{ I teoremi di Meusnier ed Eulero

Raggi di curvatura delle curve su una superficie:

I teoremi di Meusnier ed Eulero

Dato un generico punto P su una superficie, per esso passano infinite curve appartenenti alla superficie.

Possiamo distinguerle in diverse tipologie:

CURVE PIANE

{

CURVE SGHEMBE

Le sezioni normali si ottengono sezionando la superficie con un piano contenente la normale in P, le sezioni oblique sezionandola con un piano qualsiasi passante per P, le curve sghembe sono invece generiche curve non piane

Tutte queste curve per il fatto di appartenere a una stessa

superficie devono avere qualche relazione tra loro. In particolare:

1) le loro tangenti in P appartengono tutte allo stesso piano (piano tangente alla superficie in P)

2) i loro raggi di curvatura in P sono legati da alcune importanti relazioni tra cui i teoremi di Eulero e di Meusnier

SEZIONI NORMALI SEZIONI OBLIQUE

Si assuma come sistema di riferimento la TERNA EULERIANA Pxyz con origine in P, asse z coincidente con la normale alla superficie, assi x ed y sul piano tangente alla superficie.

Si consideri una generica curva appartenente alla superficie e

passante per P. La tangente alla curva giace sul piano tangente (xy) e forma con l’asse x un angolo α. La normale principale alla curva non coincide in generale con la normale alla superficie ma forma con essa un angolo θ

Con questa particolare scelta del sistema di riferimento, i coseni direttori della normale alla superficie (componenti del versore) rispetto agli assi x ed y si annullano:

cos xn = 0 , cos yn = 0 da cui

L’angolo θ è l’angolo zn^p , quindi è dato dal 3° coseno direttore della normale principale (formule di Frenet):

0

0 =





∂

= ∂



 





∂

∂

o y o

z x

z ,

2 2 2

2 cos

cos ds

z d R

θ ds

z

Rd =

= ,dacuisiottiene θ

: ottiene si

ndo semplifica e

o Sostituend

,

: tangente della

direttori coseni

dei one l'espressi ricordando

e

,

,

cosiddetti i

do introducen compatta

forma in

scritta essere

può che

: derivata la

svolgiamo e

relazione questa

da Partiamo

ds yt dy

ds xt dx

y t z y

x s z x

r z

ds y d y z ds dy ds dy y

z ds

dx y x

z ds

x d x z ds dx ds dy x y

z ds

dx x

z ds

z d

ds dy y z ds dx x z ds dz

ds z d R

θ

=

=

−

°

=

=

=

∂

= ∂

∂

∂

= ∂

∂

= ∂

∂ ⋅ + ∂

 ⋅

 

 ⋅

∂ + ∂

∂ ⋅

∂ + ∂

∂ ⋅ + ∂

 ⋅

 

 ⋅

∂

∂ + ∂

∂ ⋅

= ∂

∂ ⋅ + ∂

∂ ⋅

= ∂

=

α α

α cos cos(90 ) sin

cos cos

cos

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

: Monge di

simboli

α α

α

α

2

0

cos 2 sin cos sin

cos r s t

R

θ = + +

Analizziamo questa espressione :

r₀, s₀ , t₀ sono derivate della equazione della superficie calcolate in P, quindi sono quantità costanti una volta definito il punto P

il rapporto cosθ / R è solo funzione dell’angolo α, quindi è costante per tutte le curve che abbiano la stessa tangente

Da questa espressione e dalle considerazioni sopra fatte derivano alcune importanti conseguenze, tra le quali i teoremi di Meusnier e di

1) Data una superficie, consideriamo due particolari curve aventi la stessa tangente in un punto P:

- una curva gobba generica

- la curva piana ottenuta intersecando la superficie con il piano osculatore alla curva gobba

Per quanto visto sopra dovrà essere:

ma essendo θ=θ₁ (la normale principale alla curva gobba per definizione è contenuta nel piano osculatore), conseguentemente dovrà risultare R=R₁ ovvero le due curve hanno lo stesso raggio di curvatura

Ciò permette di studiare localmente una curva gobba come curva piana (più semplice)

1

cos 1

cos

R θ R

θ =

2) Teorema di Meusnier:

in maniera analoga, consideriamo due altre curve in un punto P:

- una curva piana generica (sezione obliqua) il cui piano formi un angolo θ con la normale alla superficie

- la sezione normale per P avente la stessa tangente t della sezione obliqua

Per la sezione normale si ha θ = 0 , da cui cosθ = 1

Detto Rα il raggio di curvatura della sezione normale ed R quello della sezione obliqua, si ha pertanto:

Il raggio di curvatura di una sezione piana obliqua la cui normale formi con la normale alla superficie un angolo θ è pari al raggio di curvatura della sezione normale avente la stessa tangente moltiplicato per il coseno di θ

Questo teorema e quello precedente permettono di calcolare il raggio di curvatura di una curva qualsiasi (gobba) per mezzo di quello della

sezione normale avente stessa tangente (molto più semplice da studiare) Rα

R

θ 1

cos = da cui si ottiene:

Meusnier) di

(Teorema

θ R

R =

⋅ cos

3) Teorema di Eulero: raggi di curvatura delle sezioni normali L’espressione di cosθ/R per una sezione normale diventa:

α α

α α

α

2 0 0

2

0cos 2 sin cos sin

1 r s t

R = + +

Questa formula esprime la variazione del raggio delle sezioni normali in un punto P di una superficie al variare dell’angolo α (che possiamo sin da ora chiamare azimut per il significato che assumerà sull’ellissoide terrestre)

Dalla formula sopra se ne può ricavare una più adatta all’uso pratico mediante la seguente costruzione geometrica:

Si riporta un segmento di lunghezza radice di Rα sulla tangente alla

Sostituendo nella formula di 1/Rα le proiezioni del segmento si ottiene:

E’ una variazione di tipo ellittico, con un valore massimo R¹ e un valore minimo R² lungo due direzioni ortogonali le cui corrispondenti sezioni normali vengono dette sezioni normali principali

Se si effettua una rotazione di assi assumendo come x e y le direzioni principali, nell’equazione dell’ellisse sparisce il termine in xy.

Dalla precedente espressione di 1/Rα si ha:

per α = 0° r₀ = 1/R1 , per α = 90° t₀ = 1/R2 , da cui sostituendo si ottiene:

che è l’equazione di un’ellisse sul piano xy

E’ l’ellisse che il segmento descrive al variare di α, e pertanto rappresenta graficamente la variazione del raggio di curvatura delle sezioni normali al variare di α :

Eulero) di

(Teorema

2 2 1

2

sin

cos 1

R R

R

α α

α

+

=

1 2 _{0 0} ²

2

0x + s xy + t y = r

Rα

importante formula che permette di calcolare il raggio di curvatura di una sezione normale qualsiasi in funzione dei due raggi principali

Alcune conseguenze del Teorema di Eulero

1) L’ellisse è simmetrica rispetto a entrambi i suoi assi.

Ne consegue che due sezioni normali aventi le tangenti simmetriche rispetto a una delle due sezioni normali principali, hanno lo stesso raggio di curvatura (v. figura)

[ ]

e

ponendo ne

sostituzio per

integriamo

: per

re denominato e

numeratore Dividiamo

: così calcolare può

si integrale l'

Eulero di

teorema dal

R ricavando e

se dell'ellis simmetria

la per

2 1

m RR

R = = =

= +

⋅

=

= +

= +

=

∞ ∞

∫

∫

∫

∫

∫

2 arctan 2

2 1

1 2

cos tan

tan 2 cos

cos sin

cos 2

2 4

2 1

2 1 0

2

0 2 1

2 1

2 2 1 2

1 2

0 2

2 1 2 1

2 1

2 2 2

0 2

1 2 2

2 2 1

0 2 0

π π

π π

α α

α α π α

α α α

α π π

α π α

π

π π

α π

α

R R t

R R t dt

R R

R dt dα R R

t R d

R R R R

R

α R

R d R

R d R

R

d R R_m

2) E’ possibile calcolare il valor medio del raggio di curvatura delle infinite sezioni normali per P al variare di α