10. SPAZI VETTORIALI
Esercizio 10.1. Si stabilisca se i tre vettori
v1= (5, 1, 3), v2= (4, 6, 5), v3= (2, 1, 5)
formano una base di (Z7)3. In caso contrario si esprima uno di essi come combinazione lineare degli altri
due.
Esercizio 10.2. Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di (Z5)5si stabilisca se si tratta di un sottospazio,
e in caso affermativo se ne determini una base e la dimensione: • V1= {(a, b, c, d, e) ∈ (Z5)5: a = b = 1, c + d = e};
• V2= {(a, b, c, d, e) ∈ (Z5)5: a = b = 0, c + d = e};
• V3= {(a, b, c, d, e) ∈ (Z5)5: a = b, c = e};
• V4= {(a, b, c, d, e) ∈ (Z5)5: a + b + c = d, c + d = e, a + 2c = b};
• V5= {(a, b, c, d, e) ∈ (Z5)5: a = b = 0, c = 2e, d = 3e}.
Esercizio 10.3. Sia f : R4 −→ R5l’applicazione definita ponendo
f ((a, b, c, d)) = (a + b, −b + c − 2d, 2a + 2c − 4d, −a − b, a), per ogni (a, b, c, d) ∈ R4.
• Si provi che f `e lineare.
• Si individui il nucleo Ker(f ), una sua base e la sua dimensione. • Si individui l’immagine Im(f ), una sua base e la sua dimensione.
Esercizio 10.4. Sia f : (Z3)4 −→ (Z3)4l’applicazione lineare definita ponendo
f ((a, b, c, d)) = (d, a + b + c, a + 2b, b + 2c), per ogni (a, b, c, d) ∈ (Z3)4. Si stabilisca se f `e iniettiva, e se `e suriettiva.
