Esercizi di Algebra Lineare Spazi vettoriali - Dimensione
Anna M. Bigatti 20 dicembre 2012
Definizione 1. Dati i sottospazi W e Z di uno spazio vettoriale V la somma di W e di Z
`e il sottospazio di V :
W + Z def= {w + z | w ∈ W, z ∈ Z} = hW ∪ Zi Se W ∩ Z = ∅ diciamo che `e una somma diretta e la indichiamo W ⊕ Z . Proposizione 2 (Formula di Grassmann).
Dati due sottospazi W e Z di uno spazio vettoriale finitamente generato si ha:
dim(W + Z) = dim(W ) + dim(Z) − dim(W ∩ Z) In particolare se la somma `e diretta si ha: dim(W ⊕ Z) = dim(W ) + dim(Z) . Esercizio 3. Siano U e V i seguenti sottospazi di R3:
U = {(x, y, z) ∈ R3| x − 2y + z = 0} V = h(2, 1, 3), (1, 1, 1)i Determinare la dimensione e una base di U ∩ V e di U + V .
Esercizio 4. Sia V lo spazio vettoriale su R costituito da 0 e dai polinomi che hanno grado
≤ 3 . Determinare una base e la dimensione dei seguenti sottospazi:
(a) U = hx2, x + x3i ; (b) U = h1, 1 + x, 1 − xi ;
(c) U = h1 + x − x3, 2x − x3, 2 − x3i ;
Esercizio 5. Siano w1= (3, 1, 0) e w2= (−1, 2, 1) in R3 e U = hw1, w2i ⊆ R3. (a) Trovare, se esiste, un vettore u 6= 0 in U con prima coordinata nulla.
(b) Trovare, se esiste, un vettore u 6= 0 in U con seconda coordinata nulla.
(c) Dire se w3 = (8, 19, 7) ∈ U e, se s`ı, mostrare un’espressione di w3 come combinazione lineare di w1 e w2. Tale scrittura `e unica?
(d) Dire se w4= (6, 16, 6) ∈ U + hw3i e, se s`ı, mostrare un’espressione di w4 come combina- zione lineare di w1, w2, w3. Tale scrittura `e unica?
(e) Determinare la dimensione di U , U + hw3i , U + hw4i , hw3, w4i .
Esercizio 6. Trovare in R4, se possibile, due sottospazi diversi U , V della stessa dimensione e tali che
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(a) dim(U ∩ V ) = 0 ; (b) dim(U ∩ V ) = 1 ; (c) dim(U ∩ V ) = 2 ; (d) dim(U ∩ V ) = 3 ; (e) dim(U ∩ V ) = 4 ;
(f) dim(U + V ) = 0 ; (g) dim(U + V ) = 1 ; (h) dim(U + V ) = 2 ; (i) dim(U + V ) = 3 ; (j) dim(U + V ) = 4 .
Esercizio 7. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di Mat2(R) U =
a −a + b
2a − b a − b + c
| a, b, c ∈ R
V = x + t −x + y 2x − y x − 2y
| x, y, t ∈ R
(a) Determinare la dimensione e una base di U e di V . (b) Dire se U + V = Mat2(R) .
(c) Determinare una base di U ∩ V .
(d) Determinare, se esiste, un sottospazio vettoriale W di V tale che U ⊕ W = Mat2(R) Esercizio 8. Determinare la dimensione del sottospazio di R3 generato dalla curva
(a) (t, t2, t3) (b) (t3, t4, t5)
Esercizio 9. Sia S l’insieme delle matrici simmetriche in Mat3(R) e A l’insieme delle matrici antisimmetriche ( M = −Mtr).
(a) Dimostrare che A e S sono R -sottospazi vettoriali di Mat3(R) ; (b) Calcolarne la dimensione;
(c) Dimostrare che Mat3(R) = S ⊕ A
Esercizio 10. Data la matrice A =
0 0 2 1 1
3 −2 1 −3 1/3
−3/2 1 5/2 3 4/3
2 3 −1 0 1
(a) Trovare la forma totalmente ridotta di A e scrivere la soluzione generale del sistema lineare omogeneo di cui A `e la matrice dei coefficienti.
(b) Trovare la dimensione e una base del sottospazio V = {x ∈ R5| Ax = 0} . (c) Trovare una base di R5 che estende la base di V trovata al punto precedente.
(d) Trovare un sottospazio W di R5 di dimensione 3 tale che dim V ∩ W = 1 .
Esercizio 11. Siano A =
1 1 k 0
1 k k 1 − k k 1 k2 −1
, X =
x y z t
e u =
k 0 k
.
(a) Per quali valori reali di k ∈ R il sistema lineare AX = u ha soluzioni.
(b) Trovare la dimensione e una base del sottospazio U di R4 costituito dalle soluzioni del sistema lineare AX = 0 .
(c) Determinare due diversi sottospazi W1 e W2 di R4 tali che R4= U ⊕ W1= U ⊕ W2
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