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Comitato Nazionale Energia Nucleare
UN PROGRAMMA PER CALCOLARE LE COSTANTI DI RACCORDO
DIFFUSIONE -TRASPORTO
G. BITELLI, L. TORELLI
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Comitato Nazionale Energia Nucleare
UN PROGRAMMA PER CALCOLARE LE COSTANTI DI RACCORDO
DIFFUSIONE -TRASPORTO
G. 3ITELLI, L. TORELLI
RT/FIMA(72)6
Testo pervenuto il 19 aprile 1972
Stampato in formato UNI presso il Comitato Nazionale per l'Energia Nucleare, Divisione Affari Internazionali e Studi Economici, Ufficio Edizioni Scientifiche. Laboratorio Tecno&rafico
Roma. Viale Regina Margherita 125 (tei. 8528)
3
Fcrmulazione
Data la geometria descritta in Fig.l, dati i flussi (Pn,m, le sorgenti S(k) per ogni quadrante dei punti n,m e date le costanti macroscopiche delle regioni 5 e 6, il programma
FORCA (scritto in doppia precisione) calcola le costanti del- le regioni 1, 2, 3 e >»,
La formulazione è ricavata applicando la discretizzazione a cinque punti dell'equazione di diffusione (Digital Computers and Nuclear Reactor Calculation, Ward C. Sangren Pag.138) e ritenendo incognite le costanti delle regioni 1, 2, 3 e **.
a) Scrivendo la formulazione per i punti (2,2), (3,2), (*»,2), (2,3), (»*,3), (2,«f), (3,»0, (*f,U) si ottengono otto equazio- ni nelle otto incognite (calcolate dal programma): 51
1al,
£- a2, £-a3' ^ a H *
Dl *
D2 * °3
e D«*
( s e z i o n i d'
u r t o d ias- sorbimento e coefficienti di diffusione delle regioni 1, 2, 3 e t ) .
Il sistema ott-mut' è il seguente:
/C0F(1,1) 2 L
a l• C O F ( l , 2 ) Z
a 2• ...• C0F(l,«f)51
alf* C0F(1,5)D
1*
|C0F(1,6)D
2+ • C0F(1,8)D
H• CF
X= 0 C0F(2,1) F • COF(2,2)
Z„
al a2
COF(8,l)I
a l*COF(8,2)Z
a 2 +...>COF(8,H)I
a^COF(b,5)D
1*
.••••COF(8,8)D • CF s o
4
ove i coefficienti COF sono tutti nulli a eccezione dei seguenti:
C0F(1,1) = C0(1,3) C0F(6,»O = CO(6,2) C0F(U,5) = C0(U,6) C0F(2,1) = C0(2,«t) COF(7,3) = CO(7,2) C0F(U,8) = C0(U,7) C0F(2,5) = CO(2,8) C0F(7,«O = C0(7,l) C0FC5,3) = C0(5,U>
COF(3,2) = C0(3,H) COF(8,3) = C0(8,l) COF(5,7) = CO(5,8) C0F(U,1) = C0(»»,2) C0F(1,5) = C0(l,7) COF(6,8) = C0(6,6) C0F(H,4) = C0(H,3) COF(2,2) = CO(2,3) C0F(7,7) = C0(7,6) C0F(5,2) = C0(5,l) COF(2,6) = CO(2,7) C0F(7,8) = C0(7,5) C0F(5,6) = C0(5,5) COF(3,6) = CO(3,8) C0F(8,7) = C0(8,5)
La matrice dei coefficienti CO è fornita dalle equazioni (2), in- serendo in esse per ogni valore di K i valori n,m,x , y , x e y riportati in tabella 1.
I
C0(K,1) = -07 x y n,mCOCK,2) = -<f x+ y- n,m
C0(K,3) = -CP x* y+
» n,m J
CO(K,«*) = -0? x" y*
^ n,m J
C0(K,5) = 2 |-«P„
L n,mJL^'+^-D+f
vy- x¥J »n,m-ly- 'n-l,ny-!— +<f i ^"
C0(K,7) = 2[-<f
n)ra(i:
+^ ; ) + < f
n,
n + 1f ^ ^
+ 1,
m^
+J C0(K,8) . 2 U
a,Jf* £)*%„* f^%-!,
m£ ]
5
CF. =
noi sistema il) i coefficienti CF sono dati da:
C F1 = Cl 4^ a 5 LC 0 ( 1 , 1 )*C 0 ( 1'2 H C 0 ( 1«, | )] *D5 (?°<^5)+C0(l,6)*C0(l,8j
C F2 = C * Ia 5 [C O ( 2*1 ) + C O ( 2>2 )]+ D 5h c 2 , 5 )+C O ( 2 , 6 ) |
3 = C3 + ^a5[C0(:'1)+C0(3'2)+C0(3»3>]+D5[C0(3,5)+C0(3,6)+C0(3,7)]
C FH = CH * ^ a 5# C 0 ( l* '1 ) + ^a6*C 0 ( U j l*) + D5'C 0 U'5>+ D 6-C0(4,8) CF = C5 + £a 5 CO(5,2)*j;a6-CO(5,3)*D5.CO(5,6)+D6*CO(5,7)
C F6 S C6 * ^ a 6 [C O ( 6'1 ) + C O ( 6'3 ) + C O ( 6^ > l +D6[cO(6,5)+CO(6,7)+CO(6,8)]
C F7 = C7 * ^a6[C O ( 7'3 ) + C O ( 7'l f )]+ D 6[c o^,7)+CO(7,8)]
C F8 = C8 * 5 a 6[C O ( 8'2>+CO(8,3)+CO(8,^ ^ [c0(8 ,6)*C0(8 ,7HC0(8 ,8)]
ove per le quantità C ^ i debbono usare i valori ottenuti dalle equazioni (3)
(
Cl '
Sl
XlV
S2
X2 W
2V
S7V
2C2 = S3X2yi * V 3yi+ S1 0X3 y 2+ S9X2y2
C3 = S5x3 yXt S6 \yl+ S1 2 %y2t Sl lX3y2
CH * S1 3Xly2 *Sl *X2y2+ S2 0X2y3+ S1 9Xly3
C5 " S1 7X3y2 *S1 8 %y2+ S2 MXHy3+ S2 3X3y3
C = S X y *S x y + S x y » S x y 6 25 X 3 26 2 3 32 2 H 31 1 *
C7 " S2 7X2y3 *S2 8X3y3 *S3 HX3 \+ S3 3X2yH
^
C8 "
S2 9
X3 V
S3 o \ V
S3 6 \ V
S3 S
X3
y. ,
6
b) Supponendo che i coefficienti di diffusione delle regioni 1, 2, 3 e 4 siano tutti uguali a D, (letto in input), scri-
b
vendo la formulazione per i punti (3,2), (2,3), (4,3) e (3,4) si ottengono 4 equazioni nelle incognite L , , i- -»
£_ e L le quali vengono fornite dal programma, ad a"
e) Supponendo che le sezioni di assorbimento delle regioni 1, 2, 3 e 4 siano tutte uguali a X . (letto in input) scriven-
dO
do la formulazione nei punti (3,2), (2,3), (4,3) e (3,4) si ottengono 4 equazioni nelle incognite D , D , D e D .
d) Supponendo la geometria simmetrica con asse di simmetria passante per i punti (3,2) e (3,4) il programma fornisce le costanti D £ = ^ Dj = D„ L^ = \ 2 e Ia 3 = 1^.
e) Supponendo la geometria simmetrica con asse di simmetria passante per i punti (3,2) e (3,4) e supponendo note le co- stanti D, = D = D- = D = D , il programma calcola le se- zioni di assorbimento 2_, = 2 _ « e 2_ , = Z. , .
al ^ a 2 a3 a4
7
Risultati numerici
E» stato eseguita tramite il codice EXTERMINATOR un calcolo in diffusione con la geometria descritta in Fig.2 e le costan- ti macroscopiche riportate in Tab.2.
Il programma FORCA, tramite i flussi e le sorgenti fornite dal codice EXTERMINATOR, ha fornito per le regioni 1, 5, 6 e 7 i risultati riportati in Tab.3.
T A B E L L A 1
K
1
2
3
4
5
6
7
8
n
2
3
4
2
4
2
3
4
m
2
2
2
3
3
4
4
4
X
xi
X2
X3
Xl
X3
Xl
X2
X3
y
yi
yi
yi
y2
y2
y3
y3
y3
+
X
X2
X3
\
X2
%
X2
X3
\
y*
y2
y2
y2
y3
y3
yH
yU
yH
9
T A B E L L A 2
Regione
1 2 3 4 5 6 7
Coeff.diffus.
(cm) 1.5 2.5963 3.70872 3.9838
it
it
tt
Sigma assorbim.
(cm"1) .15
.105895 .078911 .068609
ti /
it
it
sigma fissione (cm"1) 0
0
.032865 0
ti
it
tt
T A B E L L A 3
tegione 4 5 6 7
Coeff.diffusione (cm) caso
a .07097 .06670 .06794 .06621
caso b
-
-
-
caso c 3.384 3.979
casosacc d(H) e(*) 3.962 3.962 3.9793.985 3.9823.985
-
--
-
-
Sigma assorbimento (cm-1) caso
a 4.007 3.966 4.0Ì4 4.015
caso b .06383 .06273 .06938 .07178
caso c
-
-
-
-
caso d(*) .06624 .06624 .06849 .06849
caso
e(#t)
.06456 .06466 .07077 .07077
I casi d) ed e) sono applicati impropriamante^poiché non vi è asse di simmetria. Tuttavia i risultati sono buoni.
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