2 x > x + 3 51 41 31 21 11 1

(1)

1

Risolvere la seguente disequazione:

12 x−4<7

Per il primo principio di equivalenza: 12 x<7+4 ovvero 12 x<11 ; Per il secondo principio di equivalenza: x<11

12

11

9 2 x>1

Per il secondo principio di equivalenza: x>2 9

21

5 x−7>6 x

Per il primo principio di equivalenza: 5 x−6 x>7 ovvero −x>7 ; per il secondo principio di equivalenza: x<−7

31

3 x+2<1+2 x

Per il primo principio di equivalenza: 3 x−2 x<1−2 ovvero x<−1

41

9> x+1

Per il primo principio di equivalenza: 9−1>x ovvero 8>x ovvero x<8

51

2 x> x+3

Per il primo principio di equivalenza: 2 x−x>3 ovvero x>3

(2)

2

x (x−2)>(x−1)²+2

Eseguendo i calcoli indicati: _x²_{−2 x> x}²_{−2 x+1+2} ovvero x²−2 x> x²−2 x+3 ;

applicando il primo principio di equivalenza: 0>3 , ma tale disuguaglianza è falsa per qualunque valore si possa attribuire alla x, dunque la disequazione è impossibile.

12

(x−3)( x+3)−1

2(3−2 x)+1−7(3 2+1

7 x²)<0

Eseguendo i calcoli indicati: x²−9−3

2+x+1−21

2 −x²<0 ovvero −20+ x<0 ; applicando il primo principio di equivalenza: x<20 .

22

(x−3)²+3(3 x+4)>( x+6)(x+3)+12

Eseguendo i calcoli indicati: _x²−6 x+9+9 x+12> x²+9 x+18+12 ovvero 3 x+21>9 x+30 applicando il primo principio di equivalenza: 3 x−9 x >30−21 ovvero −6 x>9 ;

applicando il secondo principio di equivalenza x<−9

6 ovvero x<−3 2 .

32

x+4

12 −x+2 8 + 5

24(x−1)>x−1

4 −x−6 24 Riduciamo le frazioni al minimo comun denominatore 24:

2 x+8−3 x−6+5 x−5

24 >6 x−6−x+6

24 ovvero 4 x−3

24 >5 x

24 ovvero 4 x−3>5 x ; per il primo principio di equivalenza: 4 x−5 x>3 ovvero −x>3 ;

per il secondo principio di equivalenza: x<−3

42

x²+3(x+1)>(x+3)²−3 (x+2)

Eseguendo i calcoli indicati: x²+3 x+3> x²+6 x+9−3 x−6 ovvero x²+3 x+3> x²+3 x+3 ; applicando il primo principio di equivalenza: 0>0 cheè una disuguaglianza falsa per qualsiasi valore che possa assumere la x, dunque la disequazione è impossibile.

(3)

52

3 x−2

5 +5 x−6

15 +x−3 10 −x−3

30 ≥0 Riconduciamo tutto al minimo comun denominatore 30:

18 x−12+10 x−12+3 x−9−x +3

30 ≥0 ovvero 30 x−30

30 ≥0 ovvero x−1≥0 ; applicando il primo principio di equivalenza: x≥1 .

3

x (x−2)(3−2 x )(5 x+3)<0

Studiamo separatamente il segno di ciascun fattore. Il primo fattore è ovvio, per quanto riguarda gli altri:

x−2>0 se x>2 ;

3−2 x>0 se 3>2 x se 3

2>x ovvero x<3 2 ; 5 x+3>0 se 5 x>−3 se x>−3

5 .

A questo punto studiamo la situazione con un grafico o con una tabella:

x - - - 0 + + + + +

x−2 - - - 0 +

3−2 x + + + + + 0 - - -

5 x+3 - 0 + + + + + + +

x<−3

5 x=−3

5 −3

5<x<0 x=0 0<x < 3

2 x=3

2 3

2<x<2 x=2 x>2

Le soluzioni della disequazione le troviamo nelle zone in cui un numero dispari di fattori ha segno

“meno”, ovvero per quei valori di x per cui i fattori negativi sono soltanto uno oppure tre. Tali zone sono evidenziate in giallo nella tabella sopra.

Dunque le soluzioni richieste sono x<−3

5∨0< x<3

2∨x>2

(4)

13

x (x−4)(6−2 x )(2 x +8)<0

x−4>0 se x>4 ;

6−2 x>0 se 6>2 x se 6

2>x ovvero x<3 ; 2 x+8>0 se 2 x>−8 se x>−8

2 ovvero x>−4 .

x - - - 0 + + + + +

x−4 - - - 0 +

6−2 x + + + + + 0 - - -

2 x+8 - 0 + + + + + + +

x<−4 x=−4 −4< x<0 x=0 0<x <3 x=3 3< x< 4 x=4 x>4

Dunque le soluzioni richieste sono x<−4∨0< x<3∨x>4

23

x (x−5)(2−2 x)(4 x+1)<0

x−5>0 se x>5 ;

2−2 x >0 se 2>2 x se 2

4 .

x - - - 0 + + + + +

x−5 - - - 0 +

2−2 x + + + + + 0 - - -

4 x+1 - 0 + + + + + + +

x<−1

4 x=−1

4 −1

4<x<0 x=0 0<x <1 x=1 1< x<5 x=5 x>5

4∨0< x<1∨x>5

(5)

33

x (x−10)(6−3 x )(2 x +4)<0

x−10>0 se x>10 ; 6−3 x>0 se 6>3 x se 6

2 ovvero x>−2 .

x - - - 0 + + + + +

x−10 - - - 0 +

6−3 x + + + + + 0 - - -

2 x+4 - 0 + + + + + + +

x<−2 x=−2 −2< x<0 x=0 0<x <2 x=2 2<x<10 x=10 x>10

Dunque le soluzioni richieste sono x<−2∨0<x<2∨x>10

43

x (x−1)(6−2 x)(4 x+8)<0

x−1>0 se x>1 ;

6−2 x>0 se 6>2 x se 6

4 ovvero x>−2 .

x - - - 0 + + + + +

x−1 - - - 0 + + +

6−2 x + + + + + + + 0 -

4 x+8 - 0 + + + + + + +

x<−2 x=−2 −2< x<0 x=0 0<x <1 x=1 1< x<3 x=3 x>3

Dunque le soluzioni richieste sono x<−2∨0<x<1∨ x>3

(6)

53

x (x−7)(3−2 x)(4 x+5)<0

x−7>0 se x>7 ;

3−2 x>0 se 3>2 x se 3

2>x ovvero x<3 2 ; 4 x+5>0 se 4 x>−5 se x>−5

4 .

x - - - 0 + + + + +

x−7 - - - 0 +

3−2 x + + + + + 0 - - -

4 x+5 - 0 + + + + + + +

x<−5

4 x=−5

4 −5

4<x<0 x=0 0<x <3

2 x=3

2 3

2<x<7 x=7 x>7

4∨0< x<3

2∨x>7

4

x²−5 x+6

2−x ≥0

Condizioni di esistenza: 2−x≠0 ovvero x≠2 .

Si osserva facilmente che il polinomio di secondo grado x²−5 x +6 ha come radici x=2∨x=3 . Il segno di tale polinomio sarà positivo per valori esterni alle radici e negativo per valori interni. Dunque possiamo studiare il segno della frazione algebrica con questa tabella:

N + 0 - 0 +

D + 0 - - -

x<2 x=2 2<x <3 x=3 x>3

In rosa è stata evidenziata la zona che non rispetta le condizioni di esistenza, in giallo le zone dove la disuguaglianza è verificata, ovvero dove numeratore e denominatore sono concordi, oppure dove il numeratore è nullo.

Dunque le soluzioni richieste sono: x<2∨2< x≤3

(7)

14

(5−x)³ 3−x <0

Condizioni di esistenza: 3−x≠0 ovvero x≠3 .

Il numeratore è la potenza di terzo grado di un binomio, quindi il segno è lo stesso della base, ovvero positivo per 5−x>0 ovvero x<5 .

Possiamo schematizzare la situazione in questa tabella:

N + + + 0 -

D + 0 - - -

x<3 x=3 3< x<5 x=5 x>5

In rosa è stata evidenziata la zona che non rispetta le condizioni di esistenza, in giallo le zone dove la disuguaglianza è verificata, ovvero dove numeratore e denominatore sono discordi.

Dunque le soluzioni richieste sono: 3< x<5

24

2 x

6 x²+x−5≤0

Condizioni di esistenza: 6 x²+x−5≠0 . Occorre determinare le radici del polinomio di secondo grado (che comunque ci serviranno anche per dopo).

x=−1±

√

¹²^{−4(6)(−5)}

2(6) =−1±

√

¹²¹

12 =−1±11

12 Quindi x=5

6∨x=−1 sono le radici del polinomio.

Le condizioni di esistenza da stabilire sono di conseguenza: x≠5

6∧x≠−1 .

Siamo anche già in grado di dire che il denominatore è positivo per valori esterni alle radici e negativo per valori interni alle radici.

Lo studio del segno del numeratore è ovvio.

Possiamo schematizzare la situazione in questa tabella:

N - - - 0 + + +

D + 0 - - - 0 +

x<−1 x=−1 −1<x <0 x=0 0<x <5

6 x=5

6 x>5 6

In rosa è stata evidenziata la zona che non rispetta le condizioni di esistenza, in giallo le zone dove la disuguaglianza è verificata, ovvero dove numeratore e denominatore sono discordi, o dove il numeratore è nullo.

Dunque le soluzioni richieste sono: x<−1∨0≤x<5 6

(8)

34

x

2+6 3−x <0

Si osservi che il numeratore è positivo per qualunque valore di x, essendo la somma di un quadrato con un numero positivo. Dunque il segno della frazione dipende esclusivamente dal denominatore.

Le soluzioni richieste sono: x>3

44

x

2+x 2−x ≤0

Si osserva molto facilmente che il numeratore si annulla per x=0∨x=−1 e che avrà segno positivo per valori esterni all'intervallo delle radici. Possiamo schematizzare la situazione in questa tabella:

N + 0 - 0 + + +

D + + + + + 0 -

x<−1 x=−1 −1<x <0 x=0 0<x <2 x=2 x>2

In rosa è stata evidenziata la zona che non rispetta le condizioni di esistenza, in giallo le zone dove la disuguaglianza è verificata, ovvero dove numeratore e denominatore sono discordi o il numeratore è nullo.

Dunque le soluzioni richieste sono: −1≤x≤0∨x>2

(9)

54

x

2−4 x >0

Condizioni di esistenza: x≠0 .

Si osserva facilmente che il numeratore si annulla per x=−2∨x=2 ed è positivo per valori esterni all'intervallo delle radici.Possiamo schematizzare la situazione in questa tabella:

N + 0 - - - 0 +

D - - - 0 + + +

x<−2 x=−2 −2< x<0 x=0 0<x <2 x=2 x>2

In rosa è stata evidenziata la zona che non rispetta le condizioni di esistenza, in giallo le zone dove la disuguaglianza è verificata, ovvero dove numeratore e denominatore sono concordi.

Dunque le soluzioni richieste sono: −2≤x≤0∨x >2

5

Risolvere la seguente disequazione rispetto ad x, discutendo il parametro a:

a x−1<2( x−2 a )

Iniziamo risolvendo rispetto ad x.

Per il primo principio di equivalenza: a x−2 x<−4 a+1 ovvero (a−2)x <1−4 a .

Osserviamo adesso che nel caso a=2 la disequazione diventa 0<−7 , che è una disuguaglianza falsa per ogni valore di x, dunque la disequazione è impossibile.

Studiando nel caso a>2 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza per ottenere:

x<1−4 a a−2 .

Anche nel caso a<2 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza, ma ricordandoci di invertire il simbolo di disuguaglianza, visto che stiamo trasportando un numero negativo:

x>1−4 a a−2

Ricapitolando: con a=2 la disequazione è impossibile;

con a>2 le soluzioni sono x<1−4 a a−2 con a<2 le soluzioni sono x>1−4 a

a−2

(10)

15

(2 x+a)(a−1)≤2 a²−2

Iniziamo svolgendo i calcoli indicati: 2 a x−2 x+a²−a≤2 a²−2 ovvero 2(a−1) x+a²−a≤2 a²−2

Per il primo principio di equivalenza: 2(a−1) x≤a²+a−2 .

Osserviamo che nel caso a=1 la disequazione diventa 0≤0 che risulta verificata per qualsiasi valore di x.

Nel caso a>1 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza: x≤a²+a−2 2(a−1) .

Anche nel caso a<1 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza, ma invertendo il simbolo di disuguaglianza: x≥a²+a−2

2(a−1)

Ricapitolando: con a=1 le soluzioni sono tutti i numeri reali;

con a>1 le soluzioni sono x≤a²+a−2 2(a−1) ; con a<1 le soluzioni sono x≥a²+a−2

2(a−1) .

25

(a−1) x−4(a²−a)≤0

Per il primo principio di equivalenza possiamo subito scrivere: (a−1) x≤4(a²−a) . Nel caso a=1 la disequazione diventa: 0≤0 che è verificata per ogni x reale.

Nel caso a>1 posso applicare il secondo principio di equivalenza: x≤4(a²−a)

a−1 che poi si può anche semplificare: x≤4 a .

Nel caso a<1 si può pure applicare il secondo principio di equivalenza ma ricordando di cambiare il verso della disuguaglianza: x≥4(a²−a)

a−1 e anche qui si può semplificare: x≥4 a . Ricapitolando: con a=1 le soluzioni sono tutti i numeri reali;

con a>1 le soluzioni sono le x≤4 a ; con a<1 le soluzioni sono le x≥4 a .

(11)

35

x (3 a+2 x)+2a (x−1)<2 x²

Iniziamo eseguendo i calcoli indicati: 3 a x+2 x²+2 a x−2 a<2 x² .

Sommando i monomi simili e applicando il primo principio di equivalenza: 5 a x <2 a .

Adesso osserviamo che nel caso a=0 la disuguaglianza diventa 0<0 che è falsa per qualunque valore di x.

Ponendo invece a>0 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e ottenere le soluzioni x<2

5 .

Anche nel caso a<0 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza, ma ricordandoci di invertire il simbolo di disuguaglianza: x>2

5 . Ricapitolando: con a=0 non esistono soluzioni;

con a>0 le soluzioni sono x<2 5 ; con a<0 le soluzioni sono x>2

5

45

a (x+1)−a (a−x)>0

Iniziamo svolgendo i calcoli indicati: a x+a−a²+a x>0 ;

sommando i monomi simili e applicando il primo principio di equivalenza: 2 a x>a²−a

Adesso osserviamo che nel caso a=0 la disuguaglianza diventa 0>0 che è falsa per qualunque valore di x.

Ponendo invece a>0 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e ottenere le soluzioni x<a²−a

2 a che possiamo anche semplificare: x<a−1 2

Anche nel caso a<0 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza, ma ricordandoci di invertire il simbolo di disuguaglianza: . x> a²−a

2 a che pure possiamo semplificare: x>a−1 2 Ricapitolando: con a=0 non esistono soluzioni;

con a>0 le soluzioni sono x<a−1

2 ;

con a<0 le soluzioni sono x>a−1

2 .

(12)

55

a (x−2)>a(a+3)

Iniziamo svolgendo i calcoli indicati: a x−2 a>a²+3 a .

Sommando i monomi simili e applicando il secondo principio di equivalenza: a x>a²+5 a

Adesso osserviamo che nel caso a=0 la disuguaglianza diventa 0>0 che è falsa per qualunque valore di x.

Ponendo invece a>0 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e ottenere le soluzioni x<a²+5 a

a che possiamo anche semplificare: x<a+5

Anche nel caso a<0 possiamo applicare il secondo principio di equivalenza, ma ricordandoci di invertire il simbolo di disuguaglianza: x> a²+5 a

a che pure possiamo semplificare: x>a+5 . Ricapitolando: con a=0 non esistono soluzioni;

con a>0 le soluzioni sono x<a+5 ; con a<0 le soluzioni sono x>a+5 .