Notazione posizionale e codifica

FONDAMENTI DI INFORMATICA

Prof. PIER LUCA MONTESSORO Facoltà di Ingegneria

Università degli Studi di Udine

Notazione posizionale e codifica

dei numeri interi positivi

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Nota di Copyright

Notazione posizionale

127

1•10 ² 2•10 ¹ 7•10 ⁰

Notazione posizionale

• In generale:

0 1

2 3

2

1 a a a a a

a _n ⁻ _n ⁻ _n ⁻ L

0 1

2 2

2 2

1 1

a b

a b

a

b a

b a

N _n ⁿ _n ⁿ

+ +

+

+ +

= ₋ ⁻ ₋ ⁻ L

L

Notazione posizionale

• In generale:

0 1

2 3

2

1 a a a a a

a _n ⁻ _n ⁻ _n ⁻ L

0 1

2 2

2 2

1 1

a b

a b

a

b a

b a

N _n ⁿ _n ⁿ

+ +

+

+ +

= ₋ ⁻ ₋ ⁻ L

L

b = “base” a _i ^{∈ [0, b-1]}

Esempi

1022 ₃ = 1• 3 ³ + 0 • 3 ² + 2• 3 + 2 = 35 ₁₀ 10010 ₂ = 1• 2 ⁴ + 1 • 2 ¹ = 18 ₁₀

3354 ₅ errato!

Conversione da base b a base 10

0 1

2 2

1

0 1

2 4

2 3

1

0 1

2 3

2 2

1

0 1

2 2 2

2 1

1

) )

) (

((

) )

((

) (

a b

a b

a b

a b

a

a b

a b

a b

a b

a

a b

a b

a b

a b

a

a b

a b

a b

a b

a N

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

+ +

+ +

+

=

= +

+ +

+ +

= +

+ +

+ +

= +

+ +

+ +

=

−

−

− −

− −

− −

− −

− −

− −

L L

L

L L

L

Esempio:

conversione da base 3 a base 10

1 0 2 2 ₃

1

1•3=3

3+0=3

3•3=9

9+2=11

11•3=33

33+2=35

A B

C

D

E

F

G

Conversione da base 10 a base b

0 1

2 2

1 ) ) )

(

(( a b a b a b a b a N = L _{n −} + _{n −} + L + + +

1 2

2

1 ) )

(

( L a _{n −} b + a _{n −} b + L + a b + a a ⁰

dividendo per b:

quoziente resto

dividendo ancora per b:

ecc.

2 2

1 )

(

( L a _{n −} b + a _{n −} b + L + a a 1

quoziente resto

Esempio:

conversione da base 10 a base 3 35 ₁₀ 2

:3

11

quoziente resto

2 3

quoziente resto

:3 :3

1

0 1 0

:3

quoziente resto

quoziente resto

risultato

A

B

C

D

In base 2

• Rappresentazione detta “binario puro”

• Esempio:

10010 ₂ = 18 ₁₀

Basi più comuni

• Binario (base 2)

– cifre 0, 1

– es. 01001011

• Ottale (base 8)

– cifre 0...7 – es. 3672 ₈

• Esadecimale (base 16)

– cifre 0…9,A,B,C,D,E,F

– es. 3FAE (h = “hexadecimal”)

Conversione base 2 - base 8

10001011 ₂

213 ₈

10001011 ₂

8 = 2 ³ !!!

Conversione base 2 - base 16

10001011 ₂

8B _h

10001011 ₂

16 = 2 ⁴ !!!

Minimo e massimo valore rappresentabile in binario puro

Minimo numero di bit necessari a rappresentare un valore dato

1 2

0 ≤ N ≤ ⁿ −

⎡ ^{log 2 ( + 1 )} ⎤

= N

n = “CEILING” = “PRIMO

INTERO SUPERIORE”

⎡ ⎤

Aritmetica finita

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4

5 + 4 = 9 Su 3 bit:

2 1

3 5 4

6 7

0 1

2 3 4 5 + 4 = 1 (?) 101 +

100 = _____

1 001

Il riporto viene perso!

Rappresentazione in binario puro

000

010

001

011 101

110

111 0

2 1

3 5 4

6 7

100

Su 3 bit: