Università del Piemonte Orientale –Alessandria
Algebra lineare - Corsi di Laurea in matematica e Fisica
Prova scritta del 9 maggio 2007
1. Considerata la matrice:
A = 0 BB
@
0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 3 0
0 0 0 1
1 CC A
(a) Calcolare gli autovalori di A ed una base di ogni autospazio.
(b) Dire se la matrice A è diagonalizzabile.
(c) Scrivere il polinomio caratteristico della matrice A4.
(d) Quante soluzioni ha il sistema lineare 0 BB
@
0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 3 0
0 0 0 1
1 CC A
40 BB
@ x y z t
1 CC A =
0 BB
@ x y z t
1 CC A?
2. Fissata in R3 la base canonica e il prodotto scalare standard, si considerino i sottospazi
V = span 8<
: 0
@ 2 1 1
1 A ;
0
@ 1
1 2
1 A
9=
;
W = span 8<
: 0
@ 2 0 1
1 A ;
0
@ 0 1 2
1 A
9=
;
Calcolare la dimensione di (V + W )? e di (V \ W )?.
3. Una matrice A n n si dice nilpotente se 9 un intero k > 0 tale che Ak = 0: Il più piccolo k > 0 per cui Ak= 0 si dice indice di nilpotenza di A:
(a) Trovare il polinomio caratteristico di una matrice n n nilpotente A:
(b) Dimostrare che se A è nilpotente e diagonalizzabile allora l’indice di nilpotenza è k = 1:
(c) Dimostrare che due matrici simili e nilpotenti hanno lo stesso indice di nilpotenza.
4. Sia S una matrice simmetrica, dimostrare che S e S2 hanno lo stesso nucleo.
Soluzione di alcuni punti
1.
0 BB
@
0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 3 0
0 0 0 1
1 CC
A autovettori e autovalori:
8>
><
>>
: 0 BB
@ 0 0 0 1
1 CC A ;
0 BB
@ 2 0 1 0
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 1;
8>
><
>>
: 0 BB
@ 0 1 0 0
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 1;
8>
><
>>
: 0 BB
@
1 2
0 1 0
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 4
3b. Dimostrare che se A è nilpotente e diagonalizzabile allora l’indice di nilpotenza è k = 1:Per il punto precedente la forma diagonale è la matrice nulla, per cui:
A = C0C 1 = 0
3c. Dimostrare che due matrici simili e nilpotenti hanno lo stesso indice di nilpotenza. Siano r e s gli indici di nilpotenza di A e B rispettivamente. Si ha:
Br = C 1AC r= C 1ArC = C 10C = 0) s r As = C 1BC s= C 1BsC = C 10C = 0) r s
4. Sia S una matrice simmetrica, dimostrare che S e S2 hanno lo stesso nucleo. Se S è invertibile è chiaro che anche S2 lo è e viceversa, e quindi in questo caso hanno lo stesso nucleo costituito dal solo vettore nullo. Se S non è invertibile, sia v 6= 0 2 ker S; allora:
S2v = S(Sv) = S(0) = 0) v 2 ker S2 ) ker S ker S2 Viceversa, sia v 2 ker S2; allora si ha:
0 = S2v; v = (SSv; v) = Sv; Stv = (Sv; Sv) =kSvk2 ) Sv = 0 ) ker S2 ker S
