V.A. di Bernoulli Definizione:

(1)

V.A. di Bernoulli Definizione: X è di Bernoulli ( X~Be(p) ) di parametro p ϵ(0,1) se : P(x=1) = p

P(x=0) =1-p Proprietà:

E(X) = p Var(X) = p(1-p)

Utilizzo: quando ho UNA prova nella uqale ho a disposizione solo 2 risultati, p è la probabilità che il risultato ottenuto sia positivo. (es: estrarre una pallina da un’urna e controllare che sia del colore desiderato)

V.A. Binomiale

Definizione: X è binomiale di parametri n,p ( X~Bi(n,p) ) se:

Proprietà:

E(X) = np Var(X) = np(1-p)

X,Y V.A. indipendenti

X~Bi(n,p) , Y~Bi(m,p) => (X+Y)~Bi(n+m,p)

Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove bernoulliane (es: estraendo n palline da un’urna SENZA REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)

(2)

Densità di Poisson

Definizione: si utilizza quando n>>1 e p<<1 X~P(λ)

Proprietà:

per passare da Binomiale a Poisson: P(λ) = Bi(n, ) => Bi(n,p) = P(np)

E(X) = λ Var(X) = λ

X,Y V.A. indipendenti

X~P(λ) , Y~P(μ) => (X+Y) ~P(λ+μ) Utilizzo:

1. Gli eventi sono casuali nello spazio (tempo) continuo 2. Gli eventi hanno luogo singolarmente e sono esclusivi

3. Il numero di eventi che ha luogo in un dato intervallo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo ;

4. Gli eventi sono indipendenti

5. La variabile è il numero di eventi aventi luogo nell'intervallo considerato.

V.A. Geometrica

Definizione: X~Geom(p) se:

Proprietà:

Utilizzo:

1. C'è una successione di prove;

2. Due possibili risultati (successo/insuccesso);

3. Le prove sono indipendenti;

4. La probabilità ad ogni prova rimane costante;

5. La variabile è il numero di prove necessarie per avere il primo successo

(3)

V.A. Ipergeometrica

Definizione: La distribuzione ipergeometrica I(N,M,n) descrive la variabile aleatoria X che conta, per n elementi distinti estratti a caso (in modo equiprobabile) da un insieme A di cardinalità N, quanti sono nel sottoinsieme B di cardinalità M. In termini più concreti descrive, data un'urna contenente M palline bianche e N-M palline nere, il numero di palline bianche che vengono ottenute estraendo senza reinserimento n palline.

Proprietà:

Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove (es: estraendo n palline da un’urna CON REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)

DISTRIBUZIONE

Definizione: La distribuzione χ

²

(k) descrive la variabile aleatoria

,

dove X

1

,...,X

k

sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard . Il parametro k è detto numero di gradi di libertà.

Proprietà:

Utilizzo: In statistica la distribuzione χ² viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi χ² e per stimare una varianza