T e o r e m i di u n i c i t ~ in d o m i n i nou l i m i t a t i e t e o r e m i di Liouville per le soluzioni dei problemi al coutoruo relativi
alle e q u a z i o n i e l l i t t i c h e .
Memoria (*) di CARLO MIRANDA (a ~apoli)
Sunto. - Come nell' introduzione.
Se si e e o e t t u a n o a l c u n i i n t e r e s s a n t i r i s u l t a t i r e c e n t e m e n t e s t a b i l i t i d a A. DOVGLIS e L. NIRE~CBERG in [2] e da S. AG~0N, A. DOU(~LIS e L. NIRr:~.
BERG in [1] p e r le s o l u z i o n i d e l l e e q u a z i o n i e l l i t t i c h e a c o e f f i c i e n t i c o s t a n t i c o n t e n e n t i s o l t a n t o le d e r i v a t e di o r d i n e m a s s i m o , n o n s e m b r a c h e le que- s t i o n i r i c h i a m a t e n e l titolo Siano s t a t e f i n o r a a p p r o f o n d i t e , a l m e n o p e r q u a n t o r i g u a r d a le e q u a z i o n i di o r d i n e s u p e r i o r e (1~. C r e d o p e r c i b c h e i r i s u l t a t i al r i g u a r d o , t h e e s p o r r e m o in q u e s t o l a v o r o , a b b i a n o q u a l c h e i n t e r e s s e , a n c h e se ~ m o l t o p r o b a b i l e c h e essi p o s s a n o e s s e r e n o t e v o l m e n t e m i g l i o r a t i . T a l l r i s u l t a t i sono c o n t e n u t i n e i nn. 4, 5, 6, 7 di q u e s t a m e m o r i a . Di essi a l c u n i (n. 4) c o n s i s t o n o in t e o r e m i di u u i c i t ~ p e r p r o b l e m i al c o n t o r n o , a s t r a t t a m e n t e f o r m u l a t i , in d o m i n i n o n l i m i t a t i ; a l t r i (n. 4) f o r n i s c o n o d e l l e c o n d i z i o n i s u f f i c i e n t i a f f i n c h ~ ]e f u n z i o n i di u n a c e r t a classe, d e f i n i t a in r e l a z i o n e a u n c e r t o s i s t e m a di e q u a z i o n i e l l i t t i c h e , si r i d u c a n o a p o l i n o m i r i s p e t t o a t u t t e o ad a l c u n e d e l l e v a r i a b i l i d a c u i d i p e n d o n o .
N e l n. 6 p a r t i e o l a r e a t t e n z i o n e ~ s t a t a p o s t a n e l l o s t u d i o d e l l e s o l u z i o n i dei s i s t e m i di e q u a z i o n i che, e s s e n d o d e f i n i t e .in t u t t o lo spazio, v e r i f i c a n o su di u n a f r o n t i e r a d e g e n e r e , c o s t i t u i t a d a l l ' i n t e r s e z i o n e di d u e o pifi iper- p i a n i , d e l l e c o n d i z i o n i di DIRICHLET dei ripe di q u e l l e c o n s i d e r a t e d a S. L.
SOBOLEV [11] p e r le f u n z i o n i p o l i a r m o n i c h e (5 t.
I r i s u l t a t i o t t e n u t i sono s t a t i poi u l t e r i o r m e n t e p r e c i s a t i nel n. 7 p e r le e q u a z i o n i a c o e f f i c i e n t i c o s t a n t i , c o n s p e c i a l e r i g u a r d o al c a s e di u n a sola e q u a z i o n e f o r t e m e n t e e l l i t t i c a e o n t e n e n t e s o l t a n t o le d e r i v a t e di o r d i n e
(*) Lavoro nell'ambito dell'attivit~ del Gruppo eli Ricerche n. 13 del Comitato per la Matematica del C. ~X. R. per l'anno 1991-62.
(l) Per la bibliografia relativa alle equazioni del secondo ordine rimandiamo a [9], Cap. VII n. 89, in proposito vedi anche [6].
(~) Per il case delle equazioni fortement~ ellittiehe generali vedi M. I. VISlK [13].
190 C. MIRANDA: Teoremi di unicitd, in domini non limitati, ccc.
massimo, caso nel quale b stato stabilito un teorema di unicith per i pro- blemi sopra indicati.
Nei nn. 1, 2, 3 sono indicate le notazioni adottate e sono stabiliti alcuni risultati preliminari. T r a questi sono p a r t i c o l a r m e n t e importanti, ai fini della p r e s e n t e memoria~ i ]emmi di crescenza del n. 3 che generalizzano un pre- c e d e n t e risultato di G. S ~ A ~ A C o ~ [i2].
1. Campi e funzioni. Consideriamo un S~ euclideo di cui indicheremo con x ~ (x~, o~, ..., x , ) il punto generieo, designando poi con I 0~ I la distanza di questo dall'origine.
Se ~----i~i~..., i,~ ~ un qualsiasi sistema di interi non negativi~ porremo anehe :
~1
- - i ~ - b i~ q - . . . - b i , ,= °
Sia ora ~2 un aperto non limitato, dotato della propriet/~ di cono, e la cui frontiera indicheremo con 8~2. P e r ogni aperto limitato ~ ) ~ ~2 diremo C('~)(~) la classe delle funzioni reali o complesse continue nella c h i u s u r a ~5 di D insieme con tutte le derivate di ordine k ~ m e C~'~)(~) la sottoclasse di C("){~) costituita dfille funzioni di C(~+)(~)) a supporto compatto in ~).
P e r ogni funzione g e C('O(~) p o r r e m o :
(1.1) I g Ik, ~ - - I D~g !:d~ ~, k ~ m,
(t.2) tigti ,e= [ !gt, ,e 1
I n d i c h e r e m o poi con H(~)(~)), H~'~)(@) i c o m p l e t a m e n t i di C~'~)(~)), C(om)(~) rispetto alla n o r m a (1.2) e per ogni funzione g e H('n)(~)) a d o p r e r e m o il simbolo D : g nel senso della derivazione d e b o l e ; in tal senso continueremo anche a valerei delle posizioni (1.1) e {1.2).
Se poi u - (u~, u.2,..., up) ~ un vettore, il cui modulo indieheremo con l u t . ehe h a per c o m p o n e n t i funzioni di classe H('~)(~)) diremo che tale vettore
di elasse H('~)(~) e p o r r e m o :
2
C. MIRA:NDA: Teoremi di unicit~t in gemini non lim~tati, ecc. 191
D i r e m o a n c o r a ehe u n v e t t o r e ~ di elasse U('~)(~2) se esso i~ di elasse H('~)(~)) p e r ogni a p e r t o l i m i t a t o ~ ) ~ O , . D i r e m o i n f i n e che u n v e t t o r e u e U('~)(~2~ ~ di classe U~")(~2) se esso ~ a s!~pporto c o m p a t t o in ~2.
F i s s a t o u n a volta p e r t u t t e u n p u n t o xo ~ (xo~,..., x0, ) di S~ i n d i c h i a m o con QR l'ipereubo a p e r t o [ x i - - x o ~ l -~ R e p o n i a m o
D i e i a m o poi l~R it t r a s f o r m a t o di QR n e l l ' o m o t e t i a x~--xo~-F Ry~ e p e r o g u i v e t t o r e u + H('~)(~2R) p o n i a m o u(x)--v(y). U n n o t e l e m m a d i G. E~RL:C~G e L, N:[RE~BEI¢~ (~) a s s i c u r a che ad ogni ~R Si possono a s s o c i a t e d u e n u m e r i
% e C tall che per s ~ s 0 e q u a l u n q u e sia il v e t t o r e v~H('~)(rR) r i e s e a p e r k < m :
lc
t v Ik,r . ~ ~ I v I.~, r . + Ca .~-k v i°, r . . (~.3)
0ra~ se
posto :
si h a d a l l a (1.3):
Se i n v e c e
m
i v o, r~ "< ~o~-k ! v Ira, rR ,
m - - k
, m , r R
si h a d a l l a (1.3) s c r i t t a p e r ~---s o :
/z
t v lk, rR ~-- (1 -{- C)~o m - ~ i v Io, r R .
Ad ogni R si pub d u n q a e a s s o c i a t e u n a c o s t a n t e K o tale d a r i s u l t a r e
(s) P e r il case ehe f R sia sctffieientemente r e g o l a r e u n a d i m o s t r a z i o n e si t r o v a in [10];
p e r il case g e n e r a l e qui c o n s i d e r a t e v e d i [3].
192 C. MIRANDA: Teoremi di unicitd in domini non limitati~ ecc.
p e r veH(~)(I?R} e p e r k < m :
~: m - - h :
[ vI~,pR ~ K o l v[,~,rRlv O, rR + l v l ° ' r R , (4)
N e s e g u e c h e p e r u ~ H(m)(QR) si ha,:
k m - - k
[ t
__ °~ i ~ R - k
(1.4) IUik,~)R < K , ) iU[m,~Rlu °'aR + lulo,~R
N e l c o r s o di q u e s t o l a v o r o noi s u p p o r r e m o c o s t a n t e m e n t e c h e l ' a p e r t o sia t a l e c h e l a (1.4) v a l g a u n i f o r m e m e n t e r i s p e t t o ad R, a l m e n o p e r R abba- s t a n z a g r a n d e , f a r e m o cio~ l ' i p o t e s i c h e :
i~) Esistono due h u m e r i positivi Ko ed Ro lali che ta (t.4 t sussiste per k < m e per tutti i veltori u e H(m)(QR), qualunque sia R ~ Ro.
F i s s a t o o r a u n i n t e r o s ~ n i n d i c h i a m o con g]'R e ~"R le p r o i e z i o n i di
~2R s u l l e varieth~ t i n e a r i S ' ed S " di S¢~ r i s p e t t i v a m e n t e di e q u a z i o n i x ~ + z - - x~+, - - - - x . - - 0 e ,x~ ~ x~ - - - - w~ - - 0 e p e r ogni ~ di Sn d i c i a m o
~c' e x " le sue proieziot~i su S ' ed S " e p o n i a m o : ~ - - { x ' , w"). P e r ogni X"E~2"R r e s t a a l t o r a d e t e r m i n a t o u n a p e r t o di S ' :
c o s t i t u i t o d a t u t t i e soli i p u n t i x ' e Q' R tall c h e (x',, x") e ~QR I n a l c u n e p a r t i . di q u e s t o | a v o r o f a r e m o su Q la s e g u e n t e ipotesi, r e l a t i v a a n c h e ad u n f i s s a t o v a l o r e di s:
i~ ~)) A d ogni indite k si possono associare due costanti Ko ed R o tali che per v{~'} e H(m+k)(CoR) si abbia:
I -
j~+k im+kI
(1.5) l v Ik,~ R <: K~ ~]v re+k, ~ R / v o,¢~R -~ R - k ] v lo,~oR "
{4) Tale formula si trova gih nell'appendiee della memoria [~] di E. GAGI.IARDO come caso particolare di un teorema molto pi~ generale; qui si ~ preferito dedurla pitk rapida.
mente dalla (1.3).
C. ~[IaA~DA: Teoremi di unicit~ in domini non timitati, ecc. 193
Considerato ora un vettore u ( x ) - - u ( x ' , x") i n d i c h i a m o con V~u il suo g r a d i e n t e di ordine k rispetto a x', cio~ il vettore che ha per componenti tutte le derivate di ordine k delle componenti di u fatte e s c l u s i v a m e n t e rispetto alle variabili x~, x ~ , . . . , xs e prese in u n ordine convenzionalmente stabilito. Applicando la ( 1 . 5 ) a d un vettore u~C(m+~)(~R), considerato come d i p e n d e n t e solo da ~', si ha per x " ~ Q~ e per R ~ R 0:
I ~Yku 5, +R ~ go I ~7,~+k o,-R u ~ o , w R + R -~ I u to,.. •
Di qui q u a d r a n d o e i n t e g r a n d o rispetto a ~'" su ~2~, valendosi della d i s u g u a g l i a n z a di ScHwAI~Z e tenendo conto t h e :
si ha f a c i l m e n t e :
f
i p~R
2
I V ' + k u t:, ~'RdX" <__' t V'k U t+~, aR
(1.6) - ,~,Q~I u Io, aR + R - k l u lo, aR •
I
Se ora i n d i c h i a m o con H~(~)) lo spazio delle funzioni g ottenuto per e o m p l e t a m e n t o di C(k)(~) rispetto a11a n o r m a
i ~ i2 I
e se conveniamo di dire che un vettore 6 di classe H~(6)) se tali sono tutte le sue componenti, si pub f a c i l m e n t e c o n c l u d e r e c h e :
LEMMA 1.1. Iqell'ipotesi i~ 8)) la (1.6) sussiste per R ~ R o e per tutti i vettori u ~ H'k(~R) tall che V'ku ~ HOn)(QR).
Si noti che il risultato sussiste anche per s - n, i n t e n d e n d o s i che sia allora H ~ - - H(k); in tal caso i n f a t t i la {1.6) si i d e n t i f i c a con la (1.5b la quale a sua volta non /~ altro t h e la {1.4} scritta con m + k al posto d i m .
U n ' a l t r a ipotesi r e l a t i v a a l l ' a p e r t o • che nel seguito dovremo talvolta
Annali di M a t e m a t i w 25
194 C. MIP~m)A: T e o r e m i di u n i c i t ~ in d o m l n i non Iimitati~ etc.
supporre verifieata ~ la s e g u e n t e :
i~) Ogni p o l i n o m i o u(x) che p e r u n ~ reale s o d d i s f i a l l a l i m i t a z i o n e
lim' R-(2~+') l u t2 < + c~, {~).
R ~ °~0R
n e c e s s a r i a m e n t e di g r a d o n o n s u p e r i o r e a d ~ s e ~ > O, ~ n u l l o se ~ ~ 0.
Si verifica f a e i l m e n t e che tale ipotesi ~, per esempio, soddisfatta se si h a :
lim" R - n mis ~R > 0.
Un'ipotesi dello stesso genere della i2) e che p u r e dovremo in certi casi utilizzare ~ la s e g u e n t e :
i~s) 1 0 g n i p o l i n o m i o u(xt helle v a r i a b i l i x~ , ... , x~, con coefficie~,ti f u n z i o n i di x~+~, .... x , che p e r u n a :> 0 s o d d i s f i a l l a l i m i t a z i o ~ e
lim' R - ~ s u p ] u ] < +
n e c e s s a r i a m e n t e di g r a d o n o n s u p e r i o r e a d :¢.
Tale ipotesi b per esempio verificata se ~ ~ tale che, quando (x,~..., x . ) ~ , anehe (kwh,..., kx,, x~+l .... , x,,~)~i~ q u a l u n q u e sia ~ :> 1 (oppure q u a l u n q u e sia )~ <: 1}.
Noti~mo a n c h e e h e :
L E ~ I A 1 . 2 . - L e ipotesi il), i~)), i~), i(~ ')) sono certo verificate se ~ - ~ S~
o p p u r e se ~ sg ottiene d a S,~ p r i v a n d o l o dei p u n l i di u n i p e r p i a n o o p p u r e dell' i n t e r s e z i o n e di d u e o pii~ i p e r p i a n i , essendo i n o l t r e x, o e ~ .
Invero nei easi indieati l ' a p e r t o £R 6 i n d i p e n d e n t e da R e cib basra per quanto r i g u a r d a il) e i(~s)). P e r quanto e o n c e r n e poi le i2) e i~ ~)) l ' a s s e r t o segue dalle osservazioni gih fatte a proposito di queste ip0tesi.
(~) Adopreremo i slmboli lim' e tim" al posto di lira e lim.
C. MIRANDA: Teoremi di unicitd in domini non limitat~, ecc. 195 A v v e r t i a m o inoltre t h e nel seguito porremo p e r semplicit/~:
e t h e adopreremo sovente la funzione ~R(osj definita dalla posiziene:
I
= f i ( R _!-o
per ~ ~ QR
per x e S . - - QR.
2. Problemi u n i f o r m e m e n t e VR-ellittici. Consideriamo una qualsiasi va- riet~ lineare V di UIm)(~) che soddisfi alla seguente condizione:
i~) Si ha V ~ U~)(~2) e se u e V si ha anche u ~ e e V.
Talvolta, detto ~ un qualsiasi n u m e r o reale positivo, faremo a u c h e l'ipo- tesi c h e :
i(~)) /~ identicamente hullo ogni vettore u e V le cui componenti siano polinomi di grado non superiore ad ~.
Nel seguito indicheremo poi con VR la varieth lineare di V c o s t i t u i t a da tutti i vettori u e V che h a n n o supporto contenuto in Qn + ~QR.
Cib premesso consideriamo u n sistema d i p equa.zioni a derivate parziali di ordine 2m nel vettore incognito u:
p 0 *,. ~ t
(2.t) ~ ( u ) = E E (--1)I~lD~(ml, j , ~ , , D ' u j ) = f i , i = ] , 2 , . . . , p ) j=, t ~ t , l'r]
e p r o p o n i a m o c i di s t u d i a r e per tale sistema il problema al contorno~consi.
stente nella ricerca delle soluzioni verificanti la condizione:
(2.2) u ~ V
e 1' ulteriore eoudizione all' in[inito : (2.3) lim' R - ¢ ~ + " ) i u f 2
R ~ ' o v o7 R
nella quale si indica
< -4-¢x 5
con :¢ un q u a l u n q u e numero reale soddisfacente alla
i96 C. MII~A~v~,: Teorcmi di utlicitd ,it~ domiJti uon Iimitati, eoe.
limitazione : (2.4)
Osserviamo
2 o : + n > 0 .
che la (2.3) ~ per esempio soddisfatta se, essendo a ~ 0, riesce:
lim' R - ~ sup l u ( x ) ] < c , o .
R ----~ ~ ¢ ~ 0 R
e quindi, in particolare, se si ha, sempre con a ~ 0:
s u p ] u(x) I = O( R.)
Supposto il vettore
f = (f,, f~,..., fp)
di elasse U(°)(~ t, porremo il problema in senso debole, r i c e r c h e r e m o cio~ un vettore u e V tale t h e per ogni R e p e r ogni Mtro vettore v e VR r i e s c a :B[u, ~] = ,=~{ f f,v,d~ ,
t)
avendo indicato con v il coniugato di v e avendo posto:
B[u, v] "- 1,~.,p o,~.,,, f mi, i,~,~D~v~D~uidx"
P~
In questo studio supporremo verificate le seguenti ipotesi:
i~) I coefficienti me ~,~,~ sono definiti quasi ovunque in P. e ivi m i s u r a . bill e limitati.
i~) II problema considerato ~ VRellittico u n i f o r m e m e n t e rispetto a R, esiste cio~ u n a costante
~) ~ V R :
c tale da risultare, q u a l u n q u e sia R e per ogni
¢~.5) tv I:,R ~ ~ I B[v, g]t.
Osserviamo anche che, c o n f o r m e m e n t e all'ipotesi i~), risulta finita la quantitk:
M h = s u p I m~, j, ~,.(~) 1 ,
i, ], x
C. MIRA.~DA: Teoremi di un c,ta in do~Jdni ~ton limitati, ecc. 197 Ci torneri~ i n o l t r e assai utile u n a d i s u g u a g l i a n z a che si ottiene dalla (2.5) p o n e n d o in essa v - U~R, essendo u u n a r b i t r a r i o v e t t o r e di V.
A q u e s t o proposito o s s e r v i a m o i n n a n z i t u t t o che, e s s e n d o :
si ha ft~eilmente:
D ~ R - - O(R2~..-l ~ I),
... h k
+ K ° ' Z 'm Z ~ l~lh+k i U
Ip,RR am"-h-kA-p+q,
h~ k p---o q ~ 0
p+q < h + k
dove K 6 u n a c o s t a n t e d i p e n d e n t e solo da m e d n.
P e r 0 < r < R si h a p a r i m e n t i :
( R ~ - r~)2~"Iu I:,~ <-~ ! u ~ I:,R
m m
+ K ' E E [ u Ip, R ] u lq, R R4*""-~"+p+q"
p = 0 q = o p + q < ~ m
Da tali f o r m u l e e dalla (2.5) si t r a e :
2 ~ c ] B [ u , " "
(2.6)
(R ~ - - r~) ~"" ! u ,,., ~ U~R] Id o v e :
o, .... m h k
+ ( c K - } - K ' ) E E E M'h+eR4""--~-e(RPlu[p, Rt(Rqlulq, R), h, k p: o q-~o
p+q<h+k
M'h f - - Mh per h < 2m
[
- - M ~ , -f- 1 per h -- 2m.0 r a , se vale l ' i p o t e s i it) si ha dalla (i.4):
I p+q 2m--.p--q ~ ]
(RP I u Iv, R)(R~ I u t~, R) ~-- 3 / ~ (R "~ i U ].., R ~-~ ( I u Io, R) ~ - - + t u Io, R
198 C. Mm~'~DA: Teoremi di unicit5 i~ do mini non limitati, ecc.
e quindi dalla (2.6) segue u n a limitazione del tipo
(R" - - r2} 2"~" i u I:, ~ <--' e I B [ u , - ~
h--i 2m--h+l
+ ¢
y, 2u' RR ,
h = l
essendo d u n a costante t h e dipende soltanto da m, n, Q ed Ro. Di qui, se si fa l ' u l t e r i o r e ipotesi ehe sia:
i8) M a = 0 p e r O < h < m o
si trae, tenendo sempre presente che R ~ Ro:
2m--1 1 too--1 ~n~'--~o +11
~2 -- 2m 2 2m 2 i ~ i
{l lo, R! + ( l u t . , , R ) (l io, R
dove anehe o~ dipende solo da m, n, ~2 ed R 0.
R i a s s m n e n d o possiamo e n u n c i a t e il s e g u e n t e :
L]~M~IA 2.1. - L' aperto ~Q, la varietY. V e gli operatori ~ soddisfino alle ipotesi i~), i~), i4) , i~), i6). Esiste allora u ~ a eostante c~, dipendente solo da m, n, Q ed Ro, tale ehe per essa valga la {2.7) q u a l u n q u e siano R>_ Ro, r < - - R e u e V.
3. L e m m i di creseenza. Prima di proseguire dobbiamo soffermarci su Mcuni lemmi di ereseenza~ i quali, pur essendo enunciati i n forma alquanto diversa, possono essere considerati come una generalizzazione di un risultato di G. S~MPACC~IA [12] e si d i m o s t r a n o con un proeedimento analogo a quello seguito da questo autore. In u n a forma un pb pifi generale di quanto s~retta- mente ei oeeorra, tali lemmi sono i seguenti:
LE~MA 3 . 1 . - Siano ~ e 7 (~. 1) due h u m e r i positivi e siano A(t), B(t),
~(t) tre f u n z i o n i definite nell' intervallo IT ~ (to, T) aperto a destra ed ivi non
C. MIRANDA: Teoremi di unic~t4 ~n domini non timitati~ etc. 199
negative e verificanti la relazione:
(3.t) (t - - x)~(x) ~ A(t) + B(t)[~t)]v
per ogni coppia t, ~(< t) di p u n t i di tale intervallo. Se, posto :
riesce per t ~ T:
~3.2)
si ha anche:
V ~
1 - - y
~(t) = o ((ff-~-~),~) 1
(3.3t
(T - - ~)a~(~) < 2a sup A(t) + 2~ sup B(t)[~(~)]~.I T I T
0 s s e r v i a m o i n n a n z i t u t t o che si pub s e n z ' a l t r o s u p p o r r e che le f u n z i o n i A e B siano l i m i t a t e e ehe i n o l t r e la B n o n sia i d e n t i c a m e n t e n u l l a , altri- m e n t i la {3.3) s a r e b b e ovvia. I n o l t r e b a s r a d i m o s t r a r e la {3.3) p e r i v a l o r i di ~:
p e r i q u a l i ~(z)=~= 0.
P r o c e d e n d o p e r a s s u r d o s u p p o n i a m o che e s i s t a u n p u n t o t i di IT p e r il q u a l e r i e s c a :
t3.4t P o s t o :
I T - - t,)$.c(t~) - - 2t~ s u p A(t) > 2 ~ s u p B(t)[c~(t,)]~ :> O.
I T I T
T - - t l
t ~ = T
si a v r e b b e allora, c o m e ora v e d r e m o :
(3.5) .¢(t,i > ~(t,)2'~+-1),
d a cui s e g u i r e b b e in c o n t r a d d i z i o n e con la (3.2t:
~ t . ) t T - - t.) ~ ~ ~(t,)t T - t,)~.
II n o s t r o l e m m a s a r k perci6 d i m o s t r a t o se f a r e m o v e d e r e c h e d a l l a (3.4 l s e g u i r e b b e la (3.5). P e r q n e s t o o s s e r v i a m o e h e l a (3.5) ~ gih s o d d i s f a t t a per n - - 1 , onde basra f a r v e d e r e che, se essa s u s s i s t e s s e p e r n - ' m , e s s a
200 C. Mm~NDA: Teoremi di unieit5 in domini non limitati~ eco.
v a r r e b b e a n c h e per n = m + 1. Ora d a l l a {3.1) s e r i t t a p e r t = t,~++, si t r a e :
s u p B(t)[v(t~+~)]r > ( T - - t,)~ v ( t ~ ) - - s u p A{t)
e quindi, se s u s s i s t e s s e la (3.5) p e r n - - m , t e n u r e a n c h e conto che vym - - v -4- ~ > 0, si a v r e b b e :
sup B(t)[~(tm+,)]r > 2~r'~-~[(T - - t,iac~(t,) -- 2~ sup A(t)]
I T I T
e di qui, in forza d e l l a (3.4), s e g u i r e b b e la (3.5) p e r n = m + 1.
LEMMA 3.2. - Siano Ao(t), B~(t), ..., B~(t), s + 1 f u n z i o n i definite hell'in.
tervatlo (t o + c~) ed ivi non negative. S i a n o poi ~, YI(< 1), ..., y , ( ~ 1), dei h u m e r i positivi e sia infine ~(t) n n a funzione definita nell' intervatlo (to, + ~ ) ed ivi non negativa e verificante la relazione:
(3.6) (t - - z)a~(:) --<' A o(t ) + E B,(t)[~(t)]~,
$--1
per ogni eoppia t, ~( < t) di p u n t i di tale intervallo. Se, detto ? il pitt grande dei y~ e qualunque sia T > to, la ~(t) soddisfa alla ( 3 . 2 ) p e r t ~ T - - 0 e se inoltre si ha:
(3.7! lira' T - a s a p [A0(t ) + E B~(t)] - - 0,
T ~ ~ I T i--~1
la ~(t) ~ identivamente nuUa in (to, + oo).
I n v e r o , d e t t o y il pifi g r a n d e dei h u m e r i ~'i e p o s t o :
s
A - - A ~ + vy. B~, B - ~ B,
~ 1 ~ 1
si ha che ~(t) s o d d i s f a alia (3.1). Poich~ ~(t) s o d d i s f a a n c h e alla (3.2) varr'h la (3.3) e da q u e s t ' u l t i m a , d i v i d e n d o per ( T - - ~ ) ~ e p a s s a n d o al limite p e r T ~ c~ su d i u n a p a r t i c o l a r e s u c c e s s i o n e di valori di T, s e g u e in forza della (3.7): ~(~) - - 0.
4. A l c u n i t e o r e m i di unieit~. S i a m o o r a m a i in g r a d e di d i m o s t r a r e il se- g u e n t e t e o r e m a di unicit/~:
(3. MIRAI~DA: Teoremi di unicit~ i+~ domi~i non limitati~ eve. 201 I - L'aperto ~, la variet~ lineare V e il sistema (2.1) soddisfino alle ipolesi i,), i~}, i4) , i~), i6). Detto ~ un qualunque numero reale tale che:
(4.1} 0 < 2~ A-- n < 2m - - +n o + 1 '
due soluzioni del sistema ~(2.1) soddisfacenti alle condizioni (2 2) e (2.3) diffe.
riscono per u n veltore che ha per componenti dei polinomi di g~ado m - - 1 al pii~. Se poi ~ soddisfa anche all'ipotesi i2) e, nel caso z¢>~ O, si suppone che la varieldt V soddisfi all'ipolesi i(c')), esiste al pii+ u n a soluzione del sistema {2.1) ehe soddisfi le (2.2} e (2.3).
A p p l i c a n d o i n v e r o la (2.7) ad u n a soluzione u del p r o b l e m a o m o g e n e o associato, p e r la q u a l e r i e s c e d u n q u e :
B[u, = O,
si ha che tale d i s u g u a g l i a n z a , posto:
t = • = T u 2 R =
si p r e s e n t a c o m e u n a l i m i t a z i o n e del tipo {3.6), laddove la (4.1), u n i t a m e n t e alla (3.3), a s s i c u r a , c o m ' 6 f a c i l e v e r i f i c a r e , i! s u s s i s t e r e della (3.7). Ne segue, in forza del L e m m a 3.2: : u I - , , R - - 0 p e r ogni R > R 0 e q u i n d i le c o m p o n e n t i di u sono p o l i n o m i al pifl di grado m - - 1 . Se ~ a < 0 dalla (3.3} e dall'ipo- tesi i~) s e g u e u = 0. Se i n v e c e ~ a ~ 0 l ' i p o t e s i i.2) p o r t a di c o n s e g u e n z a che le c o m p o n e n t i di u sono p o l i n o m i al pifl di grado ~ e d a l l ' i p o t e s i i<~)) s e g u e di n u o v o u - - 0.
A proposito del t c o r e m a ora d i m o s t r a t o p o t r e b b e s e m b r a r e c o n v e n i e n t e di s o s t i t u i r e l ' i p o t e s i i< ~')) con l ' i p o t e s i i('~-~)}, m a cib n o n s a r e b b e di a l c u n v a n t a g g i o p e r c h b il v e r i f i c a r s i della (4.1) i m p l i c a che ~: ~ < m - 1. V o g l i a m o i n v e c e f a r v e d e r e t h e u n t e o r e m a analogo sussiste senza a l c u n a l i m i t a z i o n e p e r ~ del tipo (4.1) e r i n u n e i a n d o a n c h e a s u p p o r r e v e r i f i c a t e le ipotesi i2}
e iI~)), a c o n d i z i o n e perb di s o s t i t u i r e l ' i p o t e s i i~) con l ' a l t r a pifi r e s t r i t t i v a : i~) Esiste u n a costante co tale da risultare, qualunque sia R e per ogni v E I/R:
2 2
( 4 . 2 )
Iv , , , R + l v l o , R<-- olB[v, vii, ¢i.
Si ha infatti t h e :
II. - L'aperto ~2, la varietdt lineare V e i l sistema (2.1) soddisfino dlle ipotesi i,), i~), i4) , i~). Quctlunque sia il numero reale ~, esiste al piit u n a solu- zione del sistema (2.1) verificante le condizioni {2.2) e {2.3).
(6) S i n o t i che, a l m e n o i n e e r t i casi p a r t i c o l a r i e p e r e s e m p i o se V ~ U ~ ) ( ~ ) , il sussi- s t e r e di u n a d i s u g u a g l i a n z a d e l tipo (~.:~) con c o d i p e n d e n t e d a R s a r e b b e c o n s e g u e n z a i m m e d i a t a d e l l a i5~; q a i peral~ro si s u p p o n e t h e l a ('4.2) v a l g a con u n co i n d i p e n d e n t e d a R.
A n n a l i d i M a t e m a t ~ e a 26
202 C. ?¢IIaANDA: Teoremi di unicit5 in domini non limitati, ecc.
P e r la d i m o s t r a z i o n e b a s t a o s s e r v a r e c h e n e l l ' i p o t e s i i~) sussiste u n a d i s u g u a g l i a n z a c o m e la (2.7t con m 0 ---= l, nel cui p r i m o m e m b r o , perb, ad I u I~, r s u b e n t r a :
U(r) = l u I~, ~ + I ~ Io,~ .
Al!ora , se u /~ u n a soluzione del p r o b l e m a o m o g e n e o associato, si t r a e d a l l a f o r m u l a o r a r i c h i a m a t a u n a l i m i t a z i o n e del tipo:
14.3} (R ~ -- r~-) :m'U(r) < ,,~ ' ~ ' R ~ " ' - ~ r u ' n ' l ~ - ~ ~ ,~o,~ I u IX~n ,
dove s pub e s s e r e p r e s o piccolo a p i a c e r e . 0 r a , poich~ u soddisfa alla (2.3) /~ eerto possibile s e e g l i e r e s in modo c h e sia:
lim
R-'lu
]g,~n "-" 0R ~ o O
' 9.
Dopo cib si h a dal L e m m a 3.,.: U - - 0 e q u i n d i u - - 0 .
5. Aleuni t e o r e m i g e n e r a l i del t i p o di Liouville. I n questo p a r a g r a f o . detti k, q, s ( ~ n) tre i n t e r i positivi, s u p p o r r e m o s e m p r e che sia:
s + k + 1) P = q k "
Cib p r e m e s s o d i r e m o che u n v e t t o r e w a q c o m p o n e n t i w~, w , ~ , . . , wq ~ di classe I k, s, V, or5 f se:
a) riesce per ogni R: w e l l s ( D, V'kw~H(")(O.nt,
b) it vettore u - V ~ w ~ soluzione debote del sistema i2.1) e soddisfa allct (2.2).
Sussiste il s e g u e n t e t e o r e m a del tipo di LIOUVILLE:
I I I . - L ' a p e r t o ~2, la variet~t lineare V e il sistema (2.1) soddisfino alle ipotesi i~), i~(8)t, i.~), i4) , i~), i6). Detto o: u n q u a l u n q u e n u m e r o reale lale che:
(5.1)
O ~ 2 a W n ~ 2 m _ m o ~ _ 2(m + ~:) l ,ogni vettore w e l k , s, V, ~Yr51 che verifivhi l' ulteriore condizione
(5.2) lim' /t-(2~+'*) I w l~,a < -}- oo
R .--~ oo
C. MIRANDA: Teoremi di unicit~ in domini non limitati, etc. 203
ha tutte le componenti della f o r m a :
essendo i P~(x) dei p o l i n o m i helle variabili x~ , ..., x , di grado non superiore ad m - { - k - l rispetto al complesso di tutte le variabili, di grado non superiore a d m - 1 rispello alle xs+~ .... , x,~ e no~ contenenli t e r m i n i di grado inferiore a k ed essendo i Q~(x.) dei p o l i n o m i di grado non superiore a k - 1 helle va- r i a b i l i x , , . . . , x~ con coefficienti f u n z i o n i di x~+~,..., x ~ .
Se p o i si suppone verificala anche l'ipolesi i,,) ed ~ ~ >_. k, il grado dei P~(x) rispetto al complesso delle v a r i a b i l i non s u p e r a ~¢ e quello rispetto alle variabili xs+~, .., x , non supera o~--k.
Se infine, sempre essendo verificata l' ipotesi i~), si ha 0 <-- o: < k i p o l i m o n i P~{x) sono nulli. Nella stessa ipolesi e se inoltre si suppone che p e r Q v a l g a anche la i~(s)) e the w soddisfi; invece che alla (5.2}, a l l a condizione pii~ re- s t r i t l i v a :
t5.3i l i m ' R - ~ s u p ] w I ~ +
R ~ o o D R
il grado del polinomio Q~(x) rispetto alle v a r i a b i l i x ~ , . . . , x8 non supera ~.
P e r d i m o s t r a r e questo t e o r e m a p o t r e m o di n u o v o r i c o r r e r e a l l a (2.7}, che s c r i v e r e m o q u e s t a volta p o n e n d o u = V~w. T e n e n d o conto a n c h e del L e m m a 1.1 si t r o v a c h e p e r R ~ R 0 s u s s i s t e u n a d i s u g u a g l i a n z a del t i p o :
(5.4)
(R 2 - r2}2"~" I V ~ v ' - < K E R ] V~w ,~, R ' t i w TM o, adove gli e s p o n e n t i ¢i, "~i, ? : sono d a t i dalle r e l a z i o n i :
7~ "+" ~ - - 1,
1 1 2 m - - m . + 1
= + k)
2 m - mo -+- 1 m
~4 = 2 m ' ~ - - m --]- k '
m --}-k
~3 - - 1 ,
m -]- k(2m - - m . Jr. 1)
~4 = , % = m 0 ,
Tt~ ~ - - m o + 2k.
204 C. MIRANDA: Teoremi di unicit~ in domini non limitati, ecc.
Si verifica facilmente che per tutti i valori di i si h a :
~, ~ - - 2 m - - m o-[- 1 e di qui, in eonseguenza della (5.1), si ha:
(5.5) - - ~ + (2~ + n ) ~ < 0.
Dopo di cib, se si pone:
R ~ : t , r ~ : ~ , I V~w ~ o,R :
la (5.4) si p r e s e n t a come u n a disuguaglianza del tipo (3.6) per la quale, in forza della (5.5), ~ soddisfatta la (3.7). Dal L e m m a 3.2 segue I V~w I , , , R - 0 e di qui il teorema, per tutto cib t h e pub stabilirsi senza r i c o r r e r e e l f ipotesi i~).
Dal risultato ottenuto segue perb ancora, tenendo conto della (1.6):
R-['~('-k)+'~] 1 ~7'~w t~o, R ~ Ko ¥ 2R-(~+") i w ]~,R
e quindi, se si suppone verificata 1' ipotesi i~), si trae dalle (5.2) che ~';w ha per componenti dei polinomi di grado non superiors ad ¢ ¢ - - k s e e ~ k ed ~, nullo s e a < k. I n q u e s t ' u l t i m o ceso si h a : w~ -- Q~ e pertanto, se w soddisfe ella (5.3} e se si suppone che ~2 soddisfi alle i(~")), il grado dei Q~(~) rispetto alle x ~ , . . . , w, non pub s u p e r a r e e. Con cib il t e o r e m a I I I ~ e o m p l e t e m e n t e dimostrato.
Vogliamo ore far vedere come questo t e o r e m a posse, sotto eerti aspetti, essere reso pifi espressivo se all'ipotesi i5) si sostituisce la i',). Si ha i n v e r o : IV. L'aperto •, la variet& lineare V e il sistema {2.1) soddisfino alle ipo.
tesi i,), i~(~)), i3) , in) , i~). Qualunque sia ,il numero reale ~, ogni vettore w e I k, s, V, ~ I che soddisfi la (5.2) ha per vomponenti dei polinomi, di grado non superiors a k - t, nelle variabili x~, ... ~ , con coefficienti funzioni di
Nel caso che O ~. ~ ~ k e nell' ipotesi che per G valga la i~ (~)) e she w soddisfi alla (5.3)~ invece the alla (5.2t, i delli polinomi hanno grado non su- periore ad ~.
P e r le dimostrazione cominciemo con l ' o s s e r v a r e che, nelle ipotesi posts, si pub, r e g i o n a n d o come per il t e o r e m a II, p e r v e n i r e ad u n a limitazione del tipo (4.3) in cui perb ed U(r) s u b e n t r a :
W(r) - - 1 V k w ]2,~ -~- l V k w
C. MIRANDA: Teoremi di unieitdt in domini non limitati, ece. 205 In forza della i~ ~)) si ha, valendosi della (1.6) del L e m m a 1.i:
(5.6) (R 2 - - r2) ~'~" W ( r ) ~_ c'2R 4~'-~ [ W(R)] ~- ~ [ ] w [~, k],,~+~
+ I w R] l'
Se ora si seeglie z in modo che r i e s e a :
n, + k (2** + n) < 1, e(2o: + n - - 2k) < 1,
dalla (5.6) e dal L e m m a 3.2 segue W - - 0 e quindi a n e h e ~7~w--0. Con eib il t e o r e m a 6 dimostrato.
6. Alcune applieazioni a easi p a r t i c o l a r i . In questo p a r a g r a f o ei propo- n i a m o di meglio chiarire la portata dei teoremi I I I I V applicandoli allo studio di alcuni easi partieolari t h e si ottengono specializzando l ' a p e r t o ~2, la variet~ V e la elasse {k, s, V, ~ l -
C o m i n c i a m o a c o n s i d e r a t e u n sistema di q operatori differenziali lineari di ordine 2m nel vettore w ~- (wi .... , wq), che scriveremo nella f o r m a :
E ni, i,~D~wj, i : 1, 2 , . . . , q.
1=~ I~1=o
Fissati due indici non negativi h < 2 m ed s ~ - - n , q u e s t ' u l t i m o in modo che riesea :
(6.1) l = m - - [ n - - ~ ] - - 1 > O,
faremo sugti operatori ~e(~ i le s e g u e n t i ipotesi"
i~) I eoeffieienti n~,i,~ sono di etasse C (re+h) i n S , e risultano l i m i t a t i i n S~ con tutte le loro derivate fino a quelle di ordine m + h.
i 8) P e r tutte le combinazioni ~ - - i , i ~ , .... i~ tali che i l + . , . + i È ~ h i coe/Ticienti n~,j,: sono f u n z i o n i delle sole variabili x s + ~ , . . . , w~ (sono costanti
8 e 8 "-- ~t).
i 9) II s i s t e m a degli operatori ~ ~ fortemente etlittico nel senso the esiste u n a costante N tale da risultare, per q u a l u n q u e ~ - - ( ~ . i , . . . , ~,) reate :
206 C. MIRANDA: Teoremi di unicit(t in domin4 non limitati, ece.
1 ~ . ,o ) q
~,,~, o~o~,~
~ z~( ~ ~)~ ~ I ~, 12,
G o n s i d e r i a m o poi u n s e e o n d o s i s t e m a di o p e r a t o r i d i f f e r e n z i a l i ~'5~ di o r d i n e non s u p e r i o r e a 2 m e tali da v e r i f i c a r e le s e g u e n t i i p o t e s i :
i~o ) I eoefficienti degli ~'C~ soddisfano anch'essi all'ipot~esi i~) e inoltre sono f u n z i o n i delle sole variabili x~+~,..., x~.
u n a costante N ' tale da risultare p e r q u a l u n q u e vellore i , ) Esiste
re e U(o'~(g):
~oiZ__ f - q w ~ ( w ) d x ' ~ N ' 1 ~v !o,~ (~).
1
fl
Cib p r e m e s s o , e a v e n d o i n d i c a t o con [2 l ' i n t e r o spazio nel caso s - - n it s e m i s p a z i o x,, > 0 nel caso s = n - - 1~ F a p e r t o ehe si o t t i e n e d a S,~ p r i v a n d o l o d e W i n t e r s e z i o n e degli i p e r p i a n i x s + ~ - - 0 , . . . , x n - - 0 nel easo s ~ n ~ 1, p r e n d i a m o in c o n s i d e r a z i o n e le soluzioni del s i s t e m a
(6.2) ~L~(w) + ~rA(w) 5 i = 1, 2, ..., q,
d e f i n i t e in Q e che su ~ (nel caso s < n ) v e r i f i c h i n o le condizioni:
(6.3) D~wi = 1%
c o n
-- 0 ... Oi~+i ... i,,, 0 <-- [ ~ I -< l.
L o studio di tali soluzioni v e r r i c o n d o t t o n e l F i p o t e s i c h e :
i~) le f u n z i o n i f i e d f~,~ siano dei polinomi di grado inferiore ad h nelle variabili x ~ , . . . , x~, te fi con coefficienti f u n z i o n i di x~+~,..., x~, le f~,~
con eoeffieienti costanti.
S u s s i s t e il t e o r e m a :
V. - Supposte verifieate tulle le ipotesi dalla i~) aila i~), noneh~ la (6.1), esiste u n ~o tale ehe per ~ ~ )'o ogni vettore w che, per q u a l u n q u e R, sia di classe C(2+"+h)(~) N C(~+~)i~ 1 f~ H(m+h)(Q R) e che soddisfi alle (6.2), (6.3), (5.2) ha per eomponenti dei polinomi, di grado non superiore ad h - i nelle variabili x , , . . . , x~, con eoeffieienti f u n z i o n i di x~+~, ..., x , . Se poi w soddisfa alla (5.3) con ~ >~ 0 il grado di lali polinomi non pub superare ~.
(7) Vogliamo esplicitamente r i l e v a r e che tale ipotesi non implica che il sistema degli
~ r ~ sia ellittico; tali operatori potrebbero percib essere anche di ordine dispari.
C. MIRANDA: Teoremi di unicitd in domini non limitati~ ecc. 207 C o m i n c i a m o con l ' o s s e r v a r e che d e r i v a n d o h volte le {6.2) r i s p e t t o atle varia- bili w~,..., xs si t r o v a t h e ~7~w s o d d i s f a a u n s i s t e m a del tipo
(6.4)
CVc~(1)~w) + 9c~,~('V'hw. ) +
kgt~iD~w) = 0,i - - 1 , 2 , . . . , q, ~ - - i ~ , . . . , i~O,..., O, i ~1 = h ,
nel q u a l e gli ~ i , a sono o p e r a t o r i d i f f e r e n z i a l i di o r d i n e non s u p e r i o r e a 2 m - - l . I n o l t r e d e r i v a n d o le (6.3) si trova, c o n s e r v a n d o i s i g n i f i c a t i i n d i c a t i p e r ~ e z:
(6.5) D~Daw~ - - 0 p e r x e 3Q.
0 s s e r v i a m o a n e h e che i c o e f f i e i e n t i del s i s t e m a (6.4) sono tutti di c l a s s e C ('n) e q u i n d i il s i s t e m a stesso p u b e s s e r e scritto in f o r m a a n a l o g a alla (2.1).
D e l t a allora V (°) la varietlt l i n e a r e di U(~")(~2) c o s t r u i t a d a tutti i v e t t o r i v tall che p e r ogni R sia v~neH~'~)(~R) e t e n e n d o conto che ~Y~weH('~)(gR) si si d e d u c e d a t l e (6.5) c h e :
Vi~v e V(°) .
D ' a l t r a parte, poich~ p e r il L e m m a 1.2 Q s o d d i s f a a l l ' i p o t e s i i,) si pub, ripe-
Q
t e u d o u n r a g i o n a m e n t o di L. GARD~TG [5], d i m o s t r a r e che, in forza delle i~), i9) , i,0), i,,), esiste u n )~o tale che p e r ), > ).o il s i s t e m a (6.4) s o d d i s f a alla i p o t e s i i;).
D o p o cib, e s s e n d o v e r i f i c a t e a n c h e t u t t e le altre ipotesi del t e o r e m a I V (con k - - h), il t e o r e m a V s e g u e d a esso c o m e caso p a r t i c o l a r e .
J1 t e o r e m a o r a d i m o s t r a t o si s e m p l i f i c a n o t e v o l m e n t e se a v v i e n e che p e r ogni ~ - - i ~ i ~ , . . . , i~O,..., 0 il v e t t o r e D~w s o d d i s f a ad un s i s t e m a ehe ha lo stesso p r i m o m e m b r o di q u e l l o s o d d i s f a t t o da w.
P e r c h i a r i r e cib r i p r e n d i a m o in c o n s i d e r a z i o n e gli o p e r a t o r i gi/~ conside- ra~i nel n. 2 e alle ipotesi i4) e i~) a g g i u n g i a m o a n c o r a l ' a l t r a c h e :
i,3} i coefficienli m~,j,~,~ siano f u n z i o n i delle sole variabili xs+,~..., x.,,~.
Sia poi w - - ( w ~ , w~,.. , ~W) u n v e t t o r e s o d d i s f a c e n t e al s i s t e m a
(6.6) ~5~(w) - - f~, i - - 1, 2, ..., p,
e alle c o n d i z i o n i al c 0 n t o r u o (6.3), in r e l a z i o n e alle q u a l i s u p p o r r e m o a n c o r a v e r i f i c a t a la (6.1). V a l e n d o c i del t e o r e m a I I I , i n v e c e che del t e o r e m a IV, p o s s i a m o d i m o s t r a r e c h e :
VI. - Supposte verificale le ipotesi i4) , its), i~3 ) e i5) , q u e s t ' u l l i m a i n relazione alla variet& V(°), ogni veltore w che, p e r q u a l u n q u e R, sia di elasse C(2"~)(~) N C(Z)(~) N H(")(Q~) e che soddisfi alle (6.5), (6.3), (5.3) con u n a > O,
208 C. ]~IRANDA: Teoremi di unicit5 in domini non limitati, ecc.
ha p e r componenti dei p o l i n o m i , di grado non superiore ad ~, helle variabili x ~ , . . , x~ con coefficienli f u n z i o n i delle v a r i a b i l i xs+~, .., x , .
Comineiamo con l ' o s s e r v a r e che esiste certo un vettore wo avente per compo- nenti dei polinomi e tale ehe w - - w 0 soddisfi ad n n sistema ehe ~ dello stesso tipo del sistema {6.6} e a condi~ioni del tipo {6.3) con le f i , ~ : 0 , Dopo eib un noto p r o c e d i m e n t o di L. NIREMBERC~ [10], basato s u l l ' a p p l i c a z i o n e della (2.5)ai rapporti i n e r e m e n t a l i di w - - w o , permette di d i m o s t r a r e ehe, q u a l u n q u e siano k ed R, si h a :
da cui a n e h e :
w - - w0 e HI,(~R),
w e H ~ t Q n ) ,
Vi(w - - Wo) e H('~)(~R),
V i e w e H<")(Qn).
Seelto k ~ h per ogni ~ - - i ~ , . . . i ~ 0 , . . . , 0 con (6.6) e (6.3t:
(6.7) 9V6~(D~w) = O,
1 ~ [ = k si ha, derivando le
(6.8) D~Dawi ~- O, per x e ~Q,
dove ~ verifica le stesse limita~ioni indicate per la (6.3). Le (6.7) e (6.8) co- stituiseono u a sistema di eqaazioni e di eondizioni al contorno per ii vettore V~w, il cui verificarsi r e a d e possibile l ' a p p l i c a z i o n e del teorema I l I con m 0 - - 1. Seelto k in mode ehe r i s u l t i :
2~ + n < 2 (m q- k)
segue da tale teorema che le componenti di w sono polinomi di grado non superiore ad g.
I1 t e o r e m a ora dimostrato contiene a n c h e un r i s u l t a t o negativo che vogliamo e s p l i c i t a m e n t e e n u n c i a r e :
V I I I . - Nelle stesse ipolesi del teorema V I e se, essendo ~ < h - 1, f r a i p o l i n o m i f~ ed f~,~ ve n ' d almeno uno di grado non inferiore a d h ~ t , non
esiste a l e u n a soluzione del sistema (6.6) verificante le (6.3) e (5.3).
7. II caso delle equazioni a coefflcienti costanti. I teoremi del n u m e r o precedente sono s e n z ' a l t r o applicabili q u a n d o il sistema soddisfatto da w a coefficienti costanti. A questo proposito si pub osservare che, per un noto t e o r e m a di L. GARDING [5], F ipotesi i~) 6 certo veri[icata se:
C. MHCANDA: Teoremi di unicit4 in domlni no~ limltati~ etc. 209
i~4 ) Esiste u n a eostante Mo tale ohe, p e r q u a l s i a s i ~ - - - ( ~ , . . . , ~,~) reale riesca:
~ e
1,...~p p p
z ro( t
i,] Ic~i, l'~[----m ,,:,= i +--x
S u s s i s t e p e r t a n t o il t e o r e m a :
V I I I - S e i l s i s t e m a (6.6t ~ a c o e f i c i e n t i eostanti e se sono soddisfatte le ipotesi i~2 ) e i~4) ogni vettore w ehe, p e r q u a l u n q u e R, sia di classe C(2")(~) C1 C(~)(~) fl H('~)(~2n) e the soddisfi alle (6.6), (6.31, (5.31, quest' u l t i m a con u n ~ ~ 0, ha per componenti dei polinomi, di grado non superiore ad % helle v a r i a b i l i % , . . . , xs con eoefficienti f u n z i o n i di x~+~, ..., x~.
N e l caso s - - n e se gli ~ c o n t e n g o n o solo le d e r i v a t e di o r d i n e 2m, t a l e t e o r e m a r i e n t r a c o m e caso p a r t i c o l a r e in u n r i s u l t a t o di A. DOUGLIS e L. NIRE~BERC~
[2].
N e l l a s t e s s a i p o t e s i p e r gli ~ 5 ~ e se s : n - - 1 il t e o r e m a poi m o l t o a f f i n e a d u n a l t r o di S. A ~ O ~ T , A. D o u ~ L ~ s e L. NIREbTBERG [i]di c u i d i v i e n e caso p a r t i c o l a r e , p e r b , solo n e l l ' i p o t e s i c h e le f~ s i a n o dei p o l i n o m i a n c h e r i s p e t t o alla v a r i a b i l e w,. I n tal caso p e r a l t r o il r i s u l t a t o dei p r e d e t t i a u t o r i ~ pii~ s i g n i f i c a t i v o p e r c h ~ a f f e r m a c h e a n e h e le c o m p o - n e n t i di w sono dei p o l i n o m i r i s p e t t o a t u t t e le v a r i a b i l i (s).
P e r t e r m i n a t e q u e s t a m e m o r i a v o g l i a m o o r a c o n s i d e r a r e it e a s o di u n a sola e q a a z i o n e , c o n t e n e n t e s o l t a n t o le d e r i v a t e di o r d i n e m a s s i m o , in u n a
sola i n e o g n i t a w(x):
(7.1) ~]7~(w) -- ~.
n~D~w
- - f,I z I = 2 m
al f i n e di s t a b i l i r e u n t e o r e m a di unicit/~ p e r il p r o b l e m a al e o n t o r n o c h e si o t t i e n e a s s o c i a n d o a l i a (7.1) le c o n d i z i o n i s u l l a f r o n t i e r a :
(7.2)
D~w(x) - - f~ p e r x ~ ~2o - - 0 , . . . , Ois+l,..., i,~, 0 < - I ~ I < - l
e la c o n d i z i o n e a l l ' i n f i n i t o (5.3). T a l e t e o r e m a ~ il s e g u e n t e :
(8) Veramente it teorema ora eitato si riferlsee al ease di una sola equazione, ma sembra assai presumibile che esso valga anche per i sistemi. Da notare inoltre che iI teorema stesso ~ dimostrato nell'ipotesi che l'equazione sia ellittiea~ senza rieorrere all'il~otesi dl ellitticit~ forte.
Annali di Matemattva 27
210 C. M~IRANDA: Teoremi di unicitdt in domini n o n limitati~ eee.
IX. - I coefficienti n , siano tutti costanti e il ]polinomio ~ e X n , ~ ~ sia deft.
nito positivo p e r ~ reale. Se f e
C<o)(.q)
ed f ~ C ( ~ - I ~ I ) ( ~ ) esisle al pii¢ u n a soluzione della (7.1) che p e r ogni R sia di classe C(20')(~2) fl C<~)t~.)) fl H('*)(~2R)e che soddisfi alle condizioni (7.2t e (5.3), q u e s t ' u l t i m a con 0 <_~ < 1 + 1.
I n v e r o p e r il t e o r e m a p r e c e d e n t e ogni s o l u z i o n e del p r o b l e m a o m o g e n e o a s s o c i a t o b u n p o l i n o m i o helle v a r i a b i l i x : , . . . , xs di g r a d o ~_<. o~. eio~ u n a f u n z i o n e de1 t i p o :
(7.3) w - - E y¢~,(t},
I~l=o dove, p e r s e m p l i e i t h di s e r i t t u r a , si 6 p o s t o :
y - - ~c' = (x,,, ..., ~), t = a z " = (ve~+x .... , x,).
I1 t e o r e m a sarh d i m o s t r a t o , p e r induzione, se f a r e m o v e d e r e che ¢ ? ¢ - - 0 p e r [ z I ' - - ~ l . Ora, s o s t i t u e n d o la (7.3) n e l l a {7.1) r e s a o m o g e n e a , si t r o v a a g e v o t m e n t e che per ogni z tale che I z l = ~ d e v e r i s u l t a r e :
~VU'(%) = Z" n,D:?~ = ' 0,
d o v e il s i m b o l o X" sta a i n d i c a r e u n a s o m m a t o r i a e s t e s a a tutti i z del tipo:
---- 0, ..., Oil+:, ..., i+~.
P o i c h ~ l ' o p e r a t o r e ~ " ~ ellittico si ha, in A. DOU~LIS e L. N:I~ElqBEI:tG- [2], ehe p e r
forza di u n t e o r e m a di } ¢~I ~ 2 m r i e s e e :
D' a l t r a parte, poich6 w v e r i f i c a le (7.2), la ~?~(t) d e v e a v e r e u n o zero di o r d i n e 1 + 1 per I t [ - - 0 , d a e u i p e r t ~ 0 :
s u p I = l t.
Izl<-~ltl
Si ha percib, in c o n c l u s i o n e , che p e r } ~ t = 2 m - - 1 e t ~ 0 r i e s c e : ] D ¢(tt l = o( I t
C,. MIRANDA: Teoremi di unicitit in domini non limitati, eee. 211 e q u e s t a limitazione assicura, per un teorema di F. J o ~ N [7], c h e :
h
17.4) %{t)-- +~(t)+ Z c~[D~K(z, t)]~=o,
I ~ i = o
dove +~(t) b una funzione analitica anche p e r [ t ! = 0, la K(z, t) b la solu- zione f o n d a m e n t a l e d e l l ' o p e r a t o r e ~1%", le c~ sono delte eostanti e infine:
h = 2 m - - l - - 2 ~ ( n - 8 ) + 1 = m + [ n _ _ ~ s ] _ ( n - - s ) .
Ora ~ stato dimostrato da F. JoIt~¢ [8] che, posto z - - t = ~, si h a :
(7.5)
K(z, t) = I ~ i~"-(~-*@ I ] + q(~) l ° g / ~ ] 'dove 6(~) b una funzione analitiea regolare per ] ~ 1 - - 1 e q(~), per essere nel nostro easo 2 m > n - - s , b un polinomio di grade 2 r e - - ( n - - s ) se n - - s 6 pari, b nulla se n - - s ~ dispari. 57e segue ehe per I t [ ~ 1 la s o m m a t o r i a a seeondo m e m b r o della (7.4) b 0(1 t t2m-('-*)+ ~) e di qui, tenendo eonto delia {5.3) e del fatto ehe 2m - - (n - - s) > 2l + 1 si t r a e :
lirn"R -<2m-(*'-s)+~) sup i ~ (t) ! < + oc.
Dal t e o r e m a p r e e e d e n t e segue, dope eib, ehe ~(t} ~ un polinomio di grado non superiore a 2 m - - ( n ~ s) e poieh~ ~(t) ha n e l l ' o r i g i n e uno zero di ordi- ne l-{-1 si avr/~:
ItS) ]
{tl' xk ,
k=l+:t
essendo le X~(~) funzioni analitiche regolari per I ~ ] - - 1 e e ak delle costanfi. Ma tale funzione non pub m a n i f e s t a m e n t e verificare la {5.3) senza essere i d e n t i e a m e n t e nulla e di q u i i l teorema.
2 1 2 C. ~[IRANDA: T e o r e m i d i unie~t5 in dom~ni n o n timitati~ evc.
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