f Cl So C ~ p\.1A p"'Ccolo ~a.3t't--Kl

Analisi Matematica 1, Scritto l-A. Durata della prova: 2 ore 1.2.10

Domanda 1

[3+2 punti]

(i) Dare la definizione di estremo superiore per Ull insieme D C R

(ii] Fare un esempio di un sottoinsieme dei numeri naturali N che ha estremo superiore, ma non massimo.

Risposta

(i)

s:

^{o ~ ~ (,\}

f Cl So C ~ p\.1A p"'Ccolo ~a.3t't--Kl

~6

---~~-[ ;::~

(ii)

______________________ ~ ~_~ __t~~~~~~~~~~ _

Domanda 2

[2+3 punti]

(i) Enunciare il Teorema sulla formula di Taylor con il resto di Lagrange.

(ii) Scrivere ilpolinomio di Taylor di ordine 4 elif(x) ⁼ln(co~(x)) in :r:o = Q.

(ii) ~ t ~-, - -t'" ^-+ :r:

-t()()( \{}~ -

t ^{-t Ol)(Z)}

~( 1.-±i-) ~ t -- 41.. ~. ^{«2 t.f} "lJ ^~{-~O

~

-x. -

^~

Esercizio 1

[3 punti]

Sia

1

E C°(lR) tale che lim :1;'1(x) =O. Allora

T-t±OO

[§lJ 1

non ammette massimo e minimo in

]R

}( f(x)

=

o(l/x)

per x -7 ±oo

~ f '

monotona crescente

[ill ^f(x)

^{'" e-~ per :/:-7 ±oo}

Esercizio 2

[3 punti)

00

Posto

a

^{n =}ln(l

+

l/n), b^{n =}ln(l.- l/n), la serie

L

(aⁿ

+

bⁿ⁾

11.=1

[§lJ

diverge a +00 ~converge

@

oscilla

[ill

^{diverge a -00}

~(t-+-a)~~( ~-~) ~ ~(t1:~~)-(1--~Ù ~ b~-1--~'")

---~.~~v@e~·-~-L l~~~~ì

4(Q Risoluzione

'-",+~~~

~}~"""~t",,) ""~

~~41

/N{.~~~

Esercizio 3

^{[3 punti]}

Sia

1 :

^{]R2 -7} IR tale che la derivata direzionale ~~(O,O) di

f

in (O,O) é una funzione

non

lineare di v =(VI, V2). Allora

~ 1

^{non é continua in (O,O)}

[Il

1(0,O)

=

O

~ 1

^{non é derivabile in (O,O)}

~ f

non é differenziabile in (O,O)

(Sugg.:

Utilizzare il

Teorema del

Gmdiente)

Risoluzione

k t----"è~J&=--=-' ~,----,~~\~4=t~k---..-) ----"!:~=-."u.=--=-..~ ...•.

^{-=AI~ _}

~ F _{~ V (}

t)I O) ':!

~.,t.

^~~"t-t

l't)" ^Q:...L_· v---..:e"----'----'-~=-:...=~ ::L: ~_. ;.-. r, V.

Esercizio 4

_[4punti]

Stabilire il

carattere

della serie

Risoluzione

Esercizio 5 [4

punti]

Trovare

o: E

lRin modo tale che

l (l )

+

^{sin(x) -x}

n -x --e

e.

lim ^{x -... "}

~·~O x^{ex - ,}

sia diverso da

Q.

Risoluzione

.1 w., t x.. l "'- 'I... - :f ^{± O Lx.:ll} =. 't-:Yl", ^-:1-- + ^{oh U ) (X-H)}

e- ~~ -:t- + (-,cl + ~ + ~ ()( ") (X-,& 0J

-p~t.'f\O ~ t,,~~~~\~ ~'---- _

g-:,. ~ : !:~\. - ^{f ~ 'i- '4- «. .}

2..-ol~O

[~~-?J

Esercizio 6

[5 punti]

Calcolare

:t': ^f"/' _Jx

^{:r) (h dy}

Y- ove X

=

{(x;y) E]R2 : X E [1.2]'

,;2 :::; y:::;

^:L,2}

atti ^(')0/2tJ09:

Risoluzione

'L

-'"::.:=---.s :f ^{J- "'-~}

"1.

Le