Due Due sistemi di equazioni sistemi di equazioni si dicono si dicono

(1)

Metodo di ELIMINAZIONE di GAUSS Metodo di ELIMINAZIONE di GAUSS

Due Due sistemi di equazioni sistemi di equazioni si dicono si dicono

EQUIVALENTI

EQUIVALENTI se ammettono le stesse se ammettono le stesse soluzioni.

soluzioni.

Per passare ad un sistema equivalente si possono Per passare ad un sistema equivalente si possono

eseguire, eventualmente pi

eseguire, eventualmente pi ù ù volte, le seguenti volte, le seguenti operazioni

operazioni : :

(1) (1) cambiare l cambiare l ’ ’ ordine delle equazioni ordine delle equazioni (2) (2) moltiplicare l moltiplicare l ’ ’ equazione per una equazione per una

costante non nulla costante non nulla

(3) (3) sommare ad un sommare ad un ’ ’ equazione una equazione una combinazione lineare delle altre

combinazione lineare delle altre

(2)

Utilizzando

Utilizzando (1) (2) (1) (2) e e (3) (3) si può si può

trasformare

trasformare un un sistema DI sistema DI CRAMER

CRAMER in un in un sistema sistema equivalente

equivalente in cui la in cui la MATRICE MATRICE DEI COEFFICIENTI

DEI COEFFICIENTI sia sia

TRIANGOLARE TRIANGOLARE

superiore o inferiore

(3)

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

−

= +

+

= +

+

0

2 6 4

5 2

9 3

6 3

z y

x

z y

x

z y

x

Dividiamo la I Dividiamo la I

equazione per 3 equazione per 3

⇒ ⇒

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

−

= +

+

= +

+

0

2 6 4

5 2

3

2 z y

x

z y

x

z y

x

ESEMPIO

(4)

Moltiplichiamo la Moltiplichiamo la I equazione per 2 I equazione per 2

e la sottraiamo e la sottraiamo alla II e alla III

alla II e alla III ⇒ ⇒ ⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

= +

+

6

5 0 2

3 2

z y

x

Moltiplichiamo la Moltiplichiamo la

II equazione per 5 II equazione per 5

e la aggiungiamo e la aggiungiamo

alla III

alla III ⇒ ⇒ ⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

= +

+

6 9

0 2

3

2 z z y

z y

x

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

=

= +

+

−

= +

−

=

3 / 2

3 / 4 2

1 3

3 / 2 3

/ 8 3

2 z

z y

x

(5)

⇒ ⇒

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

− 0

6 9

1 1

2 4 5

2 3 6

3

3 2 1

x x x

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

6 0 3

9 0

0 2 1

0 1 2

1

3 2 1

x x

È x

È equivalente a: equivalente a:

E il vettore E il vettore soluzione

soluzione è è : :

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

3 / 2

3 / 4

1

3 2 1

x

(6)

SISTEMA DI m EQUAZIONI ED SISTEMA DI m EQUAZIONI ED

n INCOGNITE n INCOGNITE

Non sempre

Non sempre in un sistema il in un sistema il numero delle numero delle equazioni

equazioni è è uguale al uguale al numero delle incognite. numero delle incognite Consideriamo il caso pi

Consideriamo il caso pi ù ù generale in cui generale in cui m m ed ed n n possono essere possono essere qualsiasi qualsiasi : : A A x x = = b b

n

M

m

A ∈

_,

R n

x ∈

R m

b ∈

Con A matrice m

Con A matrice m × × n n x x vettore incognito vettore incognito b b vettore dei vettore dei

termini noti

(7)

RANGO

RANGO di una matrice A (m di una matrice A (m × × n) n)

Definizione:

Definizione: Data una matrice Data una matrice

A(m A(m × × n), se n), se p p è è un numero naturale un numero naturale ( ( ≠ ≠ 0) 0) non superiore al pi non superiore al pi ù ù piccolo dei piccolo dei

numeri m ed n,

numeri m ed n, si dice si dice MINORE MINORE DI ORDINE p

DI ORDINE p della matrice A , un della matrice A , un

qualunque determinante di qualunque determinante di

ordine p

ordine p ottenuto con gli elementi ottenuto con gli elementi comuni a

comuni a p p righe e a _{righe e a} p p colonne di A. colonne di A.

(8)

ESEMPIO ESEMPIO

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

a a

A

E E ’ ’ un un minore del secondo ordine minore del secondo ordine ottenuto prendendo gli elementi ottenuto prendendo gli elementi

comuni alla

comuni alla I e III colonna I e III colonna e alla e alla I e II riga

I e II riga

₂₁ ₂₃

13 11

a a

34 33

31

24 23

21

14 13

11

a a

a

a a

a

a a

a E E ’ ’ un un minore del terzo ordine minore del terzo ordine ottenuto prendendo gli elementi ottenuto prendendo gli elementi

comuni alla

comuni alla I, III e IV colonna I, III e IV colonna e alla

e alla I, II e III riga I, II e III riga

(9)

Qual

Qual è è il il massimo ordine massimo ordine

dei minori

dei minori che si possono che si possono estrarre da una

estrarre da una matrice matrice (m (m × × n) n) ? ?

Naturalmente

Naturalmente è è il pi il pi ù ù piccolo

piccolo fra i numeri fra i numeri m m

ed ed n n ! !

(10)

RANGO di A

RANGO di A ( ( def def .) .) Quando

Quando almeno un elemento della almeno un elemento della matrice A

matrice A è è diverso da zero, diverso da zero, si dice _{si dice}

RANGO

RANGO (o caratteristica) (o caratteristica) DI A DI A

l l ’ ’ ordine massimo dei minori ordine massimo dei minori non tutti nulli che si possono non tutti nulli che si possono

estrarre da A.

Se tutti gli

Se tutti gli elementi elementi di A sono nulli di A sono nulli , , diremo che la

diremo che la caratteristica caratteristica di A di A è zero è zero

(11)

ESEMPIO ESEMPIO

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

4 2

6 4

1 1

2 1

3 2

A

I minori del terzo ordine

I minori del terzo ordine sono tutti sono tutti UGUALI A ZERO

UGUALI A ZERO in quanto in quanto la terza riga la terza riga è è proporzionale alla prima

proporzionale alla prima ⇒ ⇒ p<3 p<3

2 6

4 1 2

1 1 3

2 3 p

è

4

r(A)

,

3

⇒ ≤

∈M A

4 6

4 1 2

1 2 3

2 4 2

4 1 1

1 2 1

2 4 2

6 1 1

2 2 1

3 P=3 ?

P=3 ?

(12)

∃ ∃ un un minore minore del secondo ordine del secondo ordine DIVERSO DA ZERO

DIVERSO DA ZERO

⇓ ⇓

p=2 p=2

0 2 1

1

3 2 = ≠

P=2 ?

(13)

TEOREMA di

TEOREMA di Kronecker Kronecker

Una matrice

Una matrice HA RANGO K HA RANGO K

È È possibile estrarre un possibile estrarre un minore di minore di ordine

ordine K K diverso 0 diverso 0 e siano e siano tutti tutti nulli

nulli i i minori di ordine K+1 minori di ordine K+1 (se (se ve ne sono) che lo contengono.

ve ne sono) che lo contengono.

(14)

ESEMPIO ESEMPIO

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

= −

2 4

1 0

3 2 1

0 2

2 1 3

1 1

2 1 1

0 1

1 A

Determinare il rango p di Determinare il rango p di

4 p

è

5 r(A)

,

4 ⇒ ≤

∈M

A

(15)

0 1 3

2

1

2

1

= − ≠

= − D

Se i

Se i minori del terzo minori del terzo ordine

ordine che lo che lo

contengono sono contengono sono

uguali a zero

uguali a zero ⇒ ⇒ p=2 p=2

0 0

2 2

1 1

2 0 1

1

3

1

= − =

D ⁹ ⁰

1 2

2 3 1

2 1 1

1

3

2

= ≠

−

− D =

3

0

2

≠ ⇒ p ≥

D

Se tutti i

Se tutti i minori del quarto ordine minori del quarto ordine che lo che lo contengono sono uguali a zero

contengono sono uguali a zero ⇒ ⇒ p=3, p=3, altrimenti p=4

altrimenti p=4

(16)

0 4

1 0

3 1 0

2 2

3 1

1 2

1 0

1 1

4

1

=

−

= − D

3 p =

⇒

0 2

4 0

3 2 1

2 2

1 3

1 2

1 1

4

2

=

−

= −

D

(17)

Siano Siano

n

M m

A ∈ _, x ∈ R ⁿ b ∈ R ^m

= matrice incompleta

= matrice incompleta Allora

Allora

n

M m

A ∈ _,

1 , +

′ ∈ M _m _n

A = matrice completa = matrice completa

(si ottiene da A aggiungendo la colonna dei (si ottiene da A aggiungendo la colonna dei

termini noti)

(18)

Osservazione:

Possono presentarsi

Possono presentarsi 2 CASI 2 CASI : :

o la caratteristica della o la caratteristica della

matrice completa

matrice completa è è maggiore maggiore di di quella della

quella della matrice incompleta matrice incompleta

o le due o le due matrici matrici hanno la hanno la stessa caratteristica

stessa caratteristica

(19)

Quando

Quando un SISTEMA DI ^un SISTEMA DI

m EQUAZIONI IN n INCOGNITE m EQUAZIONI IN n INCOGNITE

è è compatibile compatibile

(ammette soluzioni)

(ammette soluzioni) ? ?

(20)

TEOREMA

TEOREMA di di Rouch Rouch é é Capelli Capelli

Un Un sistema lineare sistema lineare

di di m equazioni in n incognite m equazioni in n incognite A A x x = = b b

AMMETTE SOLUZIONI AMMETTE SOLUZIONI

r(A)=r(A

r(A)=r(A ’ ’ ) )

(21)

Osservazione:

Un sistema di

Un sistema di m equazioni m equazioni in n in n incognite

incognite A A x x = = b b

con con b b = = 0 0 si dice si dice OMOGENEO OMOGENEO Un sistema omogeneo

Un sistema omogeneo è è sempre sempre compatibile

compatibile : : esso ammette esso ammette sempre la soluzione nulla

sempre la soluzione nulla x x = = 0 0

(d (d ’ ’ altra parte r(A)=r(A altra parte r(A)=r(A ’ ’ )) ))

(22)

Come si procede

Come si procede per per

risolvere

risolvere ^un ^un SISTEMA SISTEMA

A A x x = = b b

compatibile

compatibile ? ?

(23)

Sia k Sia k il il rango comune rango comune di A e A _{di A e A} ’ ’ . .

Si considerano soltanto Si considerano soltanto k k delle delle m m equazioni trascurando le altre equazioni trascurando le altre m m - - k k

La scelta va fatta in maniera tale che la La scelta va fatta in maniera tale che la

matrice dei coefficienti delle k equazioni matrice dei coefficienti delle k equazioni

scelte abbia rango k scelte abbia rango k

⇒ ⇒ Sistema di Sistema di k equazioni k equazioni in _in n n incognite

incognite

(24)

In questo In questo sistema sistema di k equazioni di k equazioni in in n incognite

n incognite si scelgono si scelgono k incognite k incognite in in modo che il determinante dei loro

modo che il determinante dei loro coefficienti sia diverso da zero;

coefficienti sia diverso da zero; alle alle altre n

altre n - - k incognite si attribuiscono valori k incognite si attribuiscono valori arbitrari

arbitrari

⇒ ⇒ sistema di sistema di k equazioni k equazioni in in n n incognite

incognite il cui determinante dei il cui determinante dei coefficienti

coefficienti è è ≠ ≠ da 0 che può da 0 che può essere

essere risolto con risolto con Cramer Cramer

(25)

♦ ♦ Se Se k<n k<n il sistema ammette il sistema ammette

infinite soluzioni

infinite soluzioni dato che ad n dato che ad n - - k k incognite si possono dare valori

incognite si possono dare valori arbitrari

arbitrari (si dice soluzioni) (si dice soluzioni) ∞

ⁿ ⁻ ^k

Quindi:

♦ ♦ Se Se k=n k=n il sistema ammette il sistema ammette una, una, ed una sola, soluzione

ed una sola, soluzione

(26)

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

− +

= +

−

=

− +

6 10

13 5

2 2

3

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

ESEMPIO ESEMPIO

=

−

=

−

=

10 13

5 2 3

1 5 7

0 10 13

5 2 3

1 1 1

2 A

0 )

28 (

5 )

20 (

13 7 5

3 5 1

10 5

2 7 1 − = − − − =

− −

−

=

Il sistema non

Il sistema non è è di di Cramer Cramer

(27)

2 r(A)

0 3 7

1

1 2 = − ≠ ⇒ =

−

Il sistema

Il sistema è è compatibile ? compatibile ?

0 10

13 5

2 3

1 1 1

2 =

−

=

−

6 13

5 2 3

1 3 1

2 0 84

4 88

) 15 13

( 3 )

10 6

( 1 )

26 18

( 2

= +

+

−

=

= +

+

−

=

⇒ ⇒ ^Per ^Per ^Kronecker ^Kronecker ⇒ ⇒ r(A)=r(A r(A)=r(A ’ ’ ) ) ⇒ ⇒ il il sistema