Risposta E Definizione di limite

TEST DI MATEMATICA – SIMULAZIONE – SOLUZIONI DEFINIZIONE DI LIMITE

1 Risposta D

Per x0 deve esistere un intorno destro, mentre la f (x) deve tendere ad l solo dalla parte superiore 2 Risposta D

Definizione di limite con risultato +∞

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Risposta E

Definizione di limite

Definizione di limite

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Risposta A

Osserviamo che l’insieme può scriversi nella forma 𝐴 = {

𝑛²

, 𝑛 ∈ 𝑁}. Quindi al crescere di n gli elementi dell’insieme si accumulano su 0

6 Risposta B Definizione 7 Risposta C

Definizione 8

Risposta D

Una funzione e la sua inversa hanno ilo grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

Quindi la iii è sicuramente vera, di conseguenza sono vere anche le altre due

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Risposta D

Dal grafico si evince la risposta corretta

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Risposta B

Per definizione una funzione

 Ha asintoto orizzontale 𝑦 = 𝑘 ⇔ lim

𝑥→±∞𝑓(𝑥) = 𝑘

 Ha asintoto verticale 𝑥 = 𝑘 ⇔ lim

𝑥→𝑘^±𝑓(𝑥) = ±∞

Tenendo quindi conto che il grafico della funzione 𝑓(𝑥) = ¹

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥è il seguente

Abbiamo che tra le risposte proposte l’unica corretta è la B

QUESITI

A) Un possibile grafico (non l’unico) è:

B) Per il lim

𝑥→0⁺𝑓(𝑙𝑛𝑥) possiamo procedere sia per via analitica che grafica.

Per via analitica, posto 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥, si ha che per 𝑥 → 0⁺, 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥 → −∞, quindi:

𝑥→0lim⁺𝑓(𝑙𝑛𝑥) = lim

𝑡→−∞𝑓(𝑡) = (𝑝𝑒𝑟 (𝑖))1 Per via grafica, tracciamo il grafico di 𝑦 = ln (𝑓(𝑥)):

Per il limite lim

𝑥→0⁺ln (𝑓(𝑥)), posto 𝑡 = 𝑓(𝑥), si ha che per 𝑥 → 0⁺, 𝑡 = 𝑓(𝑥) → 1, quindi:

𝑥→0lim⁺ln (𝑓(𝑥)) = lim

𝑡→1𝑙𝑛𝑡 = 0

C) Osserviamo che con i soli dati a disposizione possiamo ipotizzare solo l’invertibilità locale della funzione. Inoltre posto 𝑡 = 𝑓⁻¹(𝑥) e quindi 𝑥 = 𝑓(𝑡), si ha che per 𝑥 → +∞, 𝑓(𝑡) = 𝑥 → +∞, quindi per (iv) 𝑡 = 𝑓⁻¹(𝑥) → 1.

Invece per 𝑥 → 0⁺, 𝑓(𝑡) = 𝑥 → 0⁺, quindi per (iv) 𝑡 = 𝑓⁻¹(𝑥) → +∞.