ESERCIZI IN CLASSE – 2F 25/9/2017 – 2E 25/9/2017
Lettera a: FALSO
Infatti se prendiamo a=−1 la seconda disequazione diventa −x>−4 ovvero x<4 che evidentemente a soluzioni diverse rispetto alla prima equazione.
Lettera b: VERO
Ovvio, passando ai reciproci il verso della disuguaglianza si inverte, ciò che nella prima disequazione moltiplicata, nella seconda divide e viceversa.
Lettera c: FALSO
Esempio: 0 x>0 Non ha soluzioni.
Lettera d: FALSO (in generale)
Se consideriamo le disequazioni di qualsiasi grado ecco un esempio: (x−1)2≤0 Non è impossibile perché ha una soluzione: x=1 .
Ma ha soltanto quella soluzione, perché per tutti gli altri valori della x il quadrato è sempre positivo.
La proposizione poteva essere considerata vera per le sole disequazioni di primo grado.
Lettera a: VERO
Che moltiplichi o che divida per a è irrilevante, ciò che è rilevante è che moltiplico entrambi i membri per un numero negativo (il reciproco di a) e quindi il segno di disuguaglianza deve essere invertito per mantenere l'equivalenza delle disequazioni.
Lettera b: VERO
Entrambe le disequazioni sono equivalenti alla disequazione x>2 . Nel primo caso è
sufficiente dividere entrambi i membri per a, nel secondo caso , dopo aver diviso entrambi i membri per b devo anche invertire il simbolo di disuguaglianza, perché b è negativo.
Lettera c: VERO
Per quanto riguarda la prima disequazione, riconosciamo lo sviluppo del quadrato:
(x−1)2>0 . Tale disequazione ha come soluzioni tutti i valori di x tali che x≠1 .
Nella seconda disequazione dobbiamo porre x≠1 per non incorrere in una divisione per zero, ma una volta fatta questa premessa dobbiamo convenire che la disuguaglianza è vera per tutti gli altri valori di x, dato che abbiamo a che fare con una potenza di ordine pari.
In conclusione le due disequazioni hanno le stesse soluzioni e quindi sono equivalenti.
Lettera d: VERO
La disequazione può servire anche come ulteriore esempio per la proposizione 1 d.
Riconosciamo il quadrato di un binomio: (x2−4)2≤0 .
Anche se ufficialmente non sappiamo ancora risolvere equazioni di secondo grado, ci rendiamo conto abbastanza facilmente che il binomio x2−4 si annulla per x=2∨x=−2 . Per questi due valori è verificata l'uguaglianza mentre la disuguaglianza non potrà mai essere verificata: si tratta di una potenza di ordine pari, sempre positiva o nulla.
Lettera a: VERO
Anche senza aver mai risolto un sistema di disequazioni nella propria vita possiamo facilmente renderci conto che la prima disequazione è equivalente a x≤3 e che la seconda disequazione è equivalente a x≥3 . L'unica soluzione comune ad entrambe le disequazioni è x=3 .
Lettera b: FALSO
Non importa mettersi a fare lo schema, non importa nemmeno sapere che si determinano le soluzioni disegnando un piccolo schema grafico. La prima cosa che salta all'occhio è che nelle soluzioni presentate nel testo è compreso anche x=−3 . Ma tale soluzione deve essere esclusa perché mi porta ad una divisione per zero.
Lettera c: FALSO
La diseguaglianza è vera per qualunque valore di x quindi S=R, non certo l'insieme vuoto!
Lettera d: VERO
Prima di lamentarci del fatto di non saper risolvere i sistemi di disequazioni, osserviamo bene: le due disequazioni del sistema sono equivalenti, posso trasformare l'una nell'altra semplicemente cambiando segno e invertendo il simbolo di disuguaglianza.
Dunque questa sembra un sistema, ma in realtà è una sola disequazione di primo grado, la cui soluzioni sono le x≥1 . Nel testo l'insieme delle soluzioni è rappresentato in forma di intervallo della retta reale.
Secondo il mio modesto parere è più comodo mettere tutti i numeri in forma di frazione (ma questa è solo una questione di gusto e stile). (x−1
2)
2
−1 2(x−1
3)>(x+1 2)
2
Sviluppo i quadrati e distribuisco il coefficiente. x2−x+1 4−1
2x+1
6>x2+x+1 4 Semplifico. −x−1
2 x+1 6>x
Raccolgo le x a sinistra e i termini noti a destra. −x−1
2 x−x>−1
6 ; −5
2x>−1 6 Cambio segno. 5
2 x<1 6
E infine applico il secondo principio di equivalenza. x<1 6×2
5 Ovvero x< 1 15
A mio modesto parere è più comodo rimandare il calcolo del comune denominatore più in là che si può (ma anche in questo caso si tratta di gusto e stile). Quindi inizio la manipolazione del polinomio distribuendo il 2 più esterno. x−1−4 (x+1
3 −1−2 x 2 )<1 E poi distribuisco il 4. x−1−4 x+4
3 +2(1−2 x)<1
Mi preparo a raccogliere x da una parte e termini noti dall'altra. x−1−4 3 x+4
3−2+4 x<1 Ovvero −3 x−4
3 x<4 3
E finalmente diamo un denominatore comune −9−4 3 x<4
3 Ovvero −13
3 x <4
3 ovvero x>− 4 13
Questa volta il sistema di disequazioni dobbiamo risolverlo per davvero.
La prima disequazione è equivalente a x≥0
Lavoriamo sulla seconda disequazione: −x−x>1 2−3
4 ovvero −2 x>2−3
4 ovvero
−x>−1
8 ovvero x<1 8
Lavoriamo sulla terza disequazione: 3−x+2>3 x ovvero 5>4 x ovvero 5
4>x ovvero x<5
4
Per farci un'idea delle soluzioni possiamo aiutarci con un semplice grafico:
Le linee continue orizzontali ci indicano in quale zona della retta si trovano le soluzioni delle singole disequazioni. Per poter risolvere il sistema mi occorre l'intersezione di questi tre insiemi di soluzioni, ovvero la zona dove vedo tutte e tre le semirette. Dalla figure ci è facile constatare che con 0≤x<1
8 tutte e tre le disequazioni del sistema sono risolte e quindi questo è proprio l'insieme delle soluzioni del sistema.
Prima di cominciare a manipolare le espressioni osserviamo che dall'insieme delle soluzioni dobbiamo escludere x=1 . Per tale valore avremmo delle divisioni per zero.
Dunque poniamo x≠1 .
Riscriviamo la disequazioni in modo più comodo: (1+2−x
x−1)(2 x−3)<3−x x−1
In questo modo possiamo subito togliere il denominatore: (x−1+2−x )(2 x−3)<3−x Ma attenzione! Questo passaggio è valido solo nel caso x>1 . Andiamo avanti.
(1)(2 x−3)<3−x Ovvero: 2 x+ x<3+3 Ovvero: 3 x<6 Ovvero: x<2 Abbiamo dunque trovato una parte di soluzioni: 1<x <2 .
Nel caso x<1 possiamo fare gli stessi identici calcoli, ma il simbolo di disuguaglianza deve essere invertito. Si arriva così ad ottenere x>2 ma non è coerente con la condizione che abbiamo posto a priori. Dunque non esistono soluzioni a sinistra di 1.
L'insieme delle soluzioni in definitiva è 1<x <2 .
Se il metodo fin qui usato vi pare troppo “cervellotico” potete evitare le considerazioni sul cambio di verso della disuguaglianza semplicemente trasportando tutto a primo membro.
Ripartiamo da qui: (1+2−x
x−1)(2 x−3)<3−x x−1 . Porto tutto a sinistra: (1+2−x
x−1)(2 x−3)−3−x
x−1<0 e manipolo l'espressione.
(x−1+2−x )(2 x−3)−(3−x )
x−1 <0 Ovvero 2 x−3−3+ x
x−1 <0 ovvero 3 x−6 x−1 <0 ovvero 3(x−2)
x−1 <0 . La frazione avrà segno negativo nel caso in cui numeratore e denominatore siano discordi, ovvero nel caso x>2∧x<1 oppure nel caso x<2∧x>1 . Nessun valore di x soddisfa al primo caso, mentre il secondo caso si può descrivere pi+
sinteticamente scrivendo: 1<x <2
Come spesso accade negli esercizi presi dai libri, ci aspettiamo che il terzo denominatore sia
il prodotto degli altri due, o qualcosa del genere. In effetti osservando i coefficienti del polinomio di secondo grado si intuisce facilmente che: 3+2 x−x2=(3−x )(x+1)
Tenete anche presente che 2 x+2=2( x+1)
Dunque, prima di cominciare a manipolare le espressioni poniamo delle condizioni di esistenza: x≠3∧x≠−1 altrimenti avremmo delle divisioni per zero.
Il denominatore comune non sarà il polinomio di secondo grado ma il suo doppio. Si arriva così alle disequazioni
−2 x−2+5(3−x )≤6 nel caso (3−x)( x+1)>0
−2 x−2+5(3−x )≥6 nel caso (3−x)( x+1)<0
Manipoliamo la prima disequazione: −2 x−2+15−5 x≤6 ovvero −7 x≤−7 ovvero x≥1 .
Dunque
x≥1 nel caso (3−x)( x+1)>0 x≤1 nel caso (3−x)( x+1)<0
Per chiarirci le idee possiamo usare una schema grafico
(3−x)( x+1)>0 corrisponde alla zona −1<x<3 dove le soluzioni sono le x≥1 (3−x)( x+1)<0 corrisponde alla zona x>3∨x <−1 dove le soluzioni sono le x≤1 Combinando tutte queste condizioni possiamo alla fine stabilire che le soluzioni della disequazione sono x<−1∨{1< x<3} (riga più alta).
Se dovesse essere troppo “cervellotico” eliminare subito il denominatore per poi distinguere i due casi si potrebbe fare più tranquillamente in questo modo:
Una volta poste le condizioni di esistenza x≠3∧x≠−1 porto tutto quanto al primo membro.
1
x−3+ 5
2 x+2− 3
3+2 x−x2≤0
Poi mi preparo a trasformare le tre frazioni in una sola, determinando il denominatore comune.
−1
3−x+ 5
2( x+1)− 3
(3−x)(x+1)≤0 E finalmente −2 x−2+15−5 x−6
2 (3−x)(x +1) ≤0 ovvero −7 x+7 2(3−x)( x+1)≤0 ovvero 7(1−x )
2(3−x)( x+1)≤0
Per capire meglio la situazione facciamo una schema grafico.
Le soluzioni delle disequazione le trovo dove ci sono due e soltanto due linee continue.
Poteva andare bene anche una zona con nessuna linea continua, ma questo caso non si verifica.
Dunque x<−1∨{1< x<3}
Sempre più difficile!
Adesso abbiamo un sistema composta da due disequazioni fratte. Occorrerà fare le cose con calma e ordine.
Cominciamo dal porre le condizioni di esistenza: x≠3 altrimenti nel primo denominatore si verificherebbe una divisione per zero. Il secondo denominatore non dà problemi perché è positivo per qualunque valore di x.
La prima disequazione si risolve abbastanza facilmente. Non c'è bisogno di manipolare le espressione, ci basta verificare che i due denominatori siano concordi. Ci va bene anche il valore x=2 per cui vale l'uguaglianza.
Il numeratore è positivo per x>2 ; il denominatore è positivo per x<3
Dunque le soluzioni della prima disequazione sono le x tali che 2≤x<3
Per quanto riguarda la seconda disequazione le cose sono più semplici: visto che il denominatore è sempre positivo il segno è determinato dal numeratore che è positivo per x<2 e nullo per x=2 . In altre parole le soluzioni della seconda disequazione sono le x≤2
L'unica soluzione in comune tra le due disequazioni è x=2 e questa è dunque l'unica soluzione del sistema di disequazioni.
