1. I Tassi di interesse. Stefano Di Colli

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1. I Tassi di interesse

Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Metodi Statistici per il Credito e la Finanza

Stefano Di Colli

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Strumenti (in generale)

• Un titolo rappresenta un diritto sui redditi futuri dell’emittente o sulle sue attività

• Un obbligazione è un titolo di debito che

contiene la promessa di pagamenti periodici per contiene la promessa di pagamenti periodici per un determinato lasso di tempo

• Un azione ordinaria è uno strumento finanziario che rappresenta una quota di proprietà in una società

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Mercati (in generale)

• Mercati monetari (emissioni di importo unitario elevato, rischio di insolvenza ridotto, scadenza

massimo a 1 anno)

• Mercati obbligazionari (obbligazioni pubbliche

• Mercati obbligazionari (obbligazioni pubbliche e corporate)

• Mercati azionari (regolamentati e OTC)

• Mercati valutari

• Mercati dei derivati (regolamentati e OTC)

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Tassi (in generale)

• Il tasso di interesse rappresenta il costo del credito o la sua remunerazione corrisposta a fronte del prestito di fondi

• Il tasso di cambio rappresenta il prezzo di una valuta rispetto a un’altra

valuta rispetto a un’altra

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Capitalizzazione e attualizzazione

• Gli strumenti di debito danno origine a dei flussi di pagamento in favore degli investitori.

• Domanda: vale più un euro pagato oggi o un euro pagato fra sei mesi?

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Capitalizzazione e attualizzazione

• Investo un euro oggi

• L’euro investito oggi è detto capitale

• L’euro più gli interessi che ricevo in futuro è detto montante

detto montante

• Domanda: da cosa dipende l’entità del montante?

• Risposta: l’entità del montante dipende dal tasso di interesse, dal regime di capitalizzazione e dall’

orizzonte temporale dell’investimento.

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Capitalizzazione e attualizzazione

• Domanda: qual è il montante di 100€ investiti per un anno al 15%?

• Domanda: qual è il valore attuale di 100€ tra un anno dato che il tasso di interesse corrente è 15%?

dato che il tasso di interesse corrente è 15%?

• Domanda: è più profittevole un investimento di 100€

al 15% per quattro mesi o per un anno?

• Domanda: è più profittevole un investimento di 100€

al 4% per tre mesi o al 15% per un anno?

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Capitalizzazione e attualizzazione

In generale:

Regime

Interesse semplice

Regime

Interesse composto Interesse semplice Interesse composto Capitalizzazione M=C[(1+i_k*k)] M=C(1+i_k)^k

Attualizzazione C=M/[(1+i_k*k)] C=M/(1+i_k)^k

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Capitalizzazione e attualizzazione

Tassi equivalenti:

• Domanda 1: Se un investimento di 100€ frutta 15€ in quattro mesi e un altro di 100€ ne frutta sempre 15€, ma in un anno, qual è più vantaggioso?

• Domanda 2: Come si misura quanto è preferibile il primo?

• Si considera il tasso equivalente a un anno del 15% quadrimestrale

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Capitalizzazione e attualizzazione

Regime

Interesse composto

[(1+15%*3)]=1+i_A 1+i_A=(1+15%)³ 1+i_A=[(1+15%*3)]

i =1+15%*3 – 1 = 45% 1+i_A=(1+15%)³

i =(1+15%)³ – 1 = 52,87%

Tassi equivalenti in generale:

Regime

Interesse composto 1+i_A=[(1+i_k*k)] 1+i_A=(1+i_k)^k

i_A=1+15%*3 – 1 = 45% i_A=(1+15%)³ – 1 = 52,87%

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Capitalizzazione e attualizzazione

Dovendo scegliere tra le quattro seguenti alternative,

1. Tasso di rendimento semestrale del 4,16%

2. Tasso di rendimento quadrimestrale del 2,70%

3. Tasso di rendimento trimestrale del 2,0%

4. Tasso di rendimento biennale del 15,0%

quale suggerireste?

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Capitalizzazione e attualizzazione

• Si consideri un semplice strumento di debito: un prestito

• Vengono prestati 100€ per un anno.

• Alla fine verrà restituito il capitale più 10€

aggiuntivi.

• Domanda: Qual’è il tasso di interesse?

10 0,10 10%

= 100 = = i

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Capitalizzazione e attualizzazione

• La somma dovuta alla scadenza sarà così determinata

• Se venisse rinnovato il prestito per un altro anno?

( )

100 × 1+ 0,1 = 110

• Se venisse rinnovato il prestito per un altro anno?

• E così via

( ) ( ) ( ) ( )²

110 × 1+ 0,1 = 100 × 1+ 0,1 × 1+ 0,1 = 100 × 1+ 0,1 = 121

( ) ( )³ ( )

121× 1 + 0,1 = 100 × 1+ 0,1 = 133; ... ; 100 × 1+ 0,1 ⁿ

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Valore attuale

• Se il tasso di interesse è il 10% é indifferente avere 100€ oggi o 110 tra una anno o 121 tra due anni o 133 tra tre anni

• Qual’è il valore attuale di 121€ tra due anni?

121 10 + 11 + 100

= =

• Il calcolo del valore attuale di somme che saranno ricevute in futuro è detto sconto. In generale

( )² ( )²

121 10 11 100 100

1 0,1 1 0,1

+ +

= =

+ +

( )

1 1

=

∑ +

n

t n t

V A F C

i

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Valore attuale

• Domanda: qual’è il valore attuale di 250 € che verranno pagati tra due anni al tasso di interesse del 15%?

• Riprendendo la formula generale

( )

1 1

=

= ∑ +

n

t n t

V A F C

i

• FC= flusso di cassa tra due anni=250€

• i = tasso di interesse annuo=0,15

• n = numero di anni = 2

( )

1 1

= +

t i

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Quattro strumenti del mercato del credito

1. Prestito semplice: il prestatore fornisce al mutuatario un certo ammontare di fondi,

rimborsati alla scadenza con l’aggiunta di un pagamento supplementare.

pagamento supplementare.

• Esempio: Caso visto in precedenza

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Quattro strumenti del mercato del credito

2. Prestito a rata costante: il prestatore fornisce al mutuatario alcuni fondi che vengono rimborsati periodicamente con rate costanti nel tempo

(cosidetto ammortamento alla francese, comprensive di una quota interesse e una quota capitale.

una quota interesse e una quota capitale.

• Esempio: Si prendono in prestito 1000€ e si

pagano rate annuali di 126€ ogni anno per 25 anni

• É utilizzato nei prestiti rateali (finanziamenti per

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Quattro strumenti del mercato del credito

3. Obbligazione con cedola (coupon): assicura al

proprietario il pagamento di una cedola ogni anno fino alla data di scadenza, quando viene rimborsato il valore nominale (par value).

• Esempio: Un obbligazione del valore nominale di

• Esempio: Un obbligazione del valore nominale di 1000€ frutta una cedola annua di 100€ (10 anni). Alla scadenza prevede il rimborso di 1000€

• É identificata da tre informazioni: la società o l’ente che l’ha emessa, la data di scadenza, il tasso cedolare.

Esempi: Btp, obbligazioni statali e societarie

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Quattro strumenti del mercato del credito

4. Titolo a sconto (obbligazione senza cedola o zero- coupon bond): viene acquistato a un prezzo

inferiore al suo valore nominale. Alla scadenza viene rimborsato il valore nominale, senza alcun pagamento di interesse.

pagamento di interesse.

• Esempio: un titolo a sconto con valore nominale di 1000€ è acquistato per 900€. Dopo un anno al titolare viene rimborsato l’intero valore nominale.

• Sono titoli a sconto i Bot e i titoli senza cedola a

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Quattro strumenti del mercato del credito

• I quattro tipi di strumenti richiedono pagamenti in tempi diversi (alla scadenza per lo zcb, periodici per gli altri)

Domanda: Come si fa a determinare quale di questi quattro strumenti garantisce un rendimento maggiore?

• Per compararli bisogna ricorrere al valore attuale e al tasso di interesse effettivo

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Rendimento effettivo a scadenza

Definizione: Il rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity) rappresenta

quell’unico tasso che eguaglia la somma dei quell’unico tasso che eguaglia la somma dei

valori attuali dei flussi di cassa prodotti da uno strumento di debito al suo valore odierno

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Rendimento effettivo a scadenza

Nel caso di un prestito semplice

• Si prendono in prestito €100 in cambio della restituzione di €110 tra un anno

• Il rendimento a scadenza si calcola a partire da

• Nel caso dei prestiti semplici tasso di

interesse e rendimento a scadenza coincidono

(¹ ) ¹¹⁰

+ i = 100 i = 1,10 − =1 0,10 = 10%

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Rendimento effettivo a scadenza

Nel caso di un prestito a rata costante

• Si prendono in prestito €1000 in cambio della restituzione di rate annuali da €85,81 per 25 anni

• Il rendimento a scadenza si calcola a partire da

• Generalizzando

( )² ( )³ ( )²⁵

85, 81 85, 81 85, 81 85, 81

1000 ...

1 1 1 1

= + + + +

+ i + i + i + i

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Rendimento effettivo a scadenza

Nel caso di un obbligazione con cedola

• La logica è la stessa vista per il prestito a rata costante

• Il rendimento a scadenza si calcola

uguagliando il suo prezzo corrente alla somma uguagliando il suo prezzo corrente alla somma dei valori attuali

• Dove C è la cedola al posto della rata

( )² ( )³ ^... ( ) ¹( )

1 1 1 1 = 1

= + + + + =

+ + + + ∑ +

n

n t

t

C C C C C

P

i i i i i

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Rendimento effettivo a scadenza

Nel caso di un obbligazione con cedola si parla anche di tasso di rendimento a scadenza (TRES), sotto due ipotesi:

1. il mantenimento del titolo fino alla scadenza 2. reinvestimento dei flussi intermedi (le cedole) 2. reinvestimento dei flussi intermedi (le cedole)

a un tasso che è costante e pari al TRES

( )

1 1

=

= ∑ +

n

t t

P C

T R E S

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Rendimento effettivo a scadenza

Il caso specifico di una rendita perpetua: si tratta di un’obbligazione perpetua:

• La formula per il rendimento a scadenza diventa

= C P

• Dove C è la cedola

c =

c

P C

i

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Rendimento effettivo a scadenza

Nel caso di uno zero coupon bond

• Si consideri uno zcb che che corrisponde

dopo un anno un valore nominale di €1000 a fronte di un prezzo di acquisto di €900

• In generale

900 1000

= 1

+ i

1000 900

11,1%

900

= − =

i