Universit`a di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia
Matematica Lezione 7
Sonia Cannas 26/10/2018
Vettori: definizione
Definizione (Vettore)
Sia O un punto fissato del piano. Si definisce vettore applicato in O un segmento orientato−→
OP, dove P `e un punto del piano.
Il punto in cui il vettore `e applicato `e detto origine, o punto di applicazione, o coda.
Un vettore `e individuato da tre elementi:
la direzione, cio`e la retta passante per O e per P;
il verso, indicato dalla freccia;
il modulo, cio`e il numero reale non negativo che misura la lunghezza del segmento OP.
Vettori: applicazioni
I vettori sono fondamentali per rappresentare alcune grandezze fisiche.
Supponiamo di voler dare delle informazioni riguardo alla temperatura atmosferica. Per descrivere tale grandezza `e sufficiente indicare un numero. Grandezze di questo tipo vengono dette scalari.
Supponiamo ora di essere in un’automobile e di voler dare descrivere la propria velocit`a. In questo caso non `e sufficiente indicare il valore indicato nel tachimetro, per dare un’informazione precisa `e necessario indicare anche la direzione e il verso che si sta percorrendo. Oppure supponiamo di voler dare un calcio ad un pallone. Durante il calcio viene applicata una forza, ma se si vuole descrivere tale grandezza non `e sufficiente un valore numerico, anche in questo caso `e necessario indicare la direzione e il verso in cui viene applicata. Grandezze di questo tipo sono dette vettoriali, e sono rappresentate da vettori.
Vettori nel piano cartesiano e componenti di un vettore
Componenti di un vettore
Consideriamo un vettore ~v =−→
OP nel piano cartesiano, dove O = (0, 0) e P = (a, b). Le coordinate (a, b) del punto P si chiamano componenti di ~v .
Vettori: modulo
Sia ~v un vettore nel piano cartesiano di componenti (vx, vy). Dal teorema di Pitagora segue subito che il modulo di ~v `e dato dalla formula
|~v | = q
vx2+ vy2 (1)
Esempio
Il vettore di componenti (2, 0) ha modulo 2.
Esempio
Il vettore di componenti (0, −1) ha modulo 1.
Esempio
Il vettore di componenti (−1, 2) ha modulop(−1)2+ 22=√
1 + 4 =√ 5.
Il vettore che ha modulo uguale a zero `e detto vettore nullo. Le sue componenti sono (0, 0). La sua direzione e il suo verso sono indeterminati.
Versori
Definizione
Versore Si definisce versore un vettore di modulo unitario.
Osservazione
Un vettore di componenti (vx, vy) `e un versore se e solo seq
vx2+ vy2 = 1.
Versori fondamentali
I vettori di componenti (1, 0) e (0, 1) sono due versori, detti versori fondamentali del piano cartesiano, e si indicano con ~i e ~j rispettivamente.
Operazioni tra vettori: somma
Per sommare due vettori si pu`o utilizzare il metodo punta-coda oppure, equivalentemente, il metodo del parallelogramma.
Metodo punta-coda
Supponiamo di voler sommare i vettori ~u e ~v . Trasliamo ~v in modo che la sua coda coincida con la punta di ~u. Il vettore risultante
~s = ~u + ~v `e il vettore che parte dalla coda di ~u e arriva alla punta di ~v .
Tale metodo di pu`o utilizzare anche per sommare pi`u vettori.
Operazioni tra vettori: somma
Osservazione
Se due vettori ~u e ~v hanno la stessa direzione e lo stesso verso il vettore risultante ~s ha la stessa direzione e lo stesso verso di ~u e ~v e modulo uguale alla somma dei moduli.
Osservazione
Se due vettori ~u e ~v hanno la stessa direzione ma verso opposto il vettore risultante ~s ha la stessa direzione di ~u e ~v , verso uguale a quello del vettore con modulo maggiore e modulo pari alla differenza dei due moduli.
Operazioni tra vettori: somma
Metodo del parallelogramma Supponiamo di voler sommare i vettori ~u e ~v . Trasliamo ~v in modo tale che la sua coda coincida con la coda di ~u. Disegniamo un
parallelogramma di lati ~u e ~v . Il vettore risultante ~s = ~u + ~v `e il vettore che parte dalla dalle due code e arriva al vertice opposto del
parallelogramma.
Operazioni tra vettori: somma in componenti
Siano ~v = (vx, vy) e ~w = (wx, wy). Le componenti del vettore ~u = ~v + ~w si ottengono sommando nell’ordine le componenti di ~v e di ~w , cio`e
~
u = ~v + ~w = (vx, vy) + (wx, wy) = (vx+ wx, vy + wy) (2)
Esempio
Siano ~v = (1, −3) e ~w = (−1, −2). Allora
~
v + ~w = (1, −3) + (−1, −2) = (1 − 1, −3 − 2) = (0, −5)
Operazioni tra vettori: moltiplicazione di un numero per un vettore
La moltiplicazione di un numero per un vettore modifica il modulo del vettore, ed eventualmente ne cambia verso.
Moltiplicazione di un numero per un vettore
Dato un vettore ~v e un numero reale k, il prodotto di k per ~v `e il vettore k · ~v avente
stessa direzione di ~v ;
modulo uguale al prodotto del valore assoluto di k per il modulo di ~v ; stesso verso di ~v se k > 0, verso opposto se k < 0.
Operazioni tra vettori: moltiplicazione di un numero per un vettore
Esempio
3 · ~v = ~v + ~v + ~v
− 2 · ~v = −~v + (−~v )
Operazioni tra vettori: moltiplicazione di un numero per un vettore in componenti
Sia k ∈ R e sia ~v = (vx, vy). Le componenti del vettore k~v si ottengono moltiplicando per k le componenti di ~v , cio`e:
k~v = k(vx, vy) = (kvx, kvy) (3)
Esempio
Consideriamo 2 ∈ R e ~v = (3, 1). Allora
2~v = 2(3, 1) = (2 · 3, 2 · 1) = (6, 2) Osservazione
Per ogni vettore ~v si ha
0 · ~v = (0, 0)
Operazioni tra vettori: differenza
La differenza tra due vetto- ri `e una variante della som- ma, infatti si ottiene somman- do al primo vettore l’opposto del secondo, cio`e:
d = ~~ u − ~v = ~u + (−~v )
Operazioni tra vettori: differenza in componenti
Siano ~v = (vx, vy) e ~w = (wx, wy). Le componenti del vettore ~u = ~v − ~w si ottengono sottraendo nell’ordine le componenti di ~v e di ~w , cio`e
~
u = ~v − ~w = (vx, vy) − (wx, wy) = (vx− wx, vy − wy) (4)
Esempio
Siano ~v = (1, −3) e ~w = (−1, −2). Allora
~
v − ~w = (1, −3) − (−1, −2) = (1 + 1, −3 + 2) = (2, −1)
Operazioni tra vettori
Esercizio Dati i vettori
v = (3, 2) w = (−1, −3) determinare il modulo del vettore v + 2w .
Soluzione.
Per prima cosa determiniamo le componenti del vettore v + 2w . v + 2w = (3, 2) + 2(−1, −3) =
= (3, 2) + (−2, −6) =
= (1, −4).
Applicando la formula per calcolare il modulo di un vettore otteniamo
