Matematica Discreta I
Lezione del giorno 7 novembre 2007 Divisori e multipli fra i numeri naturali
Dati 2 numeri naturali a,b diremo che a è divisore di b (o che b è multiplo di a) se esiste un numero intero c tale che b=ac (notare che c è necessariamente >0, dunque c è anch’esso un numero naturale): in tale caso scriveremo il simbolo ab. Per esempio 28, 315 etc.
Teorema. Siano dati 2 numeri naturali a,b. Allora si ha:
ab nella divisione di b (dividendo) per a si ottiene resto 0 Dimostrazione:
Dimostriamo la doppia implicazione:
: Per ipotesi esiste un numero naturale c tale che b=ac. Dividiamo b per a ottenendo 2 numeri interi q,r≥0 (quoziente e resto) tali che b=aq+r, con r<a; si ha anche:
b=aq+r=ac+0
e per l’unicità del resto nella divisione di b per a si ottiene r=0 (tesi).
: Per ipotesi se dividiamo b per a otteniamo resto 0, quindi b=aq+r con r=0, ossia b=aq, con q (quoziente) intero: per definizione si conclude che ab (tesi) .
Osservazione: Se ab allora certamente ab; infatti esisterà un naturale c tale che ac=b, ed essendo c1 si avrà aac=b.
Massimo comune divisore
Dati 2 naturali a,b, si chiama massimo comune divisore di a e b un numero naturale d (indicato col simbolo mcd(a,b)) tale che:
1) da, db (quindi d è divisore comune di a,b) 2) d è multiplo di tutti i divisori comuni di a,b
(ovviamente dalla proprietà 2) e dall’Osservazione precedente segue che d è anche il più grande dei divisori comuni di a e b).
Esempio: se a=24, b=18, i divisori comuni di a,b sono 1,2,3,6 e d=6 è multiplo di tutti i divisori comuni, quindi 6=mcd(24,18).
Dati i naturali a,b definiamo combinazione lineare di a,b a coefficienti interi relativi un qualunque numero intero relativo della forma ax+by dove i numeri x,y (detti appunto coefficienti) variano fra i numeri interi relativi.
Per esempio se a=4, b=6, esempi di combinazioni lineari di 4 e 6 a coefficienti interi relativi sono i seguenti numeri:
4∙5+6∙(-2)=8 ; 4∙(-7)+6∙2= -16
Teorema di esistenza del massimo comune divisore. Dati comunque i naturali a,b esiste sempre il mcd(a,b).
Dimostrazione: Costruiamo l’insieme S di tutte le possibili combinazioni lineari di a,b a coefficienti interi relativi che siano positive:
S = { z / z=ax+by, con x,y ; z>0}
L’insieme S é non vuoto perché contiene per esempio almeno l’elemento a=a∙1+b∙0, e l’elemento b=a∙0+b∙1 .
Per l’Assioma del minimo esiste in S un elemento minimo d (in particolare d è un intero >0 e d è combinazione lineare di a,b della forma d=ax+by per opportuni valori x,y). Dimostriamo che d è il mcd(a,b) che cercavamo, verificando che d soddisfa le proprietà 1), e 2) della definizione di massimo comune divisore di a,b.
1) Dimostriamo che da e che db.
Per l’Algoritmo della divisione fra numeri naturali, possiamo dividere a per d ottenendo a=dq+r, con q, r interi 0, ed r<d. Per il Teorema precedente, per dimostrare che da, basta dimostrare che il resto r è =0. Se per assurdo fosse r>0 sarebbe r=a-dq=a-(ax+by)q=a(1-xq)+b(-yq) e si otterrebbe che anche r è combinazione lineare positiva di a,b, cioè rS, con r<s ed s minimo in S, contraddizione.
In modo molto simile si dimostra che db.
2) Dimostriamo che d è multiplo di qualunque divisore comune s di a,b: ma se s è divisore comune di a,b esisteranno due numeri naturali c,v tali che a=sc, b=sv, da cui si ricava d=ax+by=scx+svy=s(cx+vy) ossia d è multiplo di s, come si voleva dimostrare.
Poiché d soddisfa le proprietà 1) e 2) della definizione di massimo comune divisore, si conclude che d=mcd(a,b), come si voleva.
