Approssimazione con le splines

Approssimazione con le splines

splines

Dato l’intervallo [a, b], si consideri una successione finita di numeri reali (nodi) appartenenti all’intervallo, tali che

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < · · · < x _m+1 = b

Si individua in tal modo una partizione dell’intervallo [a, b] in

m + 1 sottointervalli I _i = [x _i , x _i+1 ], i = 0, . . . , m.

Polinomi a pezzi

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure: Polinomi a pezzi di grado 2

Splines

Definizione

Si dice funzione spline di grado n o di ordine n + 1 relativa alla partizione {x _i } ^m+1 _i=0 di [a, b], una funzione s(x ) che soddisfa le seguenti due propriet `a:

1

s(x ) `e un polinomio s _i (x ) di grado non superiore a n in ciascun sottointervallo I _i della partizione, (i = 0, . . . , m)

2

s(x ) ∈ C ⁿ⁻¹ ([a, b]), ossia la funzione e le sue derivate fino all’ordine n − 1 sono continue sull’intervallo [a, b]; ci `o significa che per ogni nodo interno alla partizione valgono le seguenti condizioni

s _i ^{(k )} (x _i+1 ) = s _i+1 ^{(k )} (x _i+1 ), i = 0, . . . , m − 1, k = 0, 1, .., n − 1

Splines

In altre parole, una spline s(x ) entro ciascun intervallo I _i `e un polinomio di grado al pi `u n che in ogni punto interno

all’intervallo `e C ^∞ e agli estremi coincide con il polinomio

relativo all’intervallo precedente (se esiste) e con quello

dell’intervallo successivo (se esiste) fino alla derivata

(n − 1)−esima.

Splines

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure: Spline di grado 1

Splines

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Figure: Spline di grado 3

Spline interpolante

Dati i punti

(x _i , y _i ), i = 0, . . . , m + 1 Vogliamo trovare una spline di grado n tale che

s(x _i ) = y _i (1)

La partizione con cui definisco la spline coincide

con le ascisse x _i .

Spline interpolante

Generalmente si usano le spline di grado 3.

Esse hanno la seguente propriet `a:

Tra tutte le funzioni f (x ) ∈ C ² [a, b] che soddisfano le condizioni di interpolazione (1) e le condizioni agli estremi scelte, le spline cubiche corrispondenti sono le sole funzioni che minimizzano l’integrale

E (f ) = Z b

a

[f

(x )] ² dx

E (f ) rappresenta una misura approssimata della curvatura totale di f in [a, b].

Quindi la spline cubica `e tra tutte le funzioni che passano

per i dati assegnati quella che ha la curvatura media

inferiore ed `e la pi `u liscia.

Spline interpolante

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Figure: Spline interpolante di grado 3 (blu) e polinomio interpolante

(verde)

Comandi di Matlab

x=ascisse dei punti da interpolare y=ordinate dei punti da interpolare

xx=vettore di ascisse in cui valutare la spline interpolante

yy=spline(x,y,xx)

restituisce i valori della spline cubica interpolante (x,y) in xx

calcolata con le condizioni agli estremi not a knot (nel secondo

e penultimo nodo si impone la continuita‘ della derivata terza)

Alcuni comandi del Toolbox splines

csapi spline cubica interpolante con condizioni not-a-knot PP = csapi(x,y)

restituisce la spline cubica interpolante nella ppform

Per ottenere i valori della spline nei punti del vettore xx si usa il comando fnval

yy=fnval(PP,xx)

Perche’ usare csapi al posto di spline? Perch `e mi fornisce in PP i vari pezzi di polinomi che formano la spline...utile perche’

posso manipolarli calcolando derivate, integrali:

dpp=fnder(PP)

Alcuni comandi del Toolbox splines

csape fornisce la spline cubica s(x ) interpolante nella ppform con condizioni agli estremi dell’intervallo [a, b] specificate dall’utente

pp=csape(x,y,’v’)

restituisce la spline naturale s ⁰⁰ (a) = s ⁰⁰ (b) = 0 pp=csape(x,y,’p’)

restituisce la spline periodica s ⁰ (a) = s ⁰ (b), s ⁰⁰ (a) = s ⁰⁰ (b)

pp=csape(x,[y’(a) y y’(b)],’clamped’)

restituisce la spline completa s ⁰ (a) = y ⁰ (a), s ⁰ (b) = y ⁰ (b).

Spline ai minimi quadrati

spap2 costruisce la spline di ordine k (espressa in termini della base B-spline associata a una data partizione) secondo il criterio dei minimi quadrati

x , y dati, k = ordine (grado+1) knots=nodi della partizione che definiscono lo spazio delle spline che si vuole usare.

sp = spap2(knots,k,x,y)

Esiste un’unica soluzione se la partizione e’ tale da soddisfare la condizione di Whitney-Schomberg

Si pu `o anche usare sp = spap2(n,k,x,y)

dove n indica il numero di pezzi da cui deve essere costituita la spline ai minimi quadrati.

Problema: scelta dei nodi della partizione

Per valutare la spline in xx si usa sempre fnval