Allegato Esercizi 1^ Lezione

(1)

1^ Lezione

• Matrici e determinanti .

• Operazioni tra matrici .

• Proprietà delle matrici .

• Determinante .

• Proprietà dei determinanti . -

Allegato Esercizi

(2)

MATRICI E DETERMINANTI

Si definisce matrice, con notazione A_{m n}_, , un insieme ordinato di elementi (numeri reali), disposti per righe (indice m), disposti per colonne (indice n).

Per indicare correttamente una matrice di m-righe ed n-colonne scriveremo :

m n righe n n colonne

→ °

con a_{i j}_, che indicano gli elementi della matrice (numeri reali).

Allo stesso modo gli indici (i,j) indicano la posizione dell’elemento rispettivamente alla i-esima riga ed alla j-esima colonna.

Una matrice A_{m n}_, la noteremo per esteso come segue :

A

a a a

m n

n n

m m mn

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

=













11 12 1

21 22 2

1 2

oppure in forma compatta ^A^{m n}^, ⁼

[ ]

^a^{i j}^, , ricordando che potremo usare la parentesi quadra e allo stesso modo la tonda. Ricordiamo inoltre che gli indici m,n indicano quelle che noi chiameremo le dimensioni della matrice.

Le matrici si possono classificare in :









≠

→

=

→

n m i rettagolar

n m quadrate

Una matrice quadrata dunque la si potrà rappresentare :

{ }

A_{m n}_, = a_{i j}_,

( )

A_n = a_{i j}_,

(3)

indicandone per esteso la sua rappresentazione :

A

a a a

n

n n

n n nn

=













11 12 1

21 22 2

1 2

...

... ... ... ...

...

Gli elementi a₁₁,a₂₂,....,a_nn costituiscono quella che si chiama diagonale principale , e quindi li chiameremo elementi diagonali ( o principali ). Allo stesso modo gli elementi

n n

n a a

a ₁, ₋₁_,₂,...., ₁ formano la diagonale secondaria .

Date due matrici Am_,n =

( )

ai_,j , Bm_,n =

( )

bi_,j , si dicono uguali se e solo se : a_{i j}_, =b_{i j}_, → ∀i j, ∈ℜ

Data una matrice ^A^{m n}^, ⁼

( )

^a^{i j}^, ed una matrice ^B^{m n}^, ⁼

( )

^b^{i j}^, , quest’ultima si dice trasposta di A se :

b_{i j}_, =a_{i j}_,

e si indica con A^t e avrà come righe le colonne di A e come colonne le righe di A .

Data una matrice A₁_,n =

(

a₁₁,a₁₂,...,a₁n

)

essa viene definita come vettore riga.

Allo stesso modo A a a

a

n

n ,¹ . . .

11 12

1

=













viene definita come vettore colonna.

(4)

Per MATRICE TRIANGOLARE si intende quella matrice tale che :

a i j i j

i j, = → >

<



0  A a

a

n

nn

=













11 22

0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

in cui tutti gli elementi soprastanti o sottostanti la diagonale principale sono nulli. Nel caso specifico se a_{i j}_, =0 con i> j la matrice si dice triangolare alta ; se invece a_{i j}_, =0 con i< j la matrice è detta triangolare bassa.

Per MATRICE DIAGONALE ^Aⁿ ⁼

( )

^a^{i j}^, intenderemo quella matrice tale che :

a a

i j i j , ,

=

≠ 0

0 con i j i j

≠

= A a

a

n

nn

=













11 22

0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

Per MATRICE UNITÀ (o identica) , ^Iⁿ ⁼

( )

^a^{i j}^, , intenderemo una matrice tale che :

a a

i j i j , ,

=

= 0

1 con i j i j

≠

= I_n =













1 0 0

0 1 0

0 0 1

. . . . . . . . . . . . . .

. . .

(5)

Per MATRICE SIMMETRICA ^Aⁿ ⁼

( )

^a^{i j}^, si intende quella matrice tale che :

a_{i j}_, =a_{j i}_, con i≠ j e per la quale A_n^t = A_n.

A

a a a

n

n n

n n nn

=













11 12 1

21 22 2

1 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

Es. A₄

2 1 1 2

1 0 5 3

1 5 1 1

2 3 1 0

=

+ − + +

− − +

+ − + +

+ + +













OPERAZIONI TRA MATRICI

Per somma e differenza tra due matrici ^A^{m n}^, ⁼

( )

^a^{i j}^, ^,^B^{m n}^, ⁼

( )

^b^{i j}^, intenderemo la matrice ^C^{m n}^, ⁼

(

^a^{i j}^, ^±^b^{i j}^,

)

così ottenuta :

A

a a a

m n

n

n n mn

,

. . . . . . . . . . . . . . .

. . .

11 12 1

1 2

















± B

b b b

m n

n

n n mn

,

. . . . . . . . . . . . . . .

. . .

11 12 1

1 2















 = C

a b a b a b

m n

n n

n n n n mn mn

,

. . .

. . . . . . . . . . . .

. . .

11 11 12 12 1 1

1 1 2 2

± ± ±

















con ovvia considerazione : la somma e la differenza di matrici è possibile se e solo se le matrici sono della stessa dimensione ( stesso n° di righe , stesso n° di colonne ).

(6)

Per prodotto di uno scalare , ( K ∈ℜ) , per una matrice ^A^{m n}^, ⁼

( )

^a^{i j}^, si intende quella matrice i cui elementi vengono tutti moltiplicati per K.

^kA^{m n}^, ⁼

( )

^ka^{i j}^, ^→^A

ka ka ka

m n

n n

m m mn

,

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . .

=













11 12 1

21 22 2

1 2

Es. k =2 , A_{3 2}

1 2

0 1

2 1

, =

− +

−

+ +

















→ kA_{3 2}

2 4

0 2

4 2

, =

− +

−

+ +

















Se k = −1 il prodotto di k per una matrice ^A^{m n}^, ⁼

( )

^a^{i j}^, , ci dà una matrice ⁻ ^A^{m n}^, ^{= −}

( )

^a^{i j}^,

detta opposta di ^A^{m n}^, ⁼

( )

^a^{i j}^, cioè tale che ^A+ −

( )

^A =0 (matr. Nulla).

Prodotto di matrici

Date due matrici ^A^{m n}^, ⁼

( )

^a^{i j}^, ^,^B^{n p}^, ⁼

( )

^b^{i j}^, noi intenderemo come prodotto delle due matrici A×B , una matrice ^C^{m p}^, ⁼

( )

^c^{i j}^, che avrà lo stesso n° di righe A e lo stesso n° di colonne di B .

Il prodotto denominato righe × colonne sarà possibile se e solo se il n° di colonne di A è uguale al n° di righe di B .

Avremo quindi :

A_{m n}_, ⋅B_{n p}_, =C_{m p}_,

( )

^c^{i j}^, con c_{i j}_, =a b_i_{1 1}_j +a b_i_{2 2}_j+ +. . . a b_in _nj

(7)

che si può sintetizzare tramite il simbolo di sommatoria : c_{i j} a b_ir _rj

r n

, =

∑

= 1

.

Es. Date le matrici A_{2 3} 2 0 2

2 1 3

, = − −

+ + +



 

 , B_{3 3}

1 1 0

2 2 3

1 1 1

, =

− +

+ − −

+ − +

















calcolarne il prodotto :

Si avrà che A_{2 3}_, ⋅B_{3 3}_, = C_{2 3}_, c c c

c c c

11 12 13

21 22 23







 con :

c₁₁=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− ⋅ − +2 1 0 ⋅ + + − ⋅ + =2 2 1 0 , c =₁₂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⁻² ^⋅ ⁺¹ ⁺ ⁰ ^⋅ ⁻² ⁺ ⁻² ^⋅ ⁻¹ ⁼⁰

c =13

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−² ⋅ ⁰ + ⁰ ⋅ −³ + −² ⋅ +¹ =−² , c =₂₁

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+² ⋅ −¹ + +¹ ⋅ +² + +³ ⋅ +¹ =+³ c =22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+² ⋅ +¹ + +¹ ⋅ −² + +³ ⋅ −¹ =−³ , c =₂₃

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+² ⋅ ⁰ + +¹ ⋅ −³ + +³ ⋅ +¹ =⁰

quindi sarà : C_{2 3} 0 0 2

3 3 0

, = −

+ −







 .

PROPRIETA’ DELLE MATRICI

Nell’insieme delle matrici M, sono valide le seguenti proprietà:

1) (A+B)+C = A+(B+C) ( prop. associativa )

2) A+0 = 0+A = A ( esistenza elemento neutro ) 3) A+ (-A) = (-A)+A = O ( esistenza elemento opposto ) 4) A+B = B+A ( proprietà commutativa ) 5) 1⋅A = A ( operatore unità )

6) h⋅( A) = (k hk A ( propr. associativa mista ))

(8)

7) (h+k)A = h A + k A ( prop. distribut. rispetto alla somma di scalari ) 8) h (A+B) = h A + h B ( prop. distribut. rispetto alla somma di matrici )

qualunque siano le matrici A , B , C e gli scalari h , k .

DETERMINANTE di una matrice A_n

Per determinante di una matrice A_n, intenderemo quel valore numerico (e quindi un numero reale), espresso da un insieme di operazioni polinomiali, dettate da tutti gli elementi della matrice.

Nel caso più specifico esaminiamo i determinanti di alcuni ordini di matrici.

Determinante di una matrice di ordine 1 .

^A1 =

[ ]

^a11 ⇒ det A₁ = a₁₁ =a₁₁

quindi il determinante di una matrice del 1° ordine è dato direttamente dal valore espresso dall’unico suo elemento.

Determinante di una matrice di ordine 2.

A a a

a a

2

11 12

21 22

=





 ⇒ det A a a

a a

2

11 12

21 22

= = a a₁₁ ₂₂−a a_{21 12}

(9)

il determinante di una matrice del 2° ordine è dato dalla differenza dei prodotti degli elementi che costituiscono , rispettivamente, la diagonale principale ( a a₁₁ ₂₂ ) e la diagonale secondaria ( a a_{21 12} ).

Determinante di una matrice di ordine 3 .

Ci si può avvalere di due metodi di calcolo.

1) METODO DI SARRUS ( valido esclusivamente per matrici con n=3 )

2) METODO GENERALE ( secondo lo sviluppo di una linea della matrice )

Calcoliamo quindi il det A₃ mediante il metodo di Sarrus .

det A₃=

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

→

a a a a a

11 12 13 11 12

21 22 23 21 23

31 32 33 31 33

^{det A}3 =

(

^{a a a}11 22 33+^{a a a}12 23 31+^{a a a}13 21 32

) (

− ^{a a a}31 22 13+^{a a a}32 23 11+^{a a a}33 21 12

)

.

Tale metodo consiste quindi nel riportare , parallelamente alla 3^ colonna, le prime due, ed eseguire la somma delle tre diagonali principali alle quali viene sottratta la somma delle tre diagonali secondarie.

Es. Calcolare il determinante :

A₃

1 2 1

0 3 2

1 4 2

=

− + −

+ +

+ + −

(10)

4 1 2 4 1

3 0 2 3 0

2 1 1 2 1

3

+ +

− + +

+ +

+

−

− +

−

=

DetA ⇒ (+ + − − − = +6 4) ( 3 8) 21

Il METODO GENERALE ( Laplace - secondo lo sviluppo di una sua linea ) per il calcolo di un determinante è un metodo di validità generale, ossia per matrici di qualunque ordine.

Esso si fonda sulla scelta arbitraria di una linea ( di solito è conveniente quella con il maggior numerodi zeri ) che viene sviluppata elemento per elemento, considerando il cambio di segno oppure no a seconda della posizione, dispari o pari, dell’elemento considerato.

Lo sviluppo si basa sulla somma dei prodotti di ciascun elemento della linea per il corrispondente complemento algebrico, ossia una sottomatrice ( detta anche minore ) che si ottiene dalla soppressione della i-esima riga e j-esima colonna cui appartiene l’elemento stesso.

Visualizzando tale metodo avremo: ( scegliendo per es. la prima riga )

A₃=

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

















Il segno di ogni elemento è stabilito dalla posizione ( )−1 ^{i j}⁺ .

det A a a a

a a a a a

a a

3 11

22 23

32 33

12

21 23

31 33

13

21 22

31 32

= ⋅ − ⋅ + ⋅

complemento algebrico

(11)

Calcolare il determinante di A₄:

A₄

1 2 3 2

1 4 1 2

3 0 2 1

1 2 1 1

=

+ − + +

+ + − +

+ − +

+ − + +













det A₄ 1

4 1 2

0 2 1

2 1 1

2

1 1 2

3 2 1

1 1 1

3

1 4 2

3 0 1

1 2 1

2

1 4 1

3 0 2

1 2 1

= +

+ − +

− +

− + +

+

+ − +

+ + +

+

+ + +

+ +

+ − +

−

+ + −

+ −

+ − +

det A₄ = + − + − − + − + − + − + + − + + −1 8( 2 8 4) 2( 2 6 1 4 1 3) (3 12 4 2 12)− + − − −2( 6 8 4 12)

det A₄ = − + −( 18 18 54+36)= −18

Notiamo che se riusciamo ad ottenere il maggior n° di zeri in una linea della matrice iniziale, il calcolo del determinante è sicuramente più semplice.

L’azzeramento di elementi di una linea in una matrice si ottiene tramite quelle che vengono definite come operazioni elementari di linee.

Tali operazioni vengono definite da:

a) somma e differenza di linee (riga o colonna) ,

b) moltiplicazione di uno scalare

(

k∈ℜ^,k≠⁰

)

per una linea , c) scambio di linee.

(12)

a) Per somma o differenza di due linee, intenderemo ancora una linea che avrà come elementi la somma o la differenza dei rispettivi elementi.

b) Per moltiplicazione di uno scalare k per una linea, intenderemo ancora una linea che avrà come elementi il prodotto di k per ogni elemento della linea.

Facciamo quindi vedere, tramite questa serie di operazioni, come il calcolo del determinante dell’esempio precedente sia più semplice e più veloce.

Calcolare il determinante:

A₄

1 2 3 2

1 4 1 2

3 0 2 1

1 2 1 1

=

+ − + +

+ + − +

+ − +

+ − + +













Dal momento che la scelta della linea è arbitraria noi possiamo prendere una riga o una colonna qualsiasi. Per esempio consideriamo la 3^ riga (vi è già un elemento nullo, uno zero)

Per annullare ad esempio il primo elemento (+3), possiamo moltiplicare per (-3) la prima riga, e quindi in sostituzione della 3^ riga la somma della stessa con la 1^.

A₄

1 2 3 2

1 4 1 2

3 0 2 1

1 2 1 1

=

+ − + +

+ + − +

+ − +

+ − + +













≅

− + − −

+ + − +

+ − +

+ − + +













3 6 9 6

1 4 1 2

3 0 2 1

1 2 1 1

≅

− + − −

+ + − +

+ − −

+ − + +













3 6 9 6

1 4 1 2

0 6 11 5

1 2 1 1

1^_ri→−3⋅1^_ri 3^_ri→3^_ri+1^_ri

(13)

In questo modo si può notare come, avendo annullato il primo elemento della terza riga, non abbiamo avuto un effettivo vantaggio, in quanto ci ritroviamo con un solo zero su una linea come all’inizio. Quindi importante sarà lavorare, ad esempio sempre con la 3^ riga, ma in modo tale che si ottengano altri zeri oltre a quello iniziale.

A₄

1 2 3 2

1 4 1 2

3 0 2 1

1 2 1 1

=

+ − + +

+ + − +

+ − +

+ − + +













 ≅

+ − + −

+ + − −

+ − −

+ − + −













1 2 3 6

1 4 1 6

3 0 2 3

1 2 1 3

≅

+ − + −

+ + − −

+ −

+ − + −













1 2 3 5

1 4 1 5

3 0 2 0

1 2 1 2

≅

+ − + −

+ + − −

+ −

+ − + −













2 2 9 5

2 4 3 5

6 0 6 0

2 2 3 2

4^_col→ − ⋅3 4^_col 4^_col→1^_col+4^_col 1^_col( )+2 3, ^_col( )+3

≅

+ − + −

+ + − −

+

+ − + −













2 2 11 5

2 4 1 5

6 0 0 0

2 2 5 2

e di qui calcolando il relativo determinante con il metodo generale , scegliendo evidentemente come linea arbitraria la 3^ riga, avremo che:

det A₄

2 2 11 5

2 4 1 5

6 0 0 0

2 2 5 2

=

+ − + −

+ + − −

+

+ − + −

= + ⋅

− + −

+ − −

− + −

6

2 11 5

4 1 5

2 5 2

= +324

e di qui ricordando che nei vari passaggi abbiamo complessivamente moltiplicato per ( ) ( ) ( )− ⋅ + ⋅ + = −3 2 3 18 , e che quindi per l’assoluta equivalenza divideremo per −18, otteniamo infine

(

⁺³²⁴

) (

^{÷ −}¹⁸

)

^{= −}18 come doveva essere.

(14)

PROPRIETA’ DEI DETERMINANTI

a) la matrice trasposta di una data ha lo stesso determinante della data.

b) se una matrice ha una linea tutta nulla , il suo determinante è nullo.

c) scambiando due linee parallele (riga con riga, colonna con colonna) di una matrice, il suo determinante cambia solo di segno.

d) se in una matrice due linee parallele sono uguali (stessi elementi) il suo det. è nullo.

e) se in una matrice due linee parallele sono proporzionali, il suo determinante è zero.

f) se in una matrice si spostano , parallelamente a se stesse, di n-posti due linee, il determinante rimane invariato o cambia di segno , a seconda che n sia pari o dispari.

g) se in una matrice gli elementi di una sua linea vengono moltiplicati per uno scalare k, anche il determinante rimane moltiplicato per k.

Minore complementare e complemento algebrico di una matrice A_n

Data una matrice A_n, chiameremo minore complementare di un suo elemento a_{h k}_, , il determinante di ordine n-1, che si ottiene sopprimendo, dalla matrice data, la riga h-esima e la colonna k-esima.

Es. A

a a a

n

n n

n n nn

=













11 12 1

21 22 2

1 2

...

... ... ... ...

...

→

a a

n

n nn

22 2

2

...

... ... ...

...

minore complementare di a₁₁

Chiameremo altresì complemento algebrico dell’elemento a_{h k}_, il determinante di ordine n-1, come sopra indicato con il rispettivo segno.

(15)

Es. ( )−1^{1 1}⁺

a a

n

n nn

22 2

2

...

... ... ...

...

complemento algebrico di a₁₁

Possiamo dunque riassumere dicendo che il determinante di una matrice A_n è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una linea per i corrispondenti complementi algebrici.

(16)

ESERCIZI SUL CALCOLO DEL DETERMINANTE E DELLA MATRICE INVERSA ESERCIZI SULLA SOMMA, SOTTRAZIONE E PRODOTTO TRA MATRICI

(17)

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?

RISOLVI

NASCONDI

INDICE

(18)

Eseguire , quando possibile , le seguenti operazioni di somma , sottrazione e moltiplicazione tra matrici :

1. 



 





− +

−

= −



 





− +

+

= −

2 1

1 , 4

1 3

2

1 B

A



 





−

= −



 





+

−

= +



 





− +

−

 −



 





− +

+

= −



 





+ +

+

= +



 





− +

−

− −



 





− +

+

= −

−



 





− +

+

= −



 





− +

− + −



 





− +

+

= − +

1 13

3 6 2

3 1 12

4 1 2 4 2

1 1

* 4 1 3

2

* 1

1 2

3 3 2

1 1 4 1

3 2 1

3 4

1 5 2

1 1 4 1

3 2 1

B A

2. 



 





− +

+

= −



 





−

= −

1 6

2 , 2

1 2

5

0 B

A



 





+

− +

= −



 





+

−

+

= −



 





− +

+

 −



 





−

= −



 





−

= +



 





− +

+

− −



 





−

= −

−



 





− +

−

= −



 





− +

+ + −



 





−

= − +

5 10

5 30 1

4 6 4

5 0 30 0 1

6 2

* 2 1 2

5

* 0

0 4

7 2 1

6 2 2 1

2 5 0

2 8

3 2 1

6 2 2 1

2 5 0

B A

?

(19)

3. 



 





−

− +

= −

















+ +

−

= −

2 1

4 , 3

3 1 1 2 1 1

B A

















− +

= −



 





−

− + + −

















+ +

−

= − +

3 0 5

2 3 7 2

1 4 3 3

1 1 2 1 1 B

A

















+

−

= +

















− +

−

+

−

= +



 





−

− +

−

















+ +

−

= −

















+ +

−

= +



 





−

− +

− −

















+ +

−

= −

−

3 10 3

10 2 0 5

3 4 2 3 3 1

2 2 2 1

3 2

1 4

* 3 3 1 1 2 1 1

*

3 2 7 2 5 5 2

1 4 3 3

1 1 2 1 1

B A

4.

















− +

−

− +

=

















−

− +

−

+ +

−

=

1 1

1 0

2 1 ,

1 1 2

0 1 1

1 1 1

B A

















− +

+

−

=

















+ +

−

− + +

+ + + + +

−

− + + +

−

=

















− +

−

− +

















−

− +

−

+ +

−

=

2 1

3 1

0 0 1

1 4 1 0 2

0 1 2 0 0 1

1 1 2 1 0 1 1

1 1 0

2 1

* 1 1 2

0 1 1

1 1 1

* B

A

?

(20)

5.

















+

−

− +

−

=

















+

−

+ + +

=

0 0 1

4 2 1

1 1 1 ,

0 4 0

0 3 2

3 1 2

B A

















+

− +

+ +

−

− +

=

















+

−

− +

−

















+

−

+ + +

=

















+

−

+

−

+ + +

=

















+

−

− +

−

















+

−

+ + +

=

−

















+ +

−

+ +

=

















+

−

− +

−

− +

















+

−

+ + +

= +

16 8 4

14 8 1

6 4 2 0

0 1

4 2 1

1 1 1

* 0 4 0

0 3 2

3 1 2

*

0 4 1

4 1 3

4 2 3 0

0 1

4 2 1

1 1 1 0

4 0

0 3 2

3 1 2

0 4 1

4 5 1

2 0 1 0

0 1

4 2 1

1 1 1 0

4 0

0 3 2

3 1 2

B A

6.

















+

−

− +

=

















+

−

− +

=

2 2

3 1

1 6 ,

4 1

0 0

3 2

B A

















+ +

− +

−

=

















+

−

− +

−

















+

−

− +

=

−

















+

− +

−

− +

=

















+

−

− + +

















+

−

− +

= +

2 1

3 1

2 4 2

2 3 1

1 6 4

1 0 0

3 2

6 3

3 1

4 8 2

2 3 1

1 6 4

1 0 0

3 2

B A

?

(21)

7.

[ ]

















+

− +

=

− +

−

=

3 1

1 0

3 1 ,

5 1

2 B

A

[ ] [

² ⁰ ⁵ ⁶ ¹ ¹⁵

] [

³ ⁸

]

3 1

1 0

3 1

* 5 1 2

* = − + + + + − = + −

















+

− +

−

= B A

8.

















−

− +

−

=

















− + +

−

− + +

=

3 1 0

1 2 4

2 1 2 ,

2 1 1

1 5 5

0 1 1

B A

















+ + +

+ +

−

− +

=

















−

− +

−

















− + +

−

− + +

=

















+ + +

+

−

+ +

=

















−

− +

−

















− + +

−

− + +

=

−

















− +

−

− +

−

=

















−

− +

















− + +

−

− + +

= +

3 1 2

12 4 10

3 1 2 3

1 0

1 2 4

2 1 2

* 2 1 1

1 5 5

0 1 1

*

1 2 1

2 3 9

2 0 3 3

1 0

1 2 4

2 1 2 2

1 1

1 5 5

0 1 1

5 0 1

0 7 1

2 2 1 3

1 0

1 2 4

2 1 2 2

1 1

1 5 5

0 1 1

B A

9. 

 





−

+ +

−

= −



 





+ +

− +

= −

1 0 1 0

3 1 2 , 1

0 1 1 1

0 0 2

1 B

A



 





+ + +

−

= +



 





−

+ +

−

− −



 





+ +

− +

= −

−



 





− +

−

+ +

= −



 





−

+ +

− + −



 





+ +

− +

= − +

1 1 2 1

3 1 4 0 1

0 1 0

3 1 2 1 0

1 1 1

0 0 2 1

1 1 0 1

3 1 0 2 1

0 1 0

3 1 2 1 0

1 1 1

0 0 2 1

B A

?

(22)

Calcolare il determinante e , quando possibile , la matrice inversa delle seguenti matrici :

10. 

 





− +

+

= −













− +

+

= −

1 1

3 , 4

2 1

1 2

1

B A

( ) ( )



 





−

= −

⇒















−

− =

⋅

= +

− + =

⋅

= −

−

⋅ =

= −

−

− =

⋅

= +

=

−

− = +

+

= −

=

−

− = +

+

= −

−

4 1

3 1

1 4 4 1

1 1 1 1

1 3 3 1

1 1 1 1

1 3

1 4 1

3 0 4

1 1 1

2 1

1

22 21 12 11

B

b b b b

B A

infatti come da verifica : 



 



 +

= +



 





−

⋅ −



 





− +

+

= −

⋅ ⁻

1 0

0 1 4

1 3 1 1 1

3

1 4 B B

?

(23)

11. 



 





− +

+

= −



 





−

= −

1 7

1 , 1

1 3

2

0 B

A

( ) ( )

















=

⇒















− =

−

⋅

= +

− =

⋅

= −

− = +

⋅

= −

− =

−

⋅

= +

















−

= −

⇒















⋅ =

= +

−

⋅ =

= −

− =

⋅

= −

−

− =

⋅

= +

−

=

−

− = +

+

= − +

= +

− =

= −

−

6 1 6 7

6 1 6 1

6 1 6

1 1

6 7 6

7 1

6 1 6

1 1

6 1 6

1 1

, 2 0

1 3 1 6 1

6 0 0 1

2 1 6

3 1

3 1 6

2 1

6 1 6

1 1

6 7

1 1 7

1 6 1

6 1 0

3 2 0

1

22 21 12 11

1

22 21 12 11

B

b b b b

A

a a a a

B A

infatti come da verifica :



 



 +

= +

















−

⋅ −



 





−

= −

⋅ ⁻

1 0

0 1 2 0

1 3 1 6 1 1 3

2

1 0 A

A 



 



 +

= +

















⋅



 





− +

+

= −

⋅ ⁻

1 0

0 1 6

1 6

7 6

1 6 1 1 7

1

1 1 B B

12. 



 





+

− +

= −



 



 +

= −

1 1

4 , 4

2 1

1

0 B

A

( ) ( )



 





−

= +

⇒ −















⋅ =

= +

−

⋅ =

= −

− =

⋅

= −

⋅ =

= +

− + =

− +

= − +

= + + =

= −

0 1

1 1 2

1 0 0 1

1 1 1 1

1 2 2 1

0 4

1 4 1

4 1 4

1 2 0

1 1 0

22 21 12 11

A

a a a a

B A

infatti come da verifica : 



 



 +

= +



 





−

⋅ +



 



 +

= −

⋅ ⁻

1 0

0 1 0

1 1 2 2 1

1

1 0 A A

?

(24)

13.

















− +

−

+ +

− +

−

=

















−

− +

+

− +

+ +

−

=

1 1 1

3 1 0

1 1 1 ,

2 1 1

1 1 2

3 2 2

B A

( ) ( ) ( )































−

− =

⇒

−

− = +

+

⋅ − +

=

− = +

+

⋅ −

−

=

−

− = +

−

⋅ + +

=

+ = +

+

⋅ −

−

= +

− = +

+

⋅− +

= +

− = +

+

⋅ +

−

=

+ =

− +

⋅ + +

=

− =

− +

⋅ +

−

=

− =

− +

⋅ − +

=

= +

− +

−

− +

−

− = +

− + +

− +

+

− +

−

− +

− −

=

−

− +

+

− +

+ +

−

=

2 0 1

8 1 5

5 1 3 1

1 2 1 2

2 1 2

, 1 0

1 1

2 1 2

, 1 1

1 1

1 1 2

1 8 1 2

3 1 2

, 1 1

2 1

3 1 2

, 1 5

2 1

1 1 2

5 1

1 1

3 1 2

, 1 1

2 1

3 1 2

, 3 1

2 1

1 1 1

1 1

2 3 1 4 2 1 2 1 2

1 1 3 2

2 1

1 2 2

2 1

1 2 1

2 1 1

1 1 2

3 2 2

33 32

31

23 22

21

13 12

11

A

a a

a

a a

a

a a

a A

















=

















−

⋅

















−

− +

+

− +

+ +

−

=

⋅ ⁻

1 0 0

0 1 0

0 0 1 2 0 1

8 1 5

5 1 3 2 1 1

1 1 2

3 2 2 A 1

A

0 1

1 1

3 1 0

1 1 1

=

− +

−

+ +

− +

−

=

B non esiste quindi l'inversa.

?

(25)

14.

















−

=

















+ +

−

+

− +

=

0 1 0

4 2 1

1 1 0 ,

0 4 0

1 1 2

3 1 1

B A

























 − −

=

⇒

− =

−

⋅ + +

=

− = +

−

⋅ +

−

=

− = +

−

⋅ − +

=

− = +

− +

⋅ +

−

=

− = +

⋅+ +

=

− = +

⋅ −

−

=

−

− = +

− +

⋅ − +

=

−

− = +

+

⋅ −

−

=

− = +

+

⋅ − +

=

− + =

− +

= +

+

−

+

− +

=

−

28 3 7 1 7 2

4 0 1 0

14 1 7 3 7 1

28 3 28

1 2

1 1 1

7 , 1 28

4 0

1 1 1

7 , 2 28

4 0

1 1 2

4 1 28

1 2

3 1 1

, 28 0

0 0

3 1 1

, 28 0

0 0

1 1 2

14 1 28

1 1

3 1 1

7 , 3 28

0 4

3 1 1

7 , 1 28

0 4

1 1 1

1 28 2

3 4 1

0 4 0

1 1 2

3 1 1

1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

A

a a

a

a a

a

a a

a A

















=











 − −

⋅

















+ +

−

+

− +

=

⋅ ⁻

1 0 0

0 1 0

0 0 1

28 3 7 1 7

2 4

0 1 0

14 1 7 3 7 1

0 4 0

1 1 2

3 1 1 A 1

A

?

(26)































+

−

− + +

−

=

⇒

− = +

⋅ − +

=

− =

⋅ −

−

=

−

− =

−

⋅+ +

=

−

− = +

⋅ −

−

=

⋅ − +

=

−

⋅ +

−

=

− =

−

⋅ − +

=

− =

−

⋅ −

−

=

−

− =

−

⋅− +

=

+

− =

−

− −

=

−

− +

−

=

−

1 0 1

1 0 0

2 1 4

1 1 2 1

1 1 0

, 1 0

1 0

1 1 0

, 1 1

1 0

2 1 1

1 1 4 1

1 1 0

, 1 0

0 0

1 1 0

, 1 0

0 0

4 1 1

1 2 4 2

1 1 1

, 1 1

0 1

1 1 1

, 1 4

0 1

4 1 2

0 1 1

1 1 1

0 1 0

4 2 1

1 1 0

1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

B

b b

b

b b

b

b b

b B

















=

















+

−

− + +

−

⋅

















−

− +

−

=

⋅ ⁻

1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 0 1

1 0 0

2 1 4 0

1 0

4 2 1

1 1 0 B 1

B

15.













+ +

−

− +

−

=













+

−

− +

−

− +

−

+

− +

−

=

0 3 1 1

0 2 1 1

0 1 0 0

1 1 1 0 ,

1 1 1 2

1 0 1 1

0 1 1 0

2 1 1 1

B A

2^ . 2^ . 3^ .

1 1 0 2

1 0 1 1

0 1 0 0

2 1 2 1

1 1 1 2

1 0 1 1

0 1 1 0

2 1 1 1

col col

col

A ⇒ → −













+

− +

−

− +

−

≅













+

−

− +

−

− +

−

+

− +

−

=

?

(27)

e quindi : 1 1 0 2

1 1 1

2 2 1 1 1

1 0 2

1 0 1 1

0 1 0 0

2 1 2 1

−

= + +

−

− +

+ +

−

⋅ +

⇒ +

− +

−

− +

−

= A















+

− =

−

− +

− + +

−

⋅

−

=

−

− =

+

− +

− + +

−

⋅ +

=

+

− =

+

− +

−

− +

+ +

−

⋅

−

=

−

− =

+

− +

−

− +

−

⋅ +

=

−

− =

− +

−

⋅ +

= +

− = +

− +

−

⋅

−

=

−

− =

+

− +

+

−

⋅ +

= +

− =

+

− +

−

⋅

−

=

− =

−

+

− +

⋅

−

= +

− = +

−

+

− +

⋅ +

=

−

− = +

−

+

− +

⋅

−

= +

− = +

−

⋅ +

=

1 1 1 1 1

0 1 0

2 1 1 1 ,

1 5

1 1 2

0 1 0

2 1 1 1

1 1

1 1 2

1 1 1

2 1 1 1 ,

1 3

1 1 2

1 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0 1

0 1 0

2 1 1 1 ,

1 5

1 1 2

0 1 0

2 1 1 1

1 2

1 1 2

1 0 1

2 1 1 1 ,

1 3

1 1 2

1 0 1

0 1 0 1

1 0 1 0 1

0 1 1

2 1 1 1 ,

1 2 1 1 1

0 1 1

2 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 1

2 1 1 1 ,

1 1 1 1 1

1 0 1

0 1 1 1

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

a a