)

_{il numero di} Reynolds magnetico non può andare molto oltre il valore 0,01. D’altro canto, su scala planetaria

(

_{µ σ⋅ ≈1s m U}2_{, ≈10}−3_{m s L, ≈10}7_m

)

_{può raggiungere valori molto più grandi dell’unità}

(

₁₀4

)

m

R ≈ , e su scala astrofisica diventa estremamente grande

(

₁₀10_÷1020

)

_{. Su scala industriale} (generatori MHD, grandi pompe elettromagnetiche, reattori nucleari a fertilizzazione veloce raffreddati da sodio liquido, …) si raggiungono anche valori di diverse decine.

Quando 1R_m >> , a causa dell’analogia tra l’equazione dell’induzione e quella della vorticosità, l’interpretazione data per valori comunemente alti del numero di Reynolds ordinario può essere applicata anche ai fenomeni MHD. Il campo magnetico deve essere organizzato in regioni a larga scala (L) dove la densità di corrente è nulla (quando non si applica corrente dall’esterno) o uniforme, e in sottili strati di spessore

m L U L δ µ σ ≈ ⋅ ⋅ ⋅

dove si concentra una parte significativa della corrente.

Al contrario, su scala di laboratorio, dove R_m << , le regioni nelle quali scorre corrente occupano 1 tutto lo spazio disponibile

(

_δm≈L

)

. Pertanto, il piccolo valore di Rm impone un abbattimento dei termini convettivi rispetto a quelli diffusivi nell’equazione dell’induzione. Al limite, quando

1 m

R → , il campo di velocità non ha influenza sul campo magnetico e quest’ultimo può essere calcolato come se il fluido fosse a riposo.

Questo giustifica il disaccoppiamento delle equazioni generali in tre sistemi distinti di equazioni, come si è accennato in precedenza.

Il numero di Reynolds magnetico, in definitiva, costituisce una stima dell’intensità della reazione di armatura, cioè dell’influenza del profilo di velocità sul campo magnetico. Nel nostro progetto di massima, supporremo che questo parametro sia sufficientemente basso da poter considerare uniforme l’induzione magnetica, trascurando la componente b diretta lungo x che definiremo nel seguente paragrafo.

Perturbazioni nel campo magnetico a causa del moto

Abbiamo visto che, quando R_m<< , il termine 1 rot u B

(

G∧ G

)

nell’equazione dell’induzione è trascurabile rispetto al termine di diffusione e che l’influenza di uG _{sul campo B}G _{è molto debole. Per}

sviluppare quest’idea, scriviamo il campo magnetico reale come 0

B BG = G +bG

doveBG₀rappresenta il campo magnetico (ipotizzato stazionario) quando il fluido è a riposo, e bG

rappresenta la perturbazione causata dal moto. L’equazione dell’induzione diventa, allora,

(

)

( )

2 0 1 b rot u B rot u b b t _{σ µ} ∂ = ∧ + ∧ + ⋅∇ ∂ ⋅ G G G G G G

In regime stazionario

(

∂ ∂ =t 0

)

e quando bG << BG₀ , questa equazione si riduce all’equilibrio dei termini dominanti:

(

)

2 0 b _{µ σ} rot u B ∇ + ⋅ ⋅G G∧ G Ne consegue che l’ordine di grandezza di bG è B R₀⋅ _m.

Per essere più precisi, osserviamo la configurazione di figura 6 lontano dalle regioni di ingresso e di uscita del traferro magnetico dove è ragionevole considerare che ∂ ∂ =x 0. Ipotizziamo che anche

0

z

∂ ∂ = .

L’unica componente non nulla di bGè b_x =b y

( )

. Essa si dovrebbe cancellare sulle facce delle espansioni polari se accettiamo che la permeabilità del magnete sia infinitamente più grande di quella del fluido:

(

)

0

b y= ± =h

Con _{B uniforme, si può scrivere 0}

2 0 2 d b du B y = ⋅ ⋅ ⋅µ σ dy ∂

La soluzione generale di questa equazione differenziale è

( )

0 0 y

b= ⋅ ⋅ ⋅_{µ σ} B

∫

u t dt C y D+ ⋅ +

e le condizioni al contorno fissano i valori delle costanti di integrazione per qualsiasi distribuzione di velocità u(y): 0 0 0 2 2 h h h h o B C u dy h B D u dy u dy µ σ µ σ − −  _{⋅ ⋅} = − ⋅  ⋅     ⋅ ⋅  =  −   _{ } 

∫

∫

∫

Ponendo_η= y h si può scrivere la soluzione finale

1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 2 2 b u u u u U h d d d d B U U U U η _η µ σ η η η η − −   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅  

∫

∫

∫

∫



Questa espressione mostra chiaramente che B R₀⋅ _m è una buona stima del valore della perturbazione b causata dal moto, dato che il termine tra parentesi quadre è dell’ordine dell’unità.

Scegliendo per la funzione u(_η) le espressioni arbitrarie riportate in tabella 1 si ottengono le corrispondenti distribuzioni di b(y) e jz(y) mostrate.

( )

u U η _{0 m}

( )

b B R⋅ η 0

( )

z m h j B R µ⋅ ⋅ _η ⋅ 1 0 0 η 1

(

2 ₁

)

2⋅ η − − η 1-_η2

(

1 2

)

3 η_{⋅ −η} 2 1 3 η −

Flussi stazionari paralleli

Proprietà generali ed equazioni

Consideriamo un condotto molto lungo, posizionato tra i poli di un magnete, in cui scorre un fluido conduttore (figura 7). Scegliamo un sistema di coordinate cartesiane tale che l’asse Ox sia lungo la direzione del flusso, e Oy lungo la direzione del campo magnetico applicatoBG₀.

Figura 7: Flusso in un condotto in presenza di un campo magnetico trasversale. Ci rappresenta il contorno che

delimita la sezione occupata dal fluido; Ce rappresenta il contorno esterno del condotto

In regime stazionario, completamente sviluppato, la velocità ha solo una componente non nulla u, ma il campo magnetico (poiché la convezione magnetica fa nascere una componente lungo la direzione del flusso) ha due componenti non nulle: Bx e By.

Il campo mozionale 0 0 y u B u B     ∧ =    _⋅    G G

tende a far circolare una corrente elettrica nella direzione Oz, e, affinché le linee di corrente elettrica possano richiudersi nella sezione trasversale, appare un campo elettricoEG = −∇G_ϕ, in modo tale che la corrente totale che attraversa qualsiasi segmento PQ (vedi figura 7) sia nulla:

0 Q Q z y P P j dy u B dy z ϕ σ  ∂  = ⋅ −_ + ⋅ _ = ∂  

∫

∫

Il potenziale elettrico _ϕ deve essere massimo attorno al punto A e minimo attorno al punto B. Nella regione centrale dove u è maggiore, il campo mozionale domina e jGè diretta da B verso A. Tuttavia, vicino alle pareti dove u è più debole, il campo elettrico domina e jGè diretta da A verso B. Se la parete è elettricamente conduttrice, parte delle linee di corrente si richiudono su di essa. La configurazione generale delle linee di corrente elettrica che si richiudono nella sezione trasversale è riportata in figura 7.

Questo circuito elettrico è, quindi, costituito da due avvolgimenti opposti che inducono la componente Bx del campo magnetico.

Identificando le espressioni delle componenti di jG, ricavate rispettivamente dalla relazione di Ampère e dalla legge di Ohm

1 0 1 1 y x x y x z y B j z B j z z B j u B y z µ ϕ σ µ ϕ σ µ ∂  = − ⋅ =  _∂   _{∂  ∂ } = ⋅ = ⋅ −  _∂ _{ ∂} _   _{∂  ∂ } = − ⋅ = ⋅ − + ⋅  _{ } ∂  ∂  

si vede immediatamente che la componente By è uniforme e pari a B₀

(

∂B_y ∂ = perché y 0 dall’equazione di continuità div BG=0

)

. Indichiamo con b(x,y) la componente non uniforme Bx del campo magnetico.

E’ elementare determinare sia _ϕ (tramite la circuitazione) che b (tramite la divergenza). Otteniamo le equazioni 0 0 u b B y µ σ ∂ ∆ + ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ 0 0 u B z ϕ ∂ ∆ − ⋅ = ∂ che legano rispettivamente gli scalari b e _ϕ alla velocità u.

A seconda dell’espressione scelta per le componenti di jG, la forza di Laplace diventa una o l’altra delle seguenti espressioni:

(

)

(

)

(

)

2 0 0 0 2 0 2 2 2 x y z B b j B B B u y z b j B b B b u y z b j B b z y ϕ σ σ µ ϕ σ σ µ ϕ σ µ  _{∂ ∂} ∧ = ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅  ∂ ∂   _{∂   ∂}  ∧ = − = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅  _∂  _⋅  _∂     _{∂   ∂}  ∧ = −_∂  _⋅ = ⋅ ⋅ _∂  _{ }  G G G G G G

Le equazioni del moto possono essere scritte

0 2 2 1 0 0 2 2 B p b u x y b b p p y z ν ρ ρ µ µ µ ∂ ∂ _{− ⋅ + ⋅∆ + ⋅ =}  _{∂ ⋅ ∂}   _{   } ∂ ∂  _{ + =  + =} ∂  ⋅  ∂  ⋅  

Come in qualsiasi regime completamente sviluppato, essendo u e b indipendenti da x, la componente assiale della pressione deve essere costante.

Poniamo 2 2 b p G x _µ ρ   ∂ _{+ = − ⋅}   ∂ _ ⋅ _

e definiamo la forza per unità di massa G come il dato fondamentale che mantiene il fluido in movimento, creando anche la componente longitudinale del campo magnetico b e il potenziale elettrico _ϕ.

La terza equazione che chiude il sistema permettendo di calcolare u, b e _ϕ si scrive 0 B b G u y ρ ν µ ν ∂ ∆ + ⋅ = − ⋅ ⋅ ∂

Le condizioni al contorno che devono essere associate con queste equazioni per determinare completamente la soluzione esprimono che:

− la velocità u sul contorno interno Ci della parete deve essere continua (condizione di non slittamento);

− la componente b del campo magnetico sul contorno esterno Ce della parete deve essere nulla (Ce è anche una linea di corrente elettrica, su cui b = 0); b e j nG G⋅ devono essere continui su Ci; − la componente normale del campo elettrico

(

nG⋅∇G_ϕ

)

deve essere nulla e continua su Ce e il

potenziale elettrico _ϕ deve essere continuo su Ci.

Flusso di Hartmann

a. Soluzione generale

Si tratta dell’esempio più semplice che mostri come le forze di Laplace e quelle viscose si combinano per imporre le distribuzioni di velocità e densità di corrente nella sezione trasversale. Nella MHD questo argomento occupa la stessa posizione che ha il flusso di Pouseuille nell’ordinaria meccanica dei fluidi.

Il condotto ha una sezione trasversale rettangolare infinitamente lunga nella direzione Oz. In pratica, si ipotizza che il rettangolo sia sufficientemente esteso lungo Oz, in modo che il flusso nelle regioni lontane dalle pareti parallele aBG₀non sia influenzato da esse.

Le equazioni del moto e dell’induzione possono, allora, essere scritte 2 0 2 B d u db G dy +_{ρ ν µ}⋅ ⋅ ⋅dy = −_ν 0 db B u E dy+ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ µ σ µ σ

eE= −d_ϕ dz, l’unica componente non nulla del campo elettrico, deve essere uniforme. Da questo si può ricavare l’equazione differenziale

2 2 0 0 2 B B E d u G u dy σ σ ρ ν ρ ν ν ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅

la cui soluzione generale è

1 0 2 0 2 0 0 cosh sinh G E u C B y C B y B B ρ σ σ σ ρ ν ρ ν     ⋅ = − + ⋅ _ ⋅ ⋅ _+ ⋅ _ ⋅ ⋅ _ ⋅ _ ⋅ _{ } ⋅ _

Le espressioni generali di b(y) e jz(y) sono, pertanto:

1 0 2 0 0 cosh sinh G b y C B y C B y B µ ρ _{µ ρ ν σ} σ σ ρ ν ρ ν      ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ _ ⋅ ⋅ _+ ⋅ _ ⋅ ⋅ _ ⋅ ⋅        0 1 0 2 0 0 1 cosh sinh z db G j B C B y C B y dy B ρ _σ σ σ µ ρ ν ρ ν      ⋅ = − ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ _ ⋅ ⋅ _+ ⋅ _ ⋅ ⋅ _ ⋅ ⋅        Le condizioni al contorno

(

)

0 u y= ± =h

impongono una soluzione pari per la velocità

(

C₂ =0

)

e fissano il valore di C . ₁ Le distribuzioni delle tre grandezze di interesse risultano:

0 0 0 0 cosh 1 cosh 1 sinh 1 cosh cosh 1 cosh z u Ha V Ha b Ha E B Rm Ha Ha B V j E Ha B V B V Ha η η _η η σ ⋅  _{= −}    _{⋅  }  = ⋅ − + ⋅  _⋅  _⋅      _⋅ = + −  ⋅ ⋅ ⋅  con 2 0 0 0 G E V B B y h Rm V h Ha B h ρ σ η µ σ σ ρ ν ⋅  _{= −}  _⋅   =    _{= ⋅ ⋅ ⋅}   _{= ⋅ ⋅}  _⋅ 

Queste espressioni contengono il numero di Reynolds magnetico definito usando la velocità V (ma solo nell’espressione di b), così come un nuovo parametro adimensionale Ha che governa la distribuzione di u, b e jz nella sezione trasversale.

Il quadrato di questo numero di Hartmann 2 2 0 B h

σ⋅ ⋅ ρ ν⋅ è una misura del rapporto fra le forze elettromagnetiche

(

2

)

0 B u

σ⋅ ⋅ e le forze viscose

(

_{ρ ν⋅ ⋅d u dy}2 2

)

_{, fintantoché h è davvero una} lunghezza caratteristica delle variazioni u(y).

Ai confini, alcuni valori sono degni di nota e le loro espressioni dovrebbero essere considerate:

( )

( )

( )

max 0 0 0 1 0 1 cosh tanh 1 1 1 0 1 cosh z u u V Ha Ha E b B Rm Ha B V j E B V Ha σ σ    = = ⋅ −        _{  }  _{= ⋅ ⋅ − +}     _⋅         _{ }  _{= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − }  _{ } 

Si noti in particolare che j_z

( )

0 − j_z

( )

1 = ⋅ ⋅_σ B u_{0 max}, o anche che i profili di u e di j_{z σ}⋅B₀ differiscono solo per la traslazione E B . ₀

La velocità media U e la densità di corrente media J sono

0 0 0 0 1 tanh 1 1 tanh 1 h h z Ha U u dy V h Ha Ha J j dy E B V E B U h σ σ Ha σ σ  _{ } = ⋅ = ⋅ −  _ _      = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −_{ }= ⋅ + ⋅ ⋅  _{ } 

∫

∫

Il coefficiente di attrito 2 2 2 1 Re ₁ tanh 2 h f du dy Ha C Ha U Ha ν⋅ ⋅ = = ⋅ − è legato al coefficiente di caduta di pressione

2 2 G h U λ= ⋅ ⋅ dalla relazione 0 2 2 f B J h C U λ ρ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅

b. Influenza del campo elettrico esterno

Tutte le relazioni che descrivono in flusso di Hartmann usano tre parametri fondamentali: G, il gradiente della pressione che muove il flusso, B0, il campo magnetico applicato, e E, il campo elettrico che può essere auto-indotto o generato dall’esterno. Si possono supporre noti il campo magnetico B0, così come uno degli altri due parametri; il terzo deve essere determinato dalle condizioni al contorno di tipo elettrico.

Esistono due casi:

− Condotto con pareti isolanti

2 0 0 0, 1 , tanh tanh G Ha G Ha J E V B Ha B Ha ρ ρ σ σ   ⋅ ⋅ = = _⋅ ⋅ −  = _⋅ ⋅  

− Condotto con pareti perfettamente conduttrici

2 0 0 1 , 0, tanh G h Ha G J E V B Ha B ρ ρ σ   ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −  = = _⋅  

Per ciascuna di esse, le tabelle 2 e 3 riassumono le espressioni per i valori più importanti, specialmente in condizioni asintotiche, Ha>>1 (facilmente realizzabili in laboratorio con i metalli liquidi).

Tab. 3 : Proprietà caratteristiche dei flussi di Hartmann in un condotto con pareti perfettamente conduttrici

Inoltre, le figure 8 e 9 mostrano, rispettivamente, le distribuzioni della velocità e del campo magnetico in funzione del numero di Hartmann.

Figura 8: Profili di velocità per un flusso di Hartmann

(

u₀ = ⋅G h2 2⋅ν rappresenta la velocità al centro del condotto quando B₀ =0

)

; a sinistra, pareti isolanti; a destra, pareti perfettamente conduttrici

Figura 9: Distribuzione della componenteB_x =bin un flusso di Hartmann; a sinistra, pareti isolanti; a destra, pareti perfettamente conduttrici

Si noti come il profilo di velocità si appiattisca quandoHa>>1; si può dimostrare che le espressioni precedenti si riducono alla velocità parabolica di Pouseuille quando Ha→0.

Possiamo anche notare che, quando le pareti sono isolanti, tutti i profili di velocità hanno la stessa pendenza sulle pareti; questo risulta dal fatto che _λ=C_f quando J =0. Comunque, quando la parete è perfettamente conduttrice, abbiamo λ>C_f a causa dell’effetto di frenatura elettromagnetica della forza di Laplace.

Per un dato numero di Hartmann, la velocità al centro è sempre minore nel caso di pareti conduttrici rispetto al caso di pareti isolanti. Quando Ha>>1, il rapporto tra le velocità nei due casi è circa pari a Ha.

Il caso più generale corrisponde a un condotto con pareti isolanti avente una conducibilità elettrica finita σp e uno spessore e, inserite in un circuito elettrico esterno in cui scorre una corrente I (vedi figura 10). Tenendo conto delle soluzioni del flusso di Hartmann, la legge di Ohm diventa:

(

1

)

0 2 I E h C B U h L σ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =σ ⋅

dove L è la lunghezza della sezione del condotto, e C è il rapporto tra le conduttanze, p e h σ σ ⋅ ⋅ .

Si perviene alle seguenti espressioni

(

)

(

)

0 2 0 0 2 0 0 0 tanh 1 1 tanh 2 1 1 tanh 2 tanh 1 2 tanh tanh tanh 1 2 G Ha I E Ha B Ha _{L h C} Ha G I V C Ha B _{B L h C} Ha G I Ha Ha U C B B L h C Ha Ha G Ha I Ha J C B Ha L h Ha ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ  _{⋅  }  = − _⋅ ⋅ −_ _+ _{⋅ ⋅ ⋅} ⋅   ₊  _⋅  = _⋅ ⋅ + − _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅} ⋅   ₊  _⋅  ₋ = _⋅ ⋅ + − _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅} ⋅ _{⋅ +}    _⋅    =_ ⋅ ⋅ +_{ }+ ⋅ _⋅ ⋅ ⋅     1 tanh Ha C Ha                + 

illustrate in figura 10 nei casi che si verificano, di solito, con i metalli liquidi, dove Ha>>1.

Figura 10: Diagramma schematico che mostra l'influenza della corrente elettrica I sui parametri del flusso di Hartmann quandoHa>>1

Per grandi valori del numero di Hartmann, le espressioni dei valori medi delle grandezze di interesse si semplificano notevolmente:

(

)

0 2 0 0 0 1 2 1 1 2 I G E C L h B G I U C C B B L h G J B ρ σ σ ρ σ σ ρ   _⋅  = ⋅ −    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     _{ ⋅ }  _{= ⋅ ⋅ + −}   _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}      _⋅ =  

Questi risultati coincidono con quelli trovati in precedenza nel caso di pareti infinitamente conduttrici.

QuandoI ≠0, il funzionamento del sistema può essere interpretato in termini di conversione energetica. Il sistema è un generatore di corrente elettrica quando 0< < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅I 2 h L _ρ G B₀. Una parte della potenza meccanica viene, quindi, convertita in potenza elettrica fornita al circuito esterno. Quando I <0 il sistema funziona da pompa, con una scarica maggiore di quella che si avrebbe in assenza di corrente. Infine, il sistema funziona da freno elettromagnetico quando

0 2

I > ⋅ ⋅ ⋅ ⋅h L _ρ G B , con le forze di Laplace che, nella sezione trasversale, si oppongono al gradiente di pressione. Se I > ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +2 h L _ρ G

(

1 C B

)

₀ tali forze possono invertire la direzione del flusso.

Strati caratteristici

Lo strato di Hartmann

Le soluzioni esatte trovate per il flusso di Hartmann mostrano che, quandoHa>>1, tutte le variazioni di velocità u e di densità di corrente jz sono localizzate in uno strato molto sottile vicino alle pareti, il cui spessore è dell’ordine dih Ha. Questo strato, denominato di Hartmann, ha, pertanto, la proprietà di raccordare il campo di velocità esterno con il valore nullo sulla parete, come i classici strati di confine. Esso, però, gode anche di altre caratteristiche molto particolari. Impostiamo l’origine dell’asse y sulla parete e indichiamo la velocità esterna

(

y→ ∞

)

0 2 0 0 G E u B B ρ σ ⋅ = − ⋅

che resta sconosciuta se non si conosce il campo elettrico.

Dalla combinazione delle equazioni del moto e dell’induzione si ha

2 2 2 0 0 B B d u u u σ⋅ σ⋅ − ⋅ = − ⋅

La soluzione che si annulla sulla parete

(

y=0

)

e che tende a u0 a grande distanza si scrive

(

)

0 1 Ha u u= ⋅ −e− ⋅η

dove Ha e _η sono ancora definiti come prima. (La distanza h non è definita in questo problema, ma il prodotto tra Ha e _η non dipende da h). Questo mostra ancora una volta che tutte le variazioni di velocità sono localizzate nello strato il cui spessore è (vedi figura 11):

0 1 h B Ha ρ ν δ σ ⋅ = ⋅ =

Figura 11: Forma tipica dei profili di velocità u(y) e densità di corrente jz(y) nello strato di Hartmann

La componente jz della densità di corrente è data dall’espressione

(

0

)

0 0

(

1

)

Ha z

j _{= ⋅σ} E B u_{+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −σ} E _σ B u e− ⋅η

Il suo valore all’esterno dello strato dei Hartmann non dipende dai valori di E e u0

0 0 0 0 G j E B u B ρ σ σ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ma varia nello strato di Hartmann secondo

0 0 0

Ha z

j _{− = ⋅ ⋅ ⋅}j _σ B u e− ⋅η essendo una funzione di u0, quindi di E.

Più precisamente, possiamo scrivere

(

0

)

0 0 0 z j j dy _σ B u _δ ∞ − = ⋅ ⋅ ⋅

∫

Questa relazione mostra che la velocità esterna u0 è proporzionale alla corrente elettrica che scorre nello strato di Hartmann.

Si consideri un esperimento in cui il gradiente di pressione fluidomotore G e il campo magnetico B0 siano fissati, e dove un circuito elettrico esterno viene usato per far scorrere una corrente elettrica I attraverso un tratto di lunghezza L dell’insieme fluido-parete. Detto C il rapporto fra le conduttanze

p e h

σ ⋅ σ⋅ , la conservazione della corrente elettrica totale si scrive

(

)

0 0 1 1 1 1 E C B u h L Ha σ   = ⋅ + + ⋅ ⋅ −_{ } ⋅ ⋅  

Questa relazione fissa sia u0 che E. Si può vedere chiaramente che si possono variare u0 ed E, ma j0 rimane fissata e pari aρ⋅G B₀. Si noti che l’equilibrio globale di uno strato fluido di spessore dx e altezza h porta alla stessa relazione.

Questa semplice soluzione può essere estesa senza difficoltà ai flussi paralleli limitati da pareti che non sono proprio parallele al campo magnetico. Usando le notazioni definite in figura 12, se B0 è sostituito dalla sua proiezione sulla normale:B₀⋅cos_α e seHa⋅cos_α >>1, la distribuzione della velocità lungo la normale è, allora,

cos 0 1 n Ha L u u= ⋅ − e− ⋅ ⋅ α  

Figura 12: Strato di Hartmann lungo una parete non perpendicolare al campo magnetico

(

δ = L Ha cosα_⋅

)

. Coordinate curvilinee (Mt, Mn) rispettivamente tangente e normale al contorno interno Ci

Gli strati tangenziali

Sulle pareti parallele al campo magnetico si può osservare la formazione di un diverso tipo di strato di confine, conosciuto anche come “strato laterale”, “strato tangenziale”, o “strato di Shercliff”. L’interpretazione di questo strato è una regione in cui i potenziali elettrici non coincidenti si uguagliano, anche con un getto significativo di liquido se le pareti di Hartmann sono elettricamente conduttrici (vedi figure 13 e 14).

Figura 13: Profili di velocità a forma di getto in caso di pareti parallele isolanti e pareti perpendicolari perfettamente conduttrici

a) Ha=100, profili calcolati per vari valori di Y;

Questi getti in certi casi possono trasportare una porzione considerevole della portata in massa netta. Lo spessore degli strati laterali è dell’ordine di a Ha, molto maggiore di quello dello strato di Hartmann. Pertanto, in molti casi (eccetto quando le pareti di Hartmann sono buoni conduttori ma le pareti laterali non lo sono), la resistenza elettrica degli strati laterali non costituisce un’aggiunta significativa alla resistenza totale del percorso di ritorno della corrente, quindi non influenza la velocità nel nucleo. Per valori più grandi di Ha, dell’ordine di 103 o 104, il flusso nel nucleo scende quasi a zero, e i getti di velocità possono essere anche un fattore Ha volte moltiplicati per il flusso nel nucleo. Ovviamente, tali strutture di velocità possono essere molto determinanti per gli scambi termici nei tubi di raffreddamento a metallo liquido, così come per la corrosione, la diffusione di massa e altri processi fisici importanti.

La figura seguente riporta alcuni possibili percorsi per le correnti all’interno del fluido: si può capire facilmente il ruolo che giocano i diversi strati descritti in precedenza.

Figura 15: Aspetto delle linee di corrente elettrica per un condotto rettangolare con pareti perpendicolari perfettamente conduttrici;

a) pareti parallele perfettamente conduttrici; b) pareti parallele isolanti

Gli strati di Hartmann si formano su ogni parete che abbia una componente normale di BG, ma gli strati di taglio si formeranno solo lungo le linee di forza del campo magnetico. Pertanto, se il canale non è perfettamente allineato con BG, allora tutte le pareti presenteranno strati di Hartmann, e gli strati di taglio si staccheranno dalle pareti e formeranno come una linea di forza del campo magnetico che interseca l’angolo del condotto (vedi Fig. 16-b). Gli strati tangenziali che si estendono nel fluido sono noti come strati tangenziali liberi.

Figura 16: Strati di confine in un condotto rettangolare; (a) campo magnetico allineato, (b) campo magnetico obliquo

Nella prossima figura si vede il percorso completo delle correnti imposte all’interno del fluido da due elettrodi a filo posizionati su pareti opposte.

Figura 17: Strati tangenziali paralleli provenienti da elettrodi a filo collocati su pareti perpendicolari isolanti

Si dovrebbe notare che, in questa configurazione, la corrente I si divide in due parti uguali, una che viaggia direttamente nello strato parallelo, l’altra passando prima per lo strato di Hartmann prima che nello strato parallelo proveniente dal catodo. Gli strati di Hartmann situati tra i due elettrodi trasportano ciascuno una corrente I/2. Ne risulta che il fluido situato nella regione circondata da questi quattro strati di confine, dove non si ha passaggio di corrente elettrica, scorre nella direzione Ox con velocità c I U = Strati laterali Ha a t≈ Strati di Hartmann n Ha a t≈ Strati di Hartmann Ha a t≈

Strati di taglio liberi Ha a t≈

Questa soluzione elementare permette di comprendere semplicemente soluzioni più complesse ottenute quando le pareti perpendicolari sono perfettamente conduttrici: si può considerare che ciascuna striscia infinitesima della parete, di spessore dz, sia un elettrodo a filo, sovrapponendo, poi, i contributi provenienti da ciascuno di tali elettrodi fittizi.

Disuniformità del campo magnetico

Condotto rettangolare: ingresso in un magnete

Il modo più semplice di approssimare l’effetto dell’ingresso in un campo magnetico è ipotizzare che il condotto sia rettangolare e esile

(

_λ>>1

)

così che le linee di corrente siano, in pratica, contenute nei piani Y =const j( _y<< j j_x, )_z . Limitiamo anche la nostra analisi al caso Ha >> 1.

In una prima fase, ignoriamo la disuniformità del campo di velocità e ipotizziamo che il campo magnetico cambi bruscamente da 0 al suo valore uniforme B0. Nel magnete, il campo mozionale

u BG∧ Ggenera un campo elettrico di segno opposto, ad esempio un potenziale elettrico positivo sulla parete Z = +_λ, ed uno negativo sulla parete opposta Z = -_λ. La densità di corrente, la piccola differenza tra le opposte forze elettromotrici, è comunque nella direzione u BG∧ G, ma di ampiezza

0 B u Ha

σ⋅ ⋅ . Comunque, al di fuori del magnete, cove il campo mozionale si annulla, la densità di corrente scorre nella direzione del campo elettrico in modo che le linee di corrente elettrica possano richiudersi su se stesse. (cfr. figura 18). Il potenziale elettrico soddisfa, allora, l’equazione di Laplace ∆ = e si può stimare che la lunghezza di questi anelli di corrente sia circa 10 volte la _ϕ 0 semidistanza delle pareti.

Figura 18: Ingresso e uscita dal campo magnetico. Aspetto delle linee di corrente elettrica. Formazione dei profili di velocità ad "M". Distribuzione longitudinale della pressione.

In una seconda fase, proviamo ad includere l’influenza delle forze elettromagnetiche sul campo di velocità. In prima approssimazione, quando _{N =Ha}2 _{Re>> , tali forze sono bilanciate dal 1} gradiente di pressione, e l’accelerazione delle particelle di fluido risulta dalla differenza:

( )

u u p j B

ρ⋅ ⋅∇ ⋅ = −∇ + ∧G G G G G G

Scrivendo il rotore di questa equazione, si può direttamente dimostrare l’evoluzione del campo di velocità. In prima approssimazione otteniamo

y x B u j x x ω ρ⋅ ⋅∂ = − ⋅∂ ∂ ∂

Sembra che la componente jx abbia maggiore influenza. Inoltre, se le paretiZ = ±λsono molto conduttrici, le line di corrente elettrica completano il circuito passando attraverso di esse, in modo che jx rimane relativamente debole nel fluido. La deformazione delle linee di corrente e la disuniformità del profilo di velocità devono, pertanto, rimanere moderate.

Tuttavia, quando le pareti sono isolanti, l’effetto può essere molto forte. Dato il segno di jx, una funzione dispari di Z, è chiaro che∂_ωy ∂ deve essere positiva nella metà Z > 0 del condotto e x negativa nell’altra metà. Le linee di corrente si intensificano, pertanto, vicino alle pareti Z = ±_λ e si rarefanno nella regione centrale. Il profilo di velocità che si sviluppa ha la forma di una “M”. Se ipotizziamo che _ωy si riduca essenzialmente a ∂ ∂u z(ad esempio, se ∂ ∂ << ∂ ∂w x u z, la pendenza delle linee di corrente rimane moderata, anche se il profilo di velocità ad “M” è molto profondo al centro), l’integrazione della precedente equazione porta a:

0 x u u j B z δ ρ δ ⋅ ⋅ ≈ − ⋅

Questa relazione può essere usta per stimare con sufficiente precisione la sovravelocità _{δ . Infatti} u

x

z a e j l u a Ha

δ ≈ ⋅λ ≈ ⋅ ⋅σ ⋅ , dove l indica la lunghezza caratteristica degli anelli di corrente all’ingresso del magnete. Otteniamo, quindi,

2 0 1 1 10 Re B a u Ha u Ha a u σ δ _{λ λ} ρ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ⋅

Studi sperimentali confermano queste stime. Il rapporto di forma del condotto è _λ=7,6. Con i valori di Ha e Re indicati in figura 19, otteniamo _δu u≈0, 27in accordo con i profili di velocità misurati.

Figura 19: Profili di velocità ad "M" misurati in un condotto rettangolare isolante con rapporto di forma λ=7,6.

A sinistra: profili misurati a varie ascisse per Ha=700. A destra: influenza del numero di Hartmann sui profili subito dopo la sezione di ingresso (x=0)

Questa evoluzione della distribuzione di velocità è accompagnata da variazioni di pressione piuttosto caratteristiche. Il gradiente di pressione deve compensare, in primo luogo, la componente longitudinale delle forze elettromagnetiche − ⋅ . Questa è inizialmente positiva prima di j B_{z y} diventare negativa nel magnete. La pressione passa, allora, da un valore massimo in prossimità dell’ascissa della sezione di ingresso del traferro magnetico. In figura 18, la variazione di pressione dovuta all’effetto di ingresso (o di uscita) è mostrata in tratteggio tra la vera linea piezometrica e i suoi asintoti a pendenza costante.

All’uscita dal traferro magnetico, i segni di jx e di∂ ∂B xsono cambiati entrambi, quindi si verifica lo stesso fenomeno, ad esempio un accentramento del profilo ad “M” formato all’ingresso. In realtà secondo il tempo di transito tra le due estremità del magnete, lo scambio di quantità di moto tra i due massimi e il minimo centrale può ridurre significativamente la loro differenza. Questa tendenza a rendere il profilo di velocità più uniforme è accennata in figura 19.