b) la forza Fapp (modulo, direzione e verso) che è necessario applicare per mantenere il corpo completamente immerso

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA – 20 giugno 2011

1) Una particella P di massa M= 200 g viene lanciata dalla sommità (punto A) di un piano liscio inclinato di 30° , rispetto al piano terrestre orizzontale, con velocità iniziale vA = 2 m/s, parallela al piano inclinato. Il piano inclinato ha lunghezza AB = 4 m. Nel punto B, alla base del piano inclinato, la particella urta in modo perfettamente anelastico una particella p di massa m = 50g . Dopo l’urto le due particelle unite proseguono il loro moto lungo il piano orizzontale scabro (coefficiente di attrito  = 0.1) fino al punto C dove si arrestano.

Si determini:

a) la velocità della particella P immediatamente prima del’urto e quella delle due particelle unite immediatamente dopo l’urto;

b) Il tratto BC percorso dopo l’urto

c) Facoltativo: qualora a metà del tratto BC le due particelle urtassero una molla con costante elastica

k = 500 N/m, inizialmente in equilibrio, quale sarebbe la massima compressione della molla? (si trascuri l’attrito nel tratto di cui si comprime la molla).

A P

B C

p

O

2) In un liquido ideale di densità l= 2 g/ cm³ galleggia un cubo, di lato L = 10 cm, immerso per il 40% del proprio volume.Determinare:

a) la spinta Archimedea FA e la densità C del materiale di cui è costituito il corpo;

b) la forza Fapp (modulo, direzione e verso) che è necessario applicare per mantenere il corpo completamente immerso.

c) Facoltativo: determinare la densità C del materiale nel caso in cui all'interno del corpo sia presente una cavità vuota, pari alla metà del suo volume. Si supponga sempre che il corpo galleggi con il 40% del proprio volume immerso.

3) Due moli di un gas perfetto biatomico, inizialmente nello stato A di coordinate termodinamiche pA = 2 atm ,

VA = 5 l, compiono le seguenti trasformazioni termodinamiche:

- AB: decompressione a volume costante fino alla pressione pB = 1 atm;

- BC: espansione isoterma fino al volume Vc = 7 l;

- CD: compressione isobara fino al volume VD = 2 l.

a) Si disegnino le trasformazioni nel piano (p,V) e si determinino le coordinate termodinamiche (p,V,T) per gli stati A, B, C e D;

b) Si calcoli la variazione di energia interna, il lavoro e il calore scambiato in ogni singola trasformazione e complessivamente.

4) Una lamina piana infinitamente estesa , uniformemente carica con densità  = + 4 10^-8 C/m² è perpendicolare all’asse x di un sistema di assi (x,y) di origine O e passa per B di coordinate (+2m, 0). Una carica negativa q = - 2 10^-8 C viene lasciata libera di muoversi nell’origine O.

Si determini :

a) il campo elettrostatico, specificando modulo direzione e verso, in O e nel punto C di coordinate (+4m, 0).

b) l’energia cinetica con cui la carica q raggiunge la lamina nel punto B e, supponendo che in B sia praticato un forellino di dimensioni tali da non perturbare il campo elettrostatico, l’energia cinetica di q nel punto C . c)Facoltativo: La carica q ripasserà per O ? (giustificare la risposta). Se sì, con quale velocità?

Nota : ( R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole 0 = 8.85 10^-12 C²/Nm² ).

--- SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA.

Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (A-D), www.mi.infn.it/~sleoni (Pe-Z) .

SOLUZIONE ESERCIZIO 1 ( Dinamica)

a) Lungo il tratto AB del piano inclinato liscio la forza che compie lavoro è la forza Peso che è conservativa. Pertanto si può calcolare la velocità della particella P in B, prima dell’urto, applicando il teorema di conservazione dell’energia meccanica. Indicata con h l’altezza OA del piano inclinato si ha:

½ M vA2

+ Mgh = ½ M vB2

da cui si ricava vB = 6.57 m/s

Nell’urto perfettamente anelastico si conserva la quantità di moto del sistema delle due particelle. Indicata con v_f la velocità delle dueparticelle unite dopo l’urto si ha :

M vB = ( M+m ) vf da cui si ottiene vf = 5.26 m/s

b) Il tratto BC percorso dalle due particelle lungo il piano orizzontale scabro prima di arrestarsi può essere calcolato in modo semplice utilizzando il teorema lavoro-energia cinetica:

-(M+m) g BC= - ½ ( M+m) vf 2

da cui si ottiene BC= 14.1 m

c) Facoltativo : Applicando nuovamente il teorema lavoro-energia cinetica al tratto AD ( D è il punto medio di AC) si calcola l’energia cinetica delle due particelle nel punto D :

-(M+m) g BD= Ecin D - ½ ( M+m) v_f ² da cui si ottiene E_{cin D} = 1.73 J. Trascurando l’attrito nel tratto di compressione della molla, la massima compressione x della molla si calcola applicando il teorema di conservazione dell’energia meccanica :

Ecin D = ½ k x² dove x è la massima compressione della molla. Da qui risulta x= 8.3 cm.

SOLUZIONE ESERCIZIO 2 (Fluidi) a) La spinta di Archimede agisce sul 40% di volume immerso, ossia:

F_A = m_f g = _f V_imm g = 2 10^-3 kg/(10^-2 m)³ x 0.4 x (0.1 m)³ x 9.8 m/s² = 7.84 N

La densità del materiale di cui è costituito il corpo si ottiene dalla condizione di galleggiamento:

F_A = m_f g = f V_imm g = f 0.4 V g = F_g = c V g

Da cui si ottiene:



c = 0.4 f = 0.8 10³ kg/m³

b) Per mantenere il corpo completamente immerso è necessario applicare una forza Fapp tale che

0



 _{g A}

app F F

F^{  }

Proiettando tale equazione sull’asse verticale di ottiene:

N N

Vg Vg

Vg F F F

F F F

c f f

c A g app

A g app

8 . 11 8 . 9 10 10 2 . 1

) (

0

3

3  







































La forza Fapp è diretta lungo la verticale in verso opposto all’asse y (ossia concorde con la forza peso).

c) Se il corpo ha al suo interno una cavità vuota di volume V/2, nell'ipotesi che il volume immerso sia sempre 0.4 V, la spinta di Archimede non cambia, mentre la forza peso è pari a

F_g = _c V/2 g

La condizione di galleggiamento diventa quindi:

f 0.4 V g = c V/2 g da cui si ricava:

c = 2 x 0.4 f = 1.6 10³ kg/m³

SOLUZIONE ESERCIZIO 3 (Termodinamica) a)

Stato A:

p_A = 2 atm = 2 x 10⁵ Pa V_A = 5 l = 5 x 10^-3 m³ TA = pA VA /(nR) = 60.2 K

Stato B:

pB = 1 atm = 10⁵ Pa VB = VA = 5 l = 5 x 10^-3 m³

T_B = p_B V_B /(nR) = p_A/2xV_A /(nR) = T_A /2 = 30.1 K

Stato C:

T_C = T_B = 30.1 K V_C = 7 l = 7 x 10^-3 m³

pC = nR TC / VC = 0.71 10⁵ Pa

Stato D:

pD = pC = 0.71 10⁵ Pa VD = 2 l = 2 x 10^-3 m³ T_D = p_D V_D /(nR) = 8.5 K

b)

Trasformazione AB (Isocora):

WAB = 0

Eint)AB = QAB = ncV TAB = 2 x 5/2 R (TB – TA ) = - 1251 J

Trasformazione BC (Isoterma):

DEint = 0

Q_BC =W_BC = nRT_B ln(V_C/V_B) = + 168 J

Trasformazione CD (Isobara):

WCD = pD x (VD – VC) = - 355 J

QCD = ncp TCD = 2 x 7/2 R (TD – TC ) = - 1256 J DE_int = Q_CD - W_CD = -901 J

Trasformazione complessiva (A-> B-> C -> D):

W = W_AB + W_BC + W_CD = - 187 J Q = QAB + QBC + QCD = - 2339 J DEint = Q - W = -2152 J

SOLUZIONE ESERCIZIO 4 ( Elettrostatica)

a) Il modulo del campo elettrostatico creato dalla lamina nel punto O e nel punto C è :

/E/ =  / 2 ₀ = 0.23 10⁴ N/C. In entrambe i casi la direzione è perpendicolare alla lamina ( quindi parallela all’asse x) . I verso del campo in O è quello di (-i ) , mentre quello del campo in C è il verso di (i),

quindi E_O = 0.23 10⁴ N/C ( -i ) E_C= 0.23 10⁴ N/C ( +i ).

b) La forza elettrostatica agente sulla carica –q nel punto O è F = -q E = 0.46 10^-4 N/C ( i ).

L ‘energia cinetica della particella carica quando raggiunge il punto B si calcola facilmente con il teorema lavoro energia cinetica:

L = F OB = E_cnB - E_cnO = E_cnB = 0.92 10^{- 4} J.

Nella regione da B ad C la forza è opposta allo spostamento e pertanto la variazione di energia cinetica è negativa e pari a - 0.92 10^{- 4} J. L’energia cinetica della carica in C è 0.

c) Facoltativo Nel punto C la forza elettrostatica è F = -q E = 0.46 10^-4 N/C (- i ), pertanto la carica q si rimette in moto verso B con accelerazione costante. Oltrepassato B la forza

F = -q E = 0.46 10^-4 N/C ( i ) è opposta alla velocità di q, pertanto q decelererà fino a raggiungere O con velocità nulla.