Matematica Discreta I
Lezione del giorno 30 novembre 2007
Numero delle funzioni surgettive fra insiemi finiti
Siano A,B insiemi finiti con A=n, B=m, e contiamo il numero delle possibili funzioni surgettive f : A B.
Sappiamo che se n<m tale numero è 0. Supponiamo dunque nm .
Data una funzione surgettiva f : A B, da essa si può ricavare una partizione di A in m sottoinsiemi, ponendo in ciascuno degli m sottoinsiemi quegli elementi di A che hanno lo stesso corrispondente in B.
Per esempio se A={1,2,3,4,5,6,7}, B={8,9,10} e se f : A B è definita ponendo:
f(1)=8, f(2)=8, f(3)=9, f(4)=10, f(5)=10, f(6)=10, f(7)=10 si ricava una partizione di A in 3 sottoinsiemi {{1,2}, {3}, {4,5,6,7}}.
Se però, inversamente, partiamo da una partizione di A in m sottoinsiemi, e ricaviamo una funzione surgettiva f : A B (associando agli elementi di uno stesso sottoinsieme di A lo stesso elemento di B) non otteniamo una sola possibile funzione surgettiva, ma diverse funzioni surgettive.
Per esempio, se A,B sono come sopra, la partizione precedente {{1,2}, {3}, {4,5,6,7}} non determina solo la funzione f definita nell’esempio, ma anche la funzione g: A B definita ponendo:
g(1)=9, g(2)=9, g(3)=10, g(4)=8, g(5)=8, g(6)=8, g(7)=8
e anche altre funzioni surgettive, in cui si cambia “l’ordine” in cui sono disposti gli elementi di B per definire le immagini degli elementi di A.
In generale quindi, per ottenere una funzione surgettiva f : A B si deve fissare una partizione di A in m sottoinsiemi (tale scelta si può effettuare in S(n,m) modi diversi) e, fissata tale partizione, scegliere una permutazione degli elementi di B per definire le immagini degli elementi di A (con la regola che elementi dello stesso sottoinsieme della partizione hanno la stessa immagine in B).
Poiché questa seconda scelta (fissata la prima scelta) si può effettuare in m! modi diversi, per il principio delle scelte multiple il numero delle funzioni surgettive da un insieme di cardinalità n in un insieme di cardinalità m (con nm) è il prodotto m!S(n,m).
Esempio: il numero delle funzioni surgettive da un insieme di cardinalità 4 in un insieme di cardinalità 3 è il prodotto 3!S(4,3)=66=36 .
Relazioni di equivalenza
Supponiamo che A sia un insieme e che sia definita una relazione R dall’insieme A all’insieme A (si dice anche che R è una relazione definita in A): quindi R è una legge che associa elementi di A con elementi di A (spesso mediante un predicato P(x,y) in 2 variabili). Ricordiamo che con il simbolo aRb (dove a,b sono elementi di A) si intende indicare che l’elemento a è associato all’elemento b nella relazione R
Diremo che R è una relazione di equivalenza se R soddisfa le seguenti 3 proprietà:
1) riflessiva: per ogni aA si ha aRa (quindi ogni elemento di A è associato a sé stesso)
2) simmetrica: per ogni a,bA, se aRb allora bRa (se un primo elemento di A è associato ad un secondo, anche il secondo è associato al primo)
3) transitiva: per ogni a,b,cA, se aRb e bRc allora aRc (se un primo elemento di A è associato ad un secondo, ed un secondo è associato ad un terzo, anche il primo è associato al terzo).
Esempio: definiamo la relazione R nell’insieme dei numeri naturali N mediante il predicato “x+y è pari”, e verifichiamo se è una relazione di equivalenza.
Proprietà riflessiva: per ogni aA si ha aRa, perché a+a=2a è pari. Proprietà simmetrica: per ogni a,bA, se aRb allora bRa, perché se a+b è pari anche b+a=a+b lo é. Proprietà transitiva: per ogni a,b,cA, se aRb e bRc allora aRc, perché se a+b, b+c sono pari, allora è pari la loro somma a+c+2b, dunque, sottraendo il pari 2b, anche a+c è pari. Si conclude che R è un esempio di relazione di equivalenza definita nell’insieme N dei numeri naturali.
Classi di equivalenza
Sia definita nell’insieme A una relazione di equivalenza R.
Fissato un aA, possiamo costruire il sottoinsieme di A formato dagli elementi x che sono associati ad a nella relazione R :
{ xA / aRx } (notiamo che è equivalente scrivere aRx oppure xRa per la proprietà simmetrica) Tale sottoinsieme contiene almeno l’elemento a stesso (per la proprietà riflessiva) dunque non è vuoto: esso è chiamato classe di equivalenza rappresentata dall’elemento a ed è indicato con il simbolo [a]:
[a] = { xA / aRx }
(l’elemento a è detto rappresentante della classe [a] ).
Esempio: nella relazione R dell’esempio precedente, costruiamo alcune classi di equivalenza fissando vari rappresentanti:
[3] = { xN / 3Rx } = { xN / 3+x è pari }= {1,3,5,7,….} = {naturali dispari}
[8] = { xN / 8Rx } = { xN / 8+x è pari }= {2,4,6,8,….} = {naturali pari}
[5] = { xN / 5Rx } = { xN / 5+x è pari }= {1,3,5,7,….} = {naturali dispari}
In generale, ricordando che la somma di 2 naturali è pari solo quando sono entrambi pari o dispari, si ottiene che per un generico rappresentante aN la classe da esso rappresentata coincide con l’insieme dei dispari (se a è dispari) o con l’insieme dei pari (se a è pari): dunque in questo esempio le classi di equivalenza distinte sono in tutto 2 sottoinsiemi di N: {naturali dispari}, {naturali pari}.
