DEFINIZIONE DI SPETTRO DI RISPOSTA

1 DEFINIZIONE DI SPETTRO DI RISPOSTA

L’analisi completa della risposta di una struttura ad un sisma descritto mediante accelerogrammi risulta estremamente onerosa e richiede in ogni caso l’impiego di algoritmi implementati su elaboratori elettronici. In relazione a necessità progettuali, inoltre, l’aleatorietà delle caratteristiche dei terremoti che in futuro possono colpire il sito da edificare renderebbe poco significativa l’analisi rispetto ad un solo accelerogramma, anche se si disponesse dell’accelerogramma registrato in epoche passate nello stesso sito od a poca distanza da esso. Una verifica di sicurezza richiederebbe dunque l’analisi della struttura soggetta a diversi accelerogrammi con caratteristiche corrispondenti a quelle dei possibili futuri terremoti (la norma tecnica NTC2018 impone l’uso di una famiglia di sette storie accelerometriche per ogni direzione del moto – §7.3.5). Il problema di progetto e di verifica della sicurezza viene ulteriormente complicato dalla possibilità che la struttura superi il limite di elasticità e si comporti come un sistema non lineare durante i terremoti più violenti; sarebbe dunque necessario operare mediante analisi dinamiche non lineari, con conseguente aggravio dell’onere computazionale e delle competenze richieste al progettista. Per ovviare a tutti i problemi finora esposti è di grande aiuto l’uso di quelli che nel seguito verranno definiti come spettri di risposta elastici, spettri di risposta non lineari e spettri di progetto.

- Definizione di spettro di risposta elastico

La conoscenza della risposta della struttura istante per istante è superflua ai fini progettuali, interessando in realtà solamente il valore massimo e le relative sollecitazioni. Una rappresentazione che fornisse direttamente tale valore per oscillatori con qualsiasi periodo e qualsiasi smorzamento risolverebbe in maniera semplice e diretta il problema in situazioni di comportamento elastico lineare.

Essa si presenta sotto forma di grafico ed è denominata “spettro di risposta elastico”. Si ottiene da un dato accelerogramma calcolando, una volta per tutte, la risposta massima di oscillatori semplici con periodo proprio T compreso nel campo di variazione delle strutture reali (0÷4 s) e riportandole in un diagramma che abbia in ascisse il periodo T, o la frequenza f=1/T, ed in ordinata tale valore massimo. La risposta è generalmente calcolata in termini di spostamento per diversi valori dello smorzamento scelti anch’essi entro il campo di variazione delle strutture reali (0÷20%). Si ottengono così gli spettri di risposta degli spostamenti relativi, indicati nel seguito con il simbolo SD.

Moltiplicando gli spostamenti spettrali per ω e per ω² si ottengono rispettivamente gli spettri delle “pseudo-velocità”, SV=ωSD, e delle “pseudo-accelerazioni”, SA=ω²SD, che forniscono con buona approssimazione i valori massimi della risposta dell’oscillatore in termini di velocità relative ed accelerazioni assolute.

Il perché del prefisso “pseudo” alle definizioni di spettri di velocità relativa e di accelerazione assoluta è comprensibile dalle considerazioni di seguito esposte.

2

Come visto nella parte dedicata all’analisi dinamica nel dominio del tempo di oscillatori semplici soggetti a forzanti qualsiasi, nella soluzione generale il contributo più importante alla risposta è quello legato alla sua fase di risposta a regime (ovvero alla soluzione particolare dell’equazione non omogenea rappresentativa del moto del sistema), definita mediante l’integrale di Duhamel. Nel caso di azione esterna di tipo sismico, lo stesso integrale assume la seguente espressione:

∫

−ω

= ^{t −ξω t−τ} _{d g}

d

p t e t a d

x

0

) 1 ( 1

) ( ) ( 1 sin

)

( ¹ (1)

Derivando la (1) due volte si ottiene:

) ( )

( ) ( cos )

(

0

) 1

1( t a d x t

e t

v_p =−

∫

) ( )

( 2 ) ( )

(t a t v t x t

a_p =− _g − ξω_{1 p} −ω₁² _p (3)

Dalla (3) può essere esplicitata come segue l’espressione dell’accelerazione assoluta che più interessa ai fini della definizione dell’azione inerziale agente sulla struttura in caso di sisma:

)]

( )

( 2

[ ) ( ) ( )

(t a t a t v t x t

a_t = _p + _g =− ξω_{1 p} +ω₁² _p (4)

Relativamente ai sistemi debolmente smorzati (ovvero caratterizzati da percentuali ξ non superiori al 28%, come verrà ribadito dalla limitazione della NTC2008 e della NTC2018 sul parametro η− § 3.2.3.2.1) sono possibili le seguenti approssimazioni e generalizzazioni (ω1=ω):

2 1 2

1 =ω 1−ξ =ω 1−ξ

ω_d

0 ) ( )

( =ξω ≅

ξω₁x_p t x_p t 0 ) ( )

( =ξω ≅

ξω₁v_p t v_p t

Essendo inoltre circa uguali l’energia totale del sistema negli istanti di massimo spostamento e massima velocità si può ammettere:

SD=max|xp(t)| (5)

SV=max|vp(t)|≅ωSD (6)

3

SA=max|at(t)|≅ω²SD (7)

Le approssimazioni sono migliori in termini di accelerazione di quanto non risulti per le velocità.

La definizione di pseudo-accelerazione è molto utile nella valutazione delle sollecitazioni di una struttura poiché, moltiplicata per la massa, fornisce direttamente l’aliquota della forza d’inerzia che viene equilibrata dalla forza di richiamo elastico; infatti si ha:

mSA=mω²SD=m(k/m)SD=kSD (8)

a) b)

Figura 1 – a) Registrazione del Terremoto di Tolmezzo del 6/5/1976; b) spettro di risposta relativo ad uno smorzamento del 5% ottenuto dallo stesso segnale sismico reale

In Figura 2 viene mostrato l’andamento qualitativo dei tre spettri di risposta desumibili da uno stesso accelerogramma. Dai grafici in essa riportati si evince come i massimi amplificativi si verifichino in corrispondenza di intervalli di periodi adiacenti, mai coincidenti.

Tenendo conto del fatto che, ai fini progettuali, ciò che interessa maggiormente sono proprio i valori massimi assunti dalle tre grandezze SA, SV ed SD, risulta di particolare interesse la rappresentazione spettrale originalmente proposta da Newmark ed Hall su di una carta tetralogaritmica. Secondo tale forma di rappresentazione i tre spettri devono essere tracciati su una carta con quattro scale logaritmiche: in ascissa logω (od equivalentemente logT), sull’ordinata verticale logSV e nelle ordinate a -45° e + 45°

logSD e LogSA (viceversa nel caso di LogT in ascisse).

Tutti i punti di questa carta godono della proprietà:

logSV=LogSD + logω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

T [s]

A/Ag spettro di risposta elastico

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

t [s]

ag [m/s2 ]

Registrazione di Tolmezzo

4 logSV=LogSA - logω

a) b) c)

Figura 2 – Spettro di risposta di pseudo-accelerazione (a), di pseudo-velocità (b) e di spostamento (c)

Attraverso semplici regole, la carta tetralogaritmica permette inoltre la costruzione di spettri approssimati dei terremoti di tipo “far fault”, ovvero con contenuto spettrale in frequenza più ampio. Il tracciamento di tali curve avviene secondo i seguenti passi procedurali:

1. si tracciano le linee ortogonali ai rispettivi assi di riferimento dei valori di picco ag

dell’accelerazione (Maximum Ground Acceleration), vg della velocità (Maximum Ground Velocity), dg dello spostamento (Maximum Ground Displacement).

Queste linee s’intersecano nei punti PAV e PVD le cui ascisse corrispondono ai periodi TAV e TVD di seguito definiti:

TAV=2πvg/ag

TVD=2πdg/vg

2. Il passaggio da questi diagrammi alle curve spettrali di risposta di oscillatori con date percentuali di smorzamento avviene sulla base della conoscenza di fattori amplificativi massimi in termini di accelerazione αa, di velocità αv, e di spostamento αd. In Tabella 1 vengono riportati i valori di tali coefficienti ottenuti da Newmark ed Hall per una serie di terremoti registrati sul territorio americano.

Si tracciano quindi sulla stessa carta tetralogaritmica linee parallele alle rette ag = cost., vg = cost., dg = cost., con ordinate rispettivamente pari ad αaag, αvvg, ed αddg.

3. Essendo noto che per T molto piccolo (strutture molto rigide) le accelerazioni, e per T molto grande (strutture molto deformabili) gli spostamenti dell’oscillatore semplice tendono a coincidere con le corrispondenti grandezze del moto del terreno, potrà essere conclusivamente tracciata la curva inviluppo dei massimi valori spettrali caratterizzanti il sistema di oscillatori dinamici esaminati.

Partendo dalla parte delle accelerazioni e proseguendo verso gli spostamenti Sa

T

Sv

T SD

T

5

essa risulterà quindi successivamente tangente alle rette ag, αaag, αvvg, αddg e dg

(Figura 3).

Tabella 1 – Dati amplificativi desunti da Newmark e Hall per i terremoti americani (in grassetto i dati relativi ad uno smorzamento del 5%)

ξ (%) α

α

α

0 6,4 4,0 2,5

0,5 5,8 3,6 2,2

1 5,2 3,2 2,0

2 4,3 2,8 1,8

5 2,6 1,9 1,4

7 1,9 1,5 1,2

10 1,5 1,3 1,0

Figura 3 – Rappresentazione spettrale sulla carta tetralogaritmica

Un’altra rappresentazione delle curve spettrali di risposta è quella che vede riportati in un unico diagramma i valori di SA, in ordinate, ed SD in ascisse. Il grafico che si ottiene viene denominato “spettro di risposta ADRS” (dall’acronimo di Acceleration- Displacement Response Spectrum). In esso le rette che escono dall’origine ed incontrano la curva in un punto di coordinate [SD(Ti), SA(Ti)], corrispondenti ad un dato periodo Ti della struttura, hanno pendenza definita dalla relazione:

ωi2=SA(Ti)/SD(Ti)

ovvero dal quadrato della pulsazione naturale dell’oscillatore (Figura 4). Dalla lettura di questo diagramma è possibile stabilire se, in campo elastico, una struttura risulti

logSV

0 0 logT

logag

logSA logSD

logvg

logdg

-45°

+45°

logαaag

logαvvg

logαddg

TAV TVD

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verificata nei confronti dell’azione sismica. Se ne consideri, ad esempio, una con periodo T1 tale da poter assorbire un’azione di taglio alla base al massimo pari a V1,max

corrispondente ad un’accelerazione a1,max e ad uno spostamento d1,max. Se il punto è interno al dominio “obiettivo” si può affermare che la struttura non soddisfa i requisiti di prestazione richiesti, cosa che invece si ha per la struttura due, caratterizzata da un periodo T2 e da una coppia di coordinate a2,max e d2,max, esterne al dominio.

Figura 4 – Rappresentazione ADRS dello spettro elastico

- Definizione di spettro di risposta non lineare

Durante i terremoti più violenti è inevitabile che si verifichino plasticizzazioni, rotture e grandi deformazioni nelle strutture che ne determinano un comportamento marcatamente non lineare.

Passando da sistemi di oscillatori elastici ad altri con capacità di plasticizzazione, gli spettri di risposta cambiano il valore delle loro ordinate in ragione di un coefficiente di riduzione β che dipende dal ciclo d’isteresi dei singoli oscillatori. Per avere un’idea di quale possa essere la correlazione fra lo stesso parametro e la duttilità dell’oscillatore, è possibile esaminare il caso semplice in cui i sistemi abbiano un comportamento elastico perfettamente plastico. Sebbene tale legame possa apparire alquanto diverso da quelli riscontrabili nella realtà proprio in relazione alle modalità di ciclazione dei più comuni materiali da costruzione, i risultati di numerosi studi condotti su oscillatori elastoplastici dello stesso tipo ne hanno dimostrato l’estendibilità a situazioni più concrete. In particolare, dall’analisi qualitativa e quantitativa delle differenze di comportamento con corrispondenti oscillatori elastici, è stato possibile ricavare il metodo semplice e diretto di seguito illustrato, per la valutazione di uno spettro di risposta elastoplastico a duttilità assegnata a partire dal corrispondente spettro elastico. Tale metodo può essere introdotto premettendo che le principali differenze di comportamento tra un oscillatore elastico e quello elastoplastico con uguale periodo iniziale (stessa massa e rigidezza) ed uguale smorzamento viscoso, risiedono nella riduzione della rigidezza durante l’azione ciclica e nella presenza dello smorzamento per isteresi.

T1

T2

SA

SD

TB TC

TD

[a2,max , d2,max] [a1,max , d1,max]

Curva di domanda Punti di capacità

7

Nel campo dei periodi alti (T>TVD) la risposta è insensibile a tali effetti per cui gli spettri lineari ed elastoplastici praticamente coincidono.

Nel campo TAV<T<TVD l’aumento del periodo per abbattimento della rigidezza equivalente tende a produrre risposte più ampie, ma ciò viene contrastato dalla dissipazione di energia per isteresi; ne risulta che gli spostamenti elastoplastici sono mediamente uguali o leggermente inferiori ai corrispondenti elastici.

Infine, per T<TAV l’effetto di riduzione della rigidezza è decisivo e gli spostamenti elastoplastici eccedono quelli elastici mentre le accelerazioni tendono ad avere gli stessi valori al tendere di T a zero.

Coerentemente con tali osservazioni e con i risultati statistici di appositi studi, è possibile allora costruire lo spettro di risposta elastoplastico, per una duttilità richiesta µ, come indicato in Figura 5. Esso si ottiene dal corrispondente spettro elastico ad ugual smorzamento viscoso, dividendo l’ordinata dello spettro elastico per un coefficiente β(µ,T) definito dalle seguenti relazioni:

TAV

T per

T =µ >

µ

β( , ) (9a)

) (

) ,

(µ T = 2µ−1 perS_A =S_Amax T <T_AV

β (9b)

0 1

) ,

(µ = →

β T per T (9c)

e da valori interpolanti nelle zone in cui β non risulti direttamente stimato dalle (9). In particolare, la (9a) si basa sull’ipotesi di uguali spostamenti, da cui deriva l’uguaglianza tra la duttilità richiesta µ ed il rapporto tra la forza elastica e quella di plasticizzazione dell’oscillatore elastoplastico, come indicato in Figura 6a. In riferimento alla simbologia in Figura risulta infatti quanto segue:

AV y

E y E AP AE AP

AE perT T

x x F F mS

mS S

S = = = =µ >

=

β (10)

La (9b) si basa invece sull’uguaglianza tra l’energia accumulata dai due oscillatori, come mostrato in Figura 6b. In questo caso si ha:

) )(

2( ) 1

( _{max E E y E y}

y x x F F x x

F − = − − (11)

Dividendo entrambi i membri per Fyxy si ottiene:

) )(

2( ) 1 ( ^max

y y y E y y y E y

E y y y

x x x x F F F F x

x x x F

F − = − − (12)

8 Ricordando che

y E y E AP

AE x

x F F S

S = =

=

β e che

xy

x_max

=

µ , la (12) diventa:

) 1 )(

1 2( ) 1

(µ−β = β− β− (13)

che, risolta rispetto a β, porta alla (9b).

Figura 5 – Costruzione dello spettro di risposta elastoplastico a partire da quello elastico

a) b)

Figura 6 – Condizione di uguaglianza degli spostamenti (a) e delle energie sottese (b) T

Sa

SAE

SAP

TAV

β=µ β=(2µ−1)^1/2

x Fy

xE=xmax

xy

FE

Fy

x xE

xy

FE

xmax

9 - Definizione di spettro di progetto

La risposta di una struttura schematizzabile come un oscillatore elementare dipende, come già osservato, dalle caratteristiche del terremoto per intensità, contenuto in frequenza, durata, e dalle proprietà della struttura in campo lineare (periodo proprio e smorzamento) e non lineare (forma del ciclo d’isteresi). Tali caratteristiche sono in generale di difficile, se non impossibile, determinazione e previsione; una progettazione ideale dovrebbe pertanto procedere attraverso una sperimentazione statistico- numerica nella quale le stesse vengano variate intorno ai loro valori più probabili.

Questa procedura risulta tuttavia impraticabile anche adottando il metodo dello spettro di risposta.

La soluzione a questo problema è stata individuata nel cosiddetto “spettro di progetto”, la cui determinazione avviene attraverso quattro principali fasi.

Nella prima viene definito uno spettro elastico di riferimento; si calcola la distribuzione statistica delle ordinate degli spettri relativi ad una casistica di terremoti registrati nel passato, normalizzati ad un’accelerazione unitaria del terreno, che abbiano caratteristiche per quanto possibile simili a quelle attese nel sito in esame, e si congiungono le ordinate con uguali probabilità di superamento. Si può ad esempio operare sui valori medi o su preassegnati frattili.

Nella seconda fase si riduce lo spettro elastico ad uno spettro non lineare mediante regole analoghe a quelle viste nel paragrafo precedente. Per questa fase occorre conoscere approssimativamente i valori ammissibili della duttilità richiesta, con le conseguenti implicazioni progettuali (scelta del sistema resistente, dettagli costruttivi, etc.).

Nella terza fase si effettuano ulteriori aggiustamenti che tengono conto, fra l’altro, dell’incertezza nella valutazione del periodo proprio della struttura e del suo comportamento in campo non lineare in relazione alla durata del sisma stesso. In particolare, si fa riferimento all’accumulo delle deformazioni plastiche di cui gli spettri non danno informazioni. A questo riguardo si osserva infatti come, durante un evento tellurico, le strutture a periodo più basso siano sottoposte ad un numero di cicli superiore rispetto ad altre più deformabili, essendo tale numero approssimativamente uguale al rapporto tra la durata del sisma ed il periodo medio della struttura. E’ perciò opportuno contenere la duttilità massima richiesta ai sistemi con periodo più basso, così da contenere le deformazioni plastiche accumulate entro valori confrontabili con quelli relativi a sistemi con periodi più alti.

Nella quarta fase si definisce infine il fattore di scala, ossia l’intensità di riferimento in termini di accelerazione massima del terreno, in relazione alla sismicità del sito, alla duttilità di progetto stabilita, allo stato limite di prestazione nei confronti del quale si operi.

E’ evidente che lo spettro così ottenuto non descrive un particolare terremoto, ma specifica le resistenze ottimali delle strutture modellate, sulla base delle quali deve essere eseguito il progetto delle membrature.

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Il processo di definizione dello spettro di progetto trova la sua naturale conclusione e rappresentazione sintetica nelle formulazioni contenute nel testo della NTC2018 (§ 3.2 Azione sismica). In esso è riportato quanto segue:

“Le azioni sismiche di progetto, in base alle quali valutare il rispetto dei diversi stati limite considerati, si definiscono a partire dalla “pericolosità sismica di base” del sito di costruzione. Essa costituisce l’elemento di conoscenza primario per la determinazione delle azioni sismiche.

La pericolosità sismica è definita in termini di accelerazione orizzontale massima attesa ag in condizioni di campo libero su sito di riferimento rigido con superficie topografica orizzontale (di categoria A quale definita al §3.2.2), nonché di ordinate dello spettro di risposta elastico in accelerazione ad essa corrispondente Se(T), con riferimento a prefissate probabilità di eccedenza P_VR, come definito nel §3.2.1, nel periodo di riferimento VR, come definito nel §2.4. In alternativa è ammesso l’uso di accelerogrammi, purché correttamente commisurati alla pericolosità sismica del sito.

Ai fini della presente normativa le forme spettrali sono definite, per ciascuna delle probabilità di superamento nel periodo di riferimento P_VR, a partire dai valori dei seguenti parametri su sito di riferimento orizzontale:

ag accelerazione orizzontale massima al sito;

Fo valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale;

C*

T periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione orizzontale.

In allegato alla presente norma, per tutti i siti considerati, sono forniti i valori di ag, Fo e

C*

T necessari per la determinazione delle azioni sismiche.”

Il testo di norma prevede una particolarizzazione degli spettri in relazione al fatto che la componente del sisma sia orizzontale o verticale e che la risposta strutturale sia elastica od anelastica. Formalmente, le varie formulazioni hanno la seguente comune differenziazione in quattro tratti così definiti:

)]

1 1 ( [

) ( 0

o o

B B

g e

B T

T F

T F T S a T S T

T −

+η η

=

<

≤ (14a)

) o

(T a S F S

T T

T_B ≤ < _{C e} = _g η (14b)

T F T S a T S T T

T_C ≤ ≤ _{D e}( )= _g η _o ^C (14c)

o 2

)

( T

T F T S a T S T

T_D ≤ _e = _g η ^{C D} (14d)

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da cui deriva una rappresentazione grafica come quella mostrata in Figura 7.

A parte i singoli valori numerici da attribuire ai vari parametri, passando dalla componente orizzontale a quella verticale, ciò che cambia nelle (14) è la costante Fo, che viene sostituita da un’altra costante Fv, la cui definizione dipende comunque dallo stesso dato Fo.

Rispetto alle medesime equazioni, nel caso di spettro anelastico il parametro η, fattore che altera lo spettro elastico per coefficienti di smorzamento viscosi convenzionali ξ diversi dal 5% mediante la relazione:

55 , 510 ≥0

ξ

= + η

viene sostituito con il rapporto 1/q, essendo “q” il fattore di struttura. Si osserva come q svolga lo stesso ruolo esercitato dal fattore di riduzione β di passaggio dallo spettro elastico a quello anelastico di cui nel precedente paragrafo è stato definito il valore nel caso di oscillatori con comportamento elastico perfettamente plastico.

Generalmente definito come (§ 7.3.1 NTC 2018):

KR

q

q= ₀ [7.3.1]

dove: q0 rappresenta il valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto αu/α1 tra l’intensità dell’azione sismica per la quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile e quella per cui il primo elemento strutturale raggiunge la plasticizzazione a flessione; KR è un fattore riduttivo che dipende dalle caratteristiche di regolarità in altezza della costruzione, con valore pari ad 1 per costruzioni regolari in altezza ed a 0,8 per costruzioni non regolari; nei paragrafi successivi del testo di norma dedicati alle differenti tipologie strutturali, in acciaio, in cemento armato, etc., il fattore di struttura trova una sua particolare ridefinizione in ragione delle specificità delle singole tipologie considerate e delle condizioni di regolarità dell’edificio analizzato.

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Figura 7 – Curva rappresentativa di uno spettro elastico di progetto conforme alle formulazioni della NTC2018

T [s]

Se

Suolo A

TB TC TD