Conduttori e dielettrici

23 Aprile 2018, Bari

Conduttori e dielettrici

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Dal programma

o   2.0 CFU Conduttori e Dielettrici

Corpi conduttori in equilibrio elettrostatico. Conduttore cavo e schermo elettrostatico. Capacità conduttori

isolati. Induzione completa fra 2 conduttori:

condensatori. Sistemi di condensatori in serie e

parallelo. Energia del campo elettrostatico. Dielettrici.

Costante dielettrica. Polarizzazione. Equazioni generali dell’elettrostatica in presenza di dielettrici. Corrente elettrica: Conduzione elettrica. Corrente elettrica e corrente elettrica stazionaria. Densità di corrente j.

Legge di Ohm e concetto di resistenza elettrica. Potenza elettrica ed effetto Joule. Modello classico della

conduzione elettrica. Forze elettromotrici. Sistemi di

resistori in serie e parallelo. Corrente di Spostamento.

Conduttori

o  Un conduttore presenta al suo interno carica libera di muoversi

o  Il corpo conduttore può essere elettricamente neutro

n  carica netta nulla

n  ma ugualmente al suo interno vi sono cariche (positive e negative) libere di muoversi

o  il corpo conduttore può presentare un eccesso di carica positiva o negativa

n  es. processo di carica per induzione già visto nella prima lezione

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Conduttori all’equilibrio

o  Consideriamo corpi all’equilibrio elettrostatico.

o  È facile provare le seguenti proprietà:

n  all’interno di un corpo conduttore il campo elettrico è nullo: E=0

o  corollario: tutti i punti del conduttore sono allo stesso potenziale

n  all’interno del conduttore non vi è carica in eccesso (ρ=0)

n  carica in eccesso può trovarsi solo sulla superfice esterna del conduttore

n  il campo elettrico è perpendicolare alla superfice

del conduttore

Campo elettrico di un

conduttore all’equilibrio

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 5

Campo elettrico di un

conduttore all’equilibrio

Esempio 4.1

o  due sfere conduttrici poste a grande distanza ma collegate tra loro

n  determinare come si ripartisce la carica in eccesso

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Conduttore cavo

o  Nella superfice interna della cavità non vi è carica

n  dal teorema di Gauss

o  ne vi può essere un eccesso da una parte della superficie interna ed un difetto dall’altra

n  circuitazione di E è nulla

à E= 0 all’interno

Conduttore cavo

o  Anche all’interno della cavità il potenziale è lo stesso di quello che si ha nell’interno del corpo conduttore

n  Il conduttore può essere ad un potenziale di 10 V o 10

V rispetto al potenziale di “terra”, ma la differenza di

potenziale tra due punti interni (anche nella cavità) resta nulla

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 9

Conduttore cavo con all’interno un conduttore carico

o  Sulla superficie interna del conduttore cavo si presenta una carica uguale ed opposta a quella del conduttore interno

n  sulla superficie esterna del conduttore cavo si presenta la stessa carica del conduttore interno

o  fenomeno dell’induzione elettrostatica completa

o  Il conduttore cavo costituisce uno schermo elettrostatico

perfetto tra spazio interno e spazio esterno

Verifica dello schermaggio

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Lo schermaggio avviene anche rispetto all’esterno

Condensatori

o  Condensatore: un sistema di conduttori tra cui vi è induzione completa

o  Es. Condensatore sferico

All’interno della cavità:

E(r) = 1 4πε

r

4

πε

R_int − 1 R_est

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

C = q

ΔV = 4

πε

Capacità dei condensatori

o  Condensatore sferico:

se facciamo tendere R _est all’infinito:

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C = 4

πε

C = 4 πε

^R

che può essere intesa come la capicità di una sfera isolata (le linee di E si chiudono all’infinito)

Capacità dei condensatori

o  Condensatore piano:

n  si può ricavare direttamente n  ma anche come caso limite del

condensatore sferico:

o  d=R

-R

<< R

≈ R

= R

C = 4

πε

C = 4 πε

^R

2

d = ε

^A

d

Capacità dei condensatori

o  Condensatore cilindrico (es. 4.3)

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E(r) =!

λ

πε

u!_r

V₁−V₂ = !

E(r)⋅ d!

R₁ r

R₂

∫

_πε ^λ

0

dr r

R₁ R₂

∫

_πε ^λ

0

ln R₂ R₁

λ = q

d

C = q

ΔV = q

V₁−V₂ = 2

πε

R₁ C_d = C

d = 2

πε

Condensatore piano

o  nella notazione usata sul Mazzoldi

E = ! σ ε

u !

V

−V

= Eh = σ

ε

^{h =} σ Σ

ε

Σ h = q

ε

Σ h

C = q / (V

−V

)

Condensatori reali

o  sono di dimensione finita

n  difficile da realizzare quello sferico n  spesso cilindrico o piano

o  vi sono effetti di bordo

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Condensatori in parallelo

q ₁ =C ₁ V q ₂ =C ₂ V

q=q ₁ +q ₂ =(C ₁ +C ₂ )V

C _eq =C ₁ +C ₂

Condensatori in serie

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Se ho n condensatori:

1/C_eq=1/C₁+1/C₂+….+1/C_n

V

−V

= q C

V

−V

= q

C

ΔV = V

−V

= q

C

+ q

C

= q 1

C

+ 1 C

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = q C

1

C

= 1

C

+ 1

C

C

= C

C

C

+ C

Energia del campo elettrostatico

o   Consideriamo il processo di carica del

condensatore. Durante la carica, quando ancora la diff. di potenziale non ha raggiunto il valore finale V, ma è V’, il lavoro necessario per portare

l’ulteriore carica dq’ è dW=V’dq’=q’/C dq’

Il lavoro complessivo per effettuare la separazione di cariche è:

W = dW = q' C dq'

0

∫

^{= q}

2

∫ 2C

Lavoro effettuato contro la forza elettrostatica che si oppone ad un ulteriore accumulo di carica

Energia del campo elettrostatico

o  L’energia accumulata può essere pensata come dovuta alle cariche elettriche

o  ma può anche essere intesa come associata alla presenza del campo elettrico (elettrostatico in tal caso)

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U

= 1

2 CV

= 1 2

ε

Σ

h E

h

= 1

2 ε

^E

Σh = 1

2 ε

^E

τ

densità di energia elettrostatica:

u

= U

τ ⁼

1

2 ε

^E

Energia del campo elettrostatico

densità di energia associata al campo elettrico:

u

= U

τ ⁼

1

2 ε

^E

[u_e]=J/m³ In un volume finito:

U

= ∫ dU

⁼ ∫ ¹ ₂ ^ε

^E

^{d τ}

d τ = dxdydz

Pressione elettrostatica

o  Esempio 4.19

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Dielettrici

o  isolanti

o  costante dielettrica

o  costante dielettrica relativa o  suscettività dielettrica

o  polarizzazione dei dielettrici

o  Introduciamo prima una lastra conduttrice all’interno di un

condensatore

n  la d.d.p. diminuisce

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V=E₀(h-s) < V₀

o   Anche quando introduciamo un materiale isolante (dielettrico), la d.d.p. diminuisce

n  l’effetto è minore rispetto al caso del conduttore

o  il campo all’interno del dielettrico diminuisce, ma non si annulla completamente (come nel conduttore)

o  all’aumentare dello spessore della lastra diminuisce linearmente la d.d.p.

o  V_min =V_k quando il condensatore è interamente riempito

k=V₀/V_k

Costante dielettrica relativa:

Condensatore riempito di dielettrico

Il campo elettrico si riduce in presenza di un dielettrico

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k=V₀/V_k>1

costante dielettrica relativa

E_K=V_k/h=V_o/kh=E₀/k=σ₀/kε₀

costante dielettrica assoluta ε=kε₀

E₀-E_K=… =χ/1+χ E₀

χ=k-1 Suscettività elettrica

E_k = σ₀ ε₀ ⁻

k −1 k

σ₀ ε₀ ⁼

σ₀ ε₀ ⁻

σ _p ε₀ σ_p = k −1

k σ₀

Capacità di condensatore

o  Capacità di condensatore

n  C=kC

n  Condensatore piano: C=εΣ/h

o  Energia e densità di energia elettrostatica

U

= q

2C = 1

2 ε ^E

Σh = 1

2 ε ^E

τ

U 1

Polarizzazione

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polarizzazione di un atomo:

p_a = Zex

Alcune molecole hanno una polarizzazione naturale (es. acqua)

polarizzazione

Vettore polarizzazione:

! P =

p ! τ ⁼

N τ ^<

p >= n < ! ! p >

[P]=C/m²

Polarizzazione

o  Si può dimostrare che:

n  in moltissimi materiali, la polarizzazione è proporzionale ad E

n  con un campo E esterno uniforme, all’interno del dielettrico, la densità volumetrica di carica dovuta alla polarizzazione è nulla: ρ

=0

n  con un campo elettrico non uniforme, si ha una densità volumetrica di carica, dovuta alla

polarizzazione, non nulla: ρ

=-divP

n  Sulla superfice del dielettrico la densità superficiale di carica di polarizz. vale

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P = ! ε

(k −1) !

E = ε

χ ^{E !}

σ

= ! P ⋅ !

u

Vettore induzione dielettrica

o  In presenza di un dielettrico, se vi sono le cariche di polarizzazione, l’applicazione del teorema di Gauss non è più ovvio

n  bisogna considerare anche le cariche di polarizzazione

o  Si vuole definire un nuovo vettore D (al posto del vettore campo elettrico E) per il quale

continui a valere la legge di Gauss

n  a secondo membro della legge di Gauss, per la

carica contenuta nella superfice chiusa considerata, voglio dover considerare le sole cariche vere

o  per maggiore comodità inglobo nel nuovo vettore anche

Vettore induzione dielettrica

o  Consideriamo il caso semplice di un dielettrico contenuto in un condensatore piano, ed

applichiamo la legge di Gauss ad una superfice chiusa (parallelepipedo) che contenga cariche vere e cariche di polarizzazione

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 33

E ⋅ dS ! ! u

"∫

⁼ _ε ¹

0

q

+ q

( )

ε

E ⋅ dS ^! ! u

"∫

^{= q}

^{+ q}

σ

= ! P ⋅ !

u

q

= Σ σ

= Σ ! P ⋅ !

u

= !

P ⋅ Σ !

u

= −ΣP P ⋅ dS ! !

u

"∫

^{= ΣP}

q

= − !

P ⋅ dS ! u

"∫

Vettore induzione dielettrica

ε

E ⋅ dS ^! ! u

"∫

^{= q}

^{+ q}

^q

^{= − "∫}

^{P ⋅ dS ! u !}

ε

E ⋅ dS ^! ! u

"∫

^{= q}

⁻ "∫

^{P ⋅ dS ! u !}

ε

E ⋅ dS ^! ! u

"∫

⁺ "∫

^{P ⋅ dS ! u !}

^{= q}

ε

E ⋅ dS ^! ! u

"∫

^{+ P ⋅ dS ! u !}

^{= q}

! !

( ) ^!

"∫

Vettore induzione dielettrica

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 35

D = ε

E + ^! ! P

D ⋅ dS ! ! u

"∫

^{= q}

Per i dielettrici lineari: _{P =} ^! _ε

_{(k −1) E =} ^! _ε

_{χ E} ^!

D = ! ε

E + ^! ε

(k −1) !

E = ε

^k E = ^! ε ^{E !}

D è detto vettore induzione dielettrica

•  soddisfa la legge di Gauss, in presenza di dielettrici, considerando le sole cariche vare

D = ! ε ^{E !}