ESERCIZI IN CLASSE – 2F 18/9/2017 – 2E 19/9/2017
Nell'esercitazione in classe ho ampliato la richiesta chiedendo per ciascuna delle affermazioni il motivo per cui fosse vero o falsa.
Lettera “a”: la proposizione è falsa.
Si può dimostrare la falsità in vari modi. L'equazione, per risultare un'identità, dovrebbe essere vera per qualunque valore di x. Per dimostrare che non è un'identità basta trovare anche un solo valore di x per cui l'uguaglianza sia falsa.
Ricordando il prodotto notevole del quadrato del binomio (A+B)2=A2+2 A B+ B2 si osserva subito che il polinomio a destra non è lo sviluppo del quadrato del binomio a sinistra. È sbagliato il doppio prodotto che dovrebbe essere 2×2 x×1
2=2 x .
Nel caso non si ricordasse il prodotto notevole si può semplicemente attribuire dei valori all'incognita x e verificare l'uguaglianza. Ponendo x=1 si ottiene l'uguaglianza
(2+1 2)
2
=4+1+1
4 ovvero 25 4 =21
4 che è falsa.
Lettera”b”: la proposizione è vera.
L'equazione x2+1=0 non ha nessuna soluzione, visto che a sinistra c'è un numero maggiore o uguale a 1 mentre a destra c'è 0, dunque l'equazione è impossibile e non determinata.
Per stabilire che x2+1=0 è impossibile, si può anche considerare l'equazione equivalente x2=−1 e osservare che il quadrato di un qualsiasi numero non può essere negativo.
Lettera “c”: la proposizione è falsa
Sapendo a priori che delle quattro scelte proposte una era vera e le altre false è scontato che alle lettere “c” e “d” avremo delle proposizioni false. Analizziamo comunque nello specifico la proposizione.
Sostituendo nell'equazione 5×0=5 è falsa. Dunque x=0 non è soluzione.
È facile constatare che in realtà la soluzione dell'equazione è x=1 Lettera “d”: la proposizione è falsa
L'equazione si risolve in modo immediato, la soluzione è x=0 , dunque è determinata e non impossibile.
Se non ci si rende conto in modo immediato della soluzione possiamo eseguire alcuni semplici passaggi
3 x=5 x
3 x−5 x=0
−2 x=0 x=0
Lettera “a”: la proposizione è falsa.
La prima equazione ci dice semplicemente x=5 .
Nella seconda equazione attribuire tale valore all'incognita ci porterebbe ad una divisione per zero: 5
5−0= 5
5−0 . Anche se a destra e a sinistra dell'uguaglianza abbiamo la stessa espressione numerica non si tratta di un''uguaglianza tra numeri, perché quell'espressione numerica non definisce un numero. Non definisce niente, purtroppo.
Dunque le due equazioni non possono essere equivalenti, perché la prima ha una soluzione ma la seconda non ha quella stessa soluzione (non ne ha nessuna in effetti).
Lettera “b”: la proposizione è falsa.
Il dominio di un'equazione è l'insieme dei valori accettabili come soluzioni.
Nell'espressione a sinistra vediamo un denominatore con incognita: x2−9 .
Tale denominatore si annulla effettivamente per x=3 ma anche per x=−3 . Dunque il dominio indicato nella proposizione è troppo grande, perché esclude x=3 ma contiene
x=−3 .
Lettera “c”: la proposizione è falsa.
Nell'espressione a sinistra vediamo un denominatore con incognita: x2+1 .
Tale denominatore non è nullo, qualunque valore sostituisca alla x. (Vedi anche il punto 1b).
Dunque le soluzioni di tale equazioni potremo cercarle tra tutti i valori reali compresi quelli esclusi nella proposizione. Il dominio è tutto l'insieme dei numeri reali.
Lettera “d”: la proposizione è vera.
Come esempio possiamo prendere proprio l'equazione frazionaria della lettera “c” che ha come dominio l'intero insieme dei reali.
Lettera “a”: la proposizione è vera.
La prima equazione ci dice semplicemente x=3 .
Sostituendo nella seconda equazione otteniamo 3(3−4)=3(3−4) ovvero −3=−3 ovvero un'identità. Dunque le due equazioni hanno la stessa soluzione, ovvero sono equivalenti.
Lettera “b”: la proposizione è falsa
Sostituendo nell'equazione otteniamo x2−9 ovvero 0 2=0
0 . Dunque 1 non può essere soluzione dell'equazione, non appartiene nemmeno al dominio dell'equazione.
Lettera “c”: la proposizione è vera Per definizione.
Il dominio è l'insieme dei valori accettabili dalle espressioni dell'equazione, tale insieme contiene in particolare le soluzioni. Le soluzioni sono i valori che rendono vera l'uguaglianza. I valori che non fanno parte del dominio dell'equazione non hanno il corrispondente valore nelle espressioni dell'equazione e quindi non potremmo nemmeno stabilire se l'uguaglianza sia falsa o vera.
Lettera “d”: la proposizione è vera
L'insieme delle soluzioni è contenuto nel dominio dell'equazione. Dunque una equazione indeterminata avrò come soluzione tutti i valori contenuti nel dominio.
Lettera “a”: occorre fare qualche precisazione.
L'affermazione fa riferimento alle pagine 561, 562, 570 dello stesso libro. In tali pagine gli autori hanno deciso di definire “discussione” una fase ben precisa dell'attività di risoluzione, (per il dettaglio potete, anzi dovete, rileggere le pagine indicate) confondendo, a mio
modesto parere, la forma con la sostanza. È abbastanza chiaro che l'intenzione degli autori era fare riferimento a quanto scritto in precedenza e in particolare alla frase “...se tali valori esistono, si procede alla discussione dell'equazione...” mentre in precedenza avevano scritto
“..se tali valori non esistono allora l'equazione è determinata...”. Attenendoci a quanto scrivono gli autori la proposizione della lettera a risulta falsa, in quanto nel libro abbiamo letto che non sempre si procede alla discussione, ma soltanto “..se tali valori esistono...”.
In realtà la discussione (nel senso di “analisi approfondita”) è già iniziata nel momento in cui mi sono posto il problema “...se tali valori esistono...” oppure no. La discussione la facciamo sempre! Dunque da questo punto di vista la proposizione della lettera a risulta vera.
Questi punti di vista rimarranno delle semplici opinioni, dipende da cosa intendiamo con la parola “discussione”, ovvero se la intendiamo nel suo significato nella lingua italiana e se definiamo (arbitrariamente), come “discussione” un preciso momento di un'analisi più vasta.
Il vero errore degli autori è stato quelle di mettere tra le proposizioni a cui attribuire un valore vero/falso, una proposizione non matematica, ovvero una proposizione per cui sia opinabile stabilire il valore vero/falso.
Lettera “b”: la proposizione è falsa
Sostituiamo il parametro k e risolviamo l'equazione.
(3−2) x=3−3 ovvero x=0 . Dunque l'equazione ha una soluzione, non è impossibile.
Lettera “c”: la proposizione è vera.
Come prima sostituiamo il parametro a e risolviamo l'equazione.
(4−5) x=4−3 ovvero x=−1 Lettera “d”: la proposizione è vera.
Non facciamoci spaventare dal numero indicato come soluzione, molto scomodo da gestire.
Sostituiamo il parametro come indicato.
((−2)2+4(−2)+4) x=(−2)2−4 Ovvero 0 x=0 che è un classico esempio di equazione indeterminata. Le soluzioni di questa equazione sono tutti (ma proprio tutti) i numeri reali, quindi, in particolare, anche quello indicato nella proposizione.
Equazione 5
(2 x +1)2−2−2−1+x=2 (2 x+3)( x+1)−2 x+1 2 4 x2+4 x+1−2−1
2+x=4 x2+4 x+6 x+6−2 x 2 −1
2 1−2+ x=6 x+6−2 x
2
−1+x=6 x+6−x
−1+x=5 x+6 x−5 x =6+1
−4 x=7 4 x=−7 x=−7
4 Equazione 6
x−5
x+3+2 x−7
x−4 =3− 6 x−31 x2−x−12
Si osservi che (x+3)( x−4)= x2−x−12 dunque il dominio dell'equazione è l'insieme R−{−3 ;4 } . Cerchiamo un denominatore comune per tutte le frazioni.
(x−5)(x−4)
(x+3)( x−4)+(2 x−7)(x+3)
(x−4)(x +3) =3(x2−x−12)−(6 x−31) x2−x−12
A questo punto possiamo disinteressarci del denominatore.
x2−5 x−4 x+20+2 x2−7 x+6 x−21=3 x2−3 x−36−6 x+31 3 x2−10 x−1=3 x2−9 x−5
−10 x−1=−9 x−5
−10 x+9 x=−5+1
−x=−4 x=4
La soluzione che abbiamo trovato non appartiene al dominio dell'equazione e quindi non possiamo accettarla. L'equazione è impossibile.
Equazione 7
x−3 x−1+ x
3−x+ 5 x−9 (x−2)2−1=0
Si osservi che (x−2)2−1= x2−4 x+4−1=x2−4 x+3=( x−1)(x−3) . Dunque il dominio dell'equazione è l'insieme R−{1 ;3} . Cerchiamo un denominatore comune per tutte le frazioni.
(x−3)( x−3)
(x−1)( x−3)− x ( x−1)
(x−3)(x−1)+ 5 x−9
(x−1)( x−3)=0
A questo punto possiamo disinteressarci del denominatore.
x2−6 x+9−x2+x+5 x−9=0 0 x=0
L'equazione è indeterminata Equazione 8
a+ x
4−4 a+a2− 1
a−3+ 3+ x a2−5 a+6=0
Si osservi che 4−4 a+a2=(2−a )2 e che a2−5 a+6=(a−2)(a−3) . Dunque a∈R−{2 ;3} altrimenti avremmo delle divisioni per 0.
Quindi nel caso a=2 e nel caso a=3 l'equazione è impossibile o, per meglio dire, non esiste proprio l'equazione.
Per tutti gli altri casi risolviamo rispetto a x a+ x
(a−2)2− 1
a−3+ 3+ x
(a−2)(a−3)=0 (a+ x)(a−3)
(a−2)2(a−3)− a2−4 a+4
(a−3)(a−2)2+(3+x )(a−2) (a−3)(a−2)2=0
Possiamo disinteressarci del denominatore.
a2−3 a+a x−3 x−a2+4 a−4+3 a−6+a x−2 x=0 2 a x−5 x+4 a−10=0
(2 a−5) x=−4 a+10 Con a=5
2 otteniamo l'equazione 0 x=0 che è indeterminata.
Con a≠5
2 otteniamo x=−2(2 a−5)
(2 a−5) ovvero x=−2 Ricapitolando:
a=2 non esiste l'equazione a=3 non esiste l'equazione
a=5
2 l'equazione è indeterminata per tutti gli altri valori di a la soluzione è x=−2 Equazione 9
1
x−1= a x+1 Il dominio dell'equazione è R−{1 ;−1}
x+1=a (x−1) x+1=a x−a x−a x =−1−a x (1−a)=−(1+a ) escludendo il caso a=1
x=−1+a 1−a con a=1 l'equazione diventa 1
x−1= 1
x+1 ovvero x−1=x+1 ovvero impossibile.
Indichiamo con x il numero di metri quadri del nuovo appartamento.
L'appartamento in centro viene venduto al costo di 2600( x−60) L'appartamento in periferia viene acquistato pagando 1000 x Conoscendo il guadagno possiamo impostare l'equazione
2600( x−60)−1000 x=132000 Ed ora risolviamo l'equazione.
2600 x−156000−1000 x=132000 2600 x−1000 x=132000+156000 1600 x=288000
x=180
Il nuovo appartamento è di 180 metri quadri.
