FACOLTA' DI FARMACIA Corso di Laurea in Scienza del Farmaco
23 Gennaio 2012
Tema A Cognome e Nome………
1) Calcolare il dominio delle tre funzioni:
1 2
4 1 ) 3
( f
x x x
f2(x) 2x2 ln(2x1)
) ln(sin )
(
f3 x x
e determinare il segno delle f1 ed f3. Svolgimento.
La f1(x) è una frazione e perciò il suo denominatore dovrà essere diverso da 0. Il denominatore inoltre essendo un radicale di ordine pari dovrà avere argomento positivo.
Dovrà quindi essere 4 – x2 0. Questo avviene se x assume valori interni
all'intervallo delle due radici x1 = -2 e x2 = +2. Pertanto il dominio della funzione f1(x) sarà: D = {x/ -2 < x < +2}.
Poiché il il radicale del denominatore è sempre positivo, il segno della funzione sarà dato da quello del numeratore, che si annulla per x = 1/3, è positivo per tutti i valori di x > 1/3, negativo altrove.
La funzione f2(x) è la somma di due funzioni 2x2 e ln(2x1) quindi il suo campo di definizione sarà l'intersezione di quelli delle due funzioni.
La prima è una radice quadrata e sarà definita quando il radicando è positivo o nullo:
2 - x2 0 e quindi x dovrà essere interno all'intervallo [ 2, 2]. La seconda è un logaritmo che è definito per valori positivi dell'argomento: 2x – 1>0 e quindi x > 1/2.
L'intersezione dei due insiemi sarà quindi data dall'intervallo (1/2, 2].
In simboli avremo: D = {x/ 1/2 < x < =+2}.
La funzione f3(x) è il logaritmo di una funzione trigonometrica che assume valori compresi tre -1 e +1. Essendo il logaritmo definito per valori positivi dell'argomento, avremo che sen x deve essere positivo e quindi x deve essere compreso nell'intervallo (0, π), (esclusi gli estremi) a meno di multipli di 2 π. In simboli:
D ={x/ 0 ±k 2π < x < π ± k 2π} dove k = 1, 2,…..
2) Calcolare i limiti:
2 2
0
cos 2 1 lim
) x
x a
x
x b x
x
) 2 1 limln(
)
0
2 1
7 lim3
) 2
2
x x c x
x
1 2
7 lim3
2
x x x
x
con il metodo più appropriato.
Svolgimento.
Per a) osserviamo che per la relazione fondamentale della trigonometria il
numeratore può venire scritto sen2x/2 mentre il denominatore può essere moltiplicato e diviso per 4. Si ottiene così:
2 2
0 )
(2 4 lim 2
x sen x
x
dove, ricordando che se x tende a 0 anche x/2 tende a 0, si ha che
il limite proposto è uguale a 1/4 poiché, come noto, ) 1 lim
0
x x sen
x .
Per il limite b) si può eseguire una sostituzione di variabile : 2x = 1/z da cui z = 1/2x per la quale se x tende a 0 z tende all'infinito. Si ottiene così:
2 ln 2 1) 1 ln(
2 lim 1) 1 ln(
2
lim
e
z
z z z
z z
I limiti c) riguardano due funzioni razionali nelle quali la prima ha grado del numeratore uguale a quello del denominatore e perciò il limite è uguale al rapporto tra i
coefficienti di grado massimo. Nel secondo caso il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore e quindi la funzione tende all'infinito. Essendo il
denominatore di primo grado, si potrebbe distingueren il limite per x tendente a + infinito per il quale la funzione tenderebbe +infinito, dal limite per x tendente a – infinito dove la funzione tenderebbe a – infinito.
3) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
a) f6(x) = 2x3-3 sin(x3) b) f7(x) = x
x 3
) 2 1 ln(
c) f8(x) = x2 2x e il determinante hessiano della d) f9(x, y) = 2x4 - 3x2y2 + y3
Svolgimento.
La f6(x) è la somma di due funzioni di cui la seconda è una funzione composta. Di conseguenza:
f’6(x) = 6 x2 - 3ˑ3x2cos(x3).
La f7(x) è il quoziente di due funzioni e quindi:
f’7(x) =
) 2 1 ( 3
) 2 1 ln(
2 )
2 1 ( 9
)]
2 1 ln(
2 [ 3 )
3 (
3 ) 2 1 ln(
2 3 1
2
2 2
2 x x
x x
x x
x x
x
x x x
La f8(x) = x2 2x è il prodotto di una potenza per un esponenziale, quindi : f’8(x) = 2x 2x + x22x ln(2)
La f9(x, y) = 2x4 - 3x2y2 + y3 è una funzione di due variabili. Per calcolare il determinante hessiano dobbiamo pertanto calcolare le derivate parziali prime e seconde :
x f
= 8x3 - 6xy2 ; y f
= -6x2y +3y2; 2
2
x f
= 24x2 -6y2; 2
2
y f
= -6x2 +6y
y x
f
2
= -12xy ; x y
f
2
=-12xy.
Il determinante hessiano pertanto sarà:
yy xy
yx xx
f f
f
f =( 24x2 -6y2)( -6x2 +6y) – (-12xy)2
4) Studiare la funzione:
4 ) 2
(
f 2
3
8
x
x x f8(x) determinando i punti di massimo di minimo, il punto di flesso e l’equazione della retta tangente nel punto x = 1.
Svolgimento.
a) La f8(x) è una funzione razionale e quindi definita per tutti i valori reali di x tranne quelli che annullano il denominatore: x2 – 4= 0 e quindi:
x1=-2 e x2 = +2.
b) La f8(x) passa per l’origine ed è simmetrica di ordine dispari poiché f8(x) = f8(-x).
c) La funzione sarà positiva quando numeratore e denominatore sono concordi e negativa quando sono discordi.
Il numeratore è positivo per x > 0, si annulla per x = 0 ed è negativo per x < 0.
Il denominatore è positivo per valori di x esterni all’intervallo delle due radici, negativo altrove.
La f8(x) quindi sarà negativa per -∞<x<-2, positiva per -2<x<0, negativa per 0<x<2 e positiva per x>2
d) La funzione ha due asintoti verticali: x=-2 e x=2. Per x tendente a -2 da sinistra essa tende a - ∞, per x tendente a -2 d destra essa tende a +∞.
Analogamente per x tendente a +2.
e) Per x tendente a ±∞ la funzione tende a ±∞ e perciò potrebbe avere un asintoto obliquo. Il coefficiente angolare:
m = x
x f
x
) lim (
= 2 mentre l’intercetta sarà: q = lim[f(x) mx]
x
=0
e quindi una retta passante per l’origine con coefficiente angolare 2.
f) Per trovare massimi, minimi e punti di flesso della funzione calcoliamo la derivata prima:
f’(x) = 2 2
2 2 2
2
3 2
2
) 4 (
) 12 ( 2 )
4 (
2 2 ) 4 ( 6
x x x x
x x x
x
Questa si annulla per x=0 e per x12 = ±3,4
Studiando il segno della derivata prima possiamo dedurre che essa è positiva per valori di x compresi tra -∞ e x1(funzione crescente), negativa tra x1 e x2 (funzione decrescente) e nuovamente positiva per x>x2 (funzione crescente).
Pertanto avremo in x1 un punto di massimo e in x2 un punto di minimo.
Nell’origine avremo un punto di flesso che può essere verificato calcolando la derivata seconda.
f"(x) = 2 3
2 4
2
2 2
2 2 2 3
) 4 (
) 12 ( 16 )
4 (
2 ) 4 ( 2 ) 12 ( 2 ) 4 )(
48 8
(
x x x x
x x
x x x
x x
Possiamo ora tracciare il grafico della funzione.
5) Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
a)
2x43x62x21dx b)
3x45dx c)
xe2xdxd)
12 3x5dxdescrivendo i metodi impiegati.
Svolgimento.
a) Scomponiamo l’integrale nella somma di tre termini x dx
x dx dx x
x dx x x
x
x
2 4362 21 32 24 36 22 312 otteniamo così tre integrali elementari:. 3 cos 2 1 5 3 2 1
3 2 1
3
2 5
2
4 t
x x dx x
dx x dx
x
b) Applichiamo il metodo di sostituzione ponendo z = 3x +5 da cui dx = 3dx E quindi:
c x
c z z
dx dz
x
3 4 5 34 34ln( ) 34ln3 5c) Per calcolare l'integrale indefinito della:
xe2xdxapplichiamo la regola di integrazione per parti con f fattore finito e g' fattore differenziale:
f = x; f' =1; g'= e2x; g= e2x 2
1 per cui
c x
e c e e
x dx e e x dx
xe x x
x x x x
2 21 2 2 21 2 21 2 12 2 ( 1)d) Per calcolare l'integrale definito della:
12 3x5dxDeterminiamo per prima la primitiva della funzione integranda mediante il metodo di sostituzione: z = 3x – 5 e dz = 3dx
c z x
c dz z dx
x
2 33
) 5 3 9 ( 2 2 3 3 1 3
5 1
3 = F(x)
Calcolando la funzione in x = 2 e in x = 1 otteniamo:
F(2) = 11
9 ) 22 5 6 9 (
2 3
e F(1) = 8
9 ) 16 5 3 9 (
2 3
per cui:
12 3x5dx= F(2) – F(1).6) Un farmaco immunizza il 75% dei conigli da una certa malattia. Si esamina un nuovo campione di 80 conigli. Se X è il numero di animali che saranno
immunizzati, quali saranno la speranza matematica e la varianza di X.
Descrivere la distribuzione di probabilità impiegata e le variabili aleatorie ad essa associate.
Svolgimento.
Sia X la variabile aleatoria della distribuzione binomiale che definisce la
probabilità di ottenere k successi su n prove di un certo esperimento. Se le n prove sono equiprobabili (p) ed indipendenti: n = 80 e p = 0,75 e q=1- p = 0,25.
Per la variabile aleatoria X nella distribuzione binomiale abbiamo speranza matematica:
E(x) = np = 80*0,75 e varianza
2 npq 80*0,75*0,25.La distribuzione di probabilità binomiale determina la probabilità di ottenere k successi su n prove equiprobabili ed indipendenti: n k pkqn k
k
p n
,
Le variabili aleatorie collegate con questa distribuzione di probabilità sono la frequenza assoluta di successo k (=0,1,….n) e la frequenza relativa: k/n.
