Compitino di MDAL

(1)

Compitino di MDAL 31 maggio 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usa- re calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis.

Parte I, con esercizi a risposta secca.

Nelle risposte del tipo SI/NO, le risposte errate contano -1 1. (Punti 2) Sia p(x) ∈ R[x] un polinomio monico di grado 3 a coefficienti

reali tale che p(4) = 0 e p(2 + i) = 0. Determinare p(1).

2. (Punti 2) Stabilire se esiste una matrice A ∈ M

_3×3

(R) che abbia: a) un solo autovalore complesso; b) esattamente due autovalori complessi; c) tre autovalori complessi. Stabilire inoltre se esista A ∈ M

_3×3

(R) che sia diagonalizzabile su C ma non su R.

3. (a) Supponiamo di avere tre sottospazi vettoriali A, B, C di R

⁵

tali che A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {0}. Possiamo concluderne che dim(A + B + C) = dim(A) + dim(B) + dim(C)?

(b) Siano A, B, C tre sottospazi vettoriali di R

⁵

tali che A ⊕ B = A ⊕ C (somme dirette). Possiamo concluderne che B = C?

4. (Punti 2)

(a) Trovare tutte le soluzioni della congruenza 6x ≡ 3 mod 63.

(b) Quante sono le coppie (a, b) ∈ Z /(63) × Z /(63) tali che ab = 1 mod 63?

(c) Quante sono le coppie (a, b) ∈ Z /(63) × Z /(63) tali che ab = 2 mod 63?

(d) Quante sono le coppie (a, b) ∈ Z /(63) × Z /(63) tali che ab = 3 mod 63?

5. (Punti 2) Quante sono le funzioni da un insieme di 5 elementi ad un insieme di 8 elementi la cui immagine contiene esattamente 3 elementi?

6. (Punti 2) Consideriamo l’alfabeto inglese di 26 lettere e delle targhe auto-

mobilistica composte di 4 lettere e 3 cifre secondo lo schema LLXXXLL

dove le L sono le lettere e le X le cifre.

(2)

(a) Quante sono le targhe che hanno le tre cifre tutte diverse tra loro e disposte in ordine crescente?

(b) Quante sono le targhe in cui compaiono al massimo 2 delle 26 possibili lettere?

7. (Punti 2) Per quanti valori di a ∈ Z il polinomio x

³

+ ax + 5 ` e riducibile

in Q[x] ?

(3)

Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni di congruenze:

(a) 4x ≡ a (mod 15), dove a ∈ Z `e un parametro;

(b) x

²

≡ 1 (mod 143);

(c) 3

^x+2

Compitino di MDAL

Compitino di MDAL 31 maggio 2017

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usa- re calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si pu` o scrivere con il lapis.

Parte I, con esercizi a risposta secca.

Nelle risposte del tipo SI/NO, le risposte errate contano -1 1. (Punti 2) Sia p(x) ∈ R[x] un polinomio monico di grado 3 a coefficienti

reali tale che p(4) = 0 e p(2 + i) = 0. Determinare p(1).

2. (Punti 2) Stabilire se esiste una matrice A ∈ M

(R) che abbia: a) un solo autovalore complesso; b) esattamente due autovalori complessi; c) tre autovalori complessi. Stabilire inoltre se esista A ∈ M

(R) che sia diagonalizzabile su C ma non su R.

3. (a) Supponiamo di avere tre sottospazi vettoriali A, B, C di R

tali che A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {0}. Possiamo concluderne che dim(A + B + C) = dim(A) + dim(B) + dim(C)?

(b) Siano A, B, C tre sottospazi vettoriali di R

tali che A ⊕ B = A ⊕ C (somme dirette). Possiamo concluderne che B = C?

4. (Punti 2)

(a) Trovare tutte le soluzioni della congruenza 6x ≡ 3 mod 63.

(b) Quante sono le coppie (a, b) ∈ Z /(63) × Z /(63) tali che ab = 1 mod 63?

(c) Quante sono le coppie (a, b) ∈ Z /(63) × Z /(63) tali che ab = 2 mod 63?

(d) Quante sono le coppie (a, b) ∈ Z /(63) × Z /(63) tali che ab = 3 mod 63?

5. (Punti 2) Quante sono le funzioni da un insieme di 5 elementi ad un insieme di 8 elementi la cui immagine contiene esattamente 3 elementi?

6. (Punti 2) Consideriamo l’alfabeto inglese di 26 lettere e delle targhe auto-

mobilistica composte di 4 lettere e 3 cifre secondo lo schema LLXXXLL

dove le L sono le lettere e le X le cifre.

(a) Quante sono le targhe che hanno le tre cifre tutte diverse tra loro e disposte in ordine crescente?

(b) Quante sono le targhe in cui compaiono al massimo 2 delle 26 possibili lettere?

7. (Punti 2) Per quanti valori di a ∈ Z il polinomio x

+ ax + 5 ` e riducibile

in Q[x] ?

Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni di congruenze:

(a) 4x ≡ a (mod 15), dove a ∈ Z `e un parametro;

(b) x

≡ 1 (mod 143);

(c) 3

≡ 5 (mod 7).

Per quali valori di a il sistema con le equazioni (a), (b), (c) ammette soluzione?