Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 2015/16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 2015/16

Esercizio 1 Per quali valori n ∈ Z \ {0} l’espressione (n + 5)(n + 6)

6n

` e un numero intero positivo?

Soluzione. Il problema si pu` o affrontare studiando l’equazione (n + 5)(n + 6) = 6kn

con k intero positivo, ossia

n ² − (6k − 11)n + 30 = 0

e cercando di capire per quali k ci sono radici intere. Bisogna intanto capire quando il

∆ = (6k − 11) ² − 120 `e un quadrato m <sup>2</sup> . Visto che ∆ ` e dispari, m deve essere dispari. Si ricava

[(6k − 11) + m][(6k − 11) − m] = 120

dove i fattori fra parentesi quadre sono interi positivi pari, dunque abbiamo al massimo 4 possibilit` a: (60,2), (30,4), (20,6), (12, 10). Di queste, solo la prima e la terza danno origine ad un k e ad un m interi ((k, m) = (7, 29) nel primo caso e (k, m) = (4, 7) nel terzo caso). Per (k, m) = (7, 29) abbiamo due soluzioni dell’equazione: n = 1 e n = 30.

Per (k, m) = (4, 7) abbiamo due soluzioni dell’equazione: n = 3 e n = 10. Abbiamo cos`ı trovato tutte le soluzioni intere.

Esercizio 2 Abbiamo di fronte tre urne, che denotiamo con A, B e C. Le urne A e B contengono entrambe 40 palline, numerate da 1 a 40, mentre l’urna C ` e vuota. Si estrae una pallina da A e una pallina da B. Se il prodotto dei loro numeri ` e pari le palline vengono eliminate, altrimenti ne viene eliminata una e l’altra inserita nell’urna C. Si ripete l’operazione fino all’esaurimento delle palline in A e B.

(a) Se k ≥ 0 ` e un numero intero, qual ` e la probabilit` a che al termine delle estrazioni l’urna C contenga k palline?

(b) Per quali valori di k tale probabilit` a ` e massima?

Soluzione. Le possibili sequenze di coppie di palline estratte (“casi possibili”) sono (40!) ² . Per k = 0, 1, . . . , 20, contiamo le sequenze per cui alla fine ci sono k palline nell’urna C.

• Cominciamo con scegliere l’ordine con cui vengono estratte le palline dall’urna A:

40! possibilit` a.

• Fissata la scelta al punto precedente, vengono individuate le 20 “posizioni” corrispon- denti alle palline dispari. In queste posizioni vanno “inserite” esattamente k palline dispari dell’urna B. Scegliamo dunque k palline dispari (  20

k



possibilit` a), 20 − k palline pari (

 20

20 − k



=  20 k



possibilit` a) e le disponiamo arbitrariamente nelle 20 posizioni sopracitate (20! possibilit` a).

• Le rimanenti 20 palline non scelte al punto precedente, vengono inserite nelle 20 posizioni corrispondenti alle palline pari estratte da A (20! possibilit` a).

I “casi favorevoli” sono pertanto

40!  20 k

 2

(20!) ² ,

da cui segue che la probabilit` a che al termine delle estrazioni l’urna C contenga k palline

` e

casi favorevoli casi possibili =

40!  20 k

 2

(20!) ²

(40!) ² =

 20 k

 2

 40 20

 .

Tale quantit` a ` e massima se  20 k



` e massimo, cio` e per k = 10.

Esercizio 3 Paolo possiede una collezione E di punti del piano, cio` e un sottoinsieme E di IR <sup>2</sup> . Pu` o ampliare la sua collezione in questo modo: scegliendo quattro punti A, B, C, D di E , egli pu` o aggiungere a E il punto P (se esiste) di intersezione tra le rette AB e CD.

(a) All’inizio la collezione E ` e formata dai punti (0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 2), (2, 2). Paolo vorrebbe aggiungere alla sua collezione il punto ( <sub>2015</sub> <sup>1</sup> , <sub>2015</sub> <sup>1</sup> ): ` e possibile farlo in un numero finito di passaggi?

(b) All’inizio la collezione E ` e formata da un numero finito di punti, tutti a coordinate intere. Dimostrare che Paolo non pu` o aggiungere alla sua collezione il punto (0, √

2).

Soluzione. Dati quattro punti (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), (x ₃ , y ₃ ), (x ₄ , y ₄ ) usiamo la notazione com- patta (x ₁ , y ₁ )(x ₂ , y ₂ ) ∩ (x ₃ , y ₃ )(x ₄ , y ₄ ) per indicare il punto di intersezione fra la retta passante per (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ) e la retta passante per (x 3 , y 3 ) e (x 4 , y 4 ).

(a) Possiamo aggiungere a E , nell’ordine, i seguenti punti:

– (1, 1) = (0, 0)(2, 2) ∩ (0, 2)(2, 0)

– (1, 2) = (1, 0)(1, 1) ∩ (0, 2)(2, 2)

– ( ¹ ₂ , 1) = (0, 0)(1, 2) ∩ (1, 0)(0, 2) – (0, 1) = ( ¹ ₂ , 1)(1, 1) ∩ (0, 0)(0, 2) – (2, 1) = (2, 0)(2, 2) ∩ (0, 1)(1, 1).

A questo punto la collezione comprende i punti (0, 1), (1, 1), (2, 1) e i punti “sottostan-

ti” (0, 0), (1, 0), (2, 0); possiamo allora aggiungere i punti “sottostanti” (0, −1), (1, −1), (2, −1) in questo modo:

– (0, −1) = (0, 1)(0, 0) ∩ (2, 1)(1, 0) – (2, −1) = (2, 1)(2, 0) ∩ (0, 1)(1, 0) – (1, −1) = (0, −1)(2, −1) ∩ (1, 1)(1, 0).

Ragionando per induzione in maniera analoga possiamo allora includere nella col- lezione tutti i punti del tipo (0, n), (1, n), (2, n) per n ≤ −1 intero. In particolare possiamo includere il punto (1, −2013) ed osservare che allora possiamo includere ( ₂₀₁₅ ¹ , ₂₀₁₅ ¹ ) = (0, 1)(1, −2013) ∩ (0, 0)(1, 1).

(b) E’ facile vedere che se la collezione comprende solo punti a coordinate razionali, allora si possono aggiungere solo punti a coordinate razionali. Infatti si ricordi che la retta passante per (a, b) e (c, d) ha equazione (c − a)(y − b) = (d − b)(x − a)); si deduce che le coordinate di un punto aggiunto sono soluzione di un sistema di due equazioni lineari, nelle incognite x e y, a coefficienti razionali, e quindi sono esse stesse razionali. Pertanto, non ` e possibile aggiungere alla collezione il punto (0, √

2).

Esercizio 4 In questo esercizio useremo la nozione astratta di distanza. Se X ` e un insieme, si dice distanza una funzione d : X × X → IR tale che

(i) per ogni x, y ∈ X, si ha che d(x, y) ≥ 0; inoltre d(x, y) = 0 se e solo se x = y;

(ii) per ogni x, y ∈ X si ha che d(x, y) = d(y, x).

(iii) per ogni x, y, z ∈ X si ha che d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Inoltre, se x ∈ X e r > 0, chiamiamo palla di centro x e raggio r l’insieme B(x, r) := {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.

Sia ora E un insieme finito, e denotiamo con X l’insieme delle successioni a valori in E.

Quindi, se x ∈ X, x = (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n , . . .), con x _n ∈ E per ogni n ≥ 1.

Per x, y ∈ X poniamo

d(x, y) := 2 ^{− min{n:x}

^6=y

^} , dove conveniamo che min ∅ = +∞ e 2 ^−∞ = 0.

(a) Mostrare che tale funzione d ` e una distanza.

(b) Mostrare inoltre che per ogni r > 0, X ` e l’unione di un numero finito di palle di raggio r.

Soluzione.

(a) La (i) segue dal fatto che d(x, y) = 0 se e solo se {n : x _n 6= y _n } = ∅, cio`e x = y.

La (ii) ` e ovvia, essendo la definizione di d del tutto simmetrica. Per dimostrare (c), siano x, y, z ∈ X, con d(x, y) = k e d(y, z) = h. Senza perdita di generalit` a possiamo assumere k ≥ h. Dalla definizione di d segue che, per n ≤ h, x _n = y _n = z _n , e perci` o

d(x, z) ≤ 2 ^−h ≤ 2 ^−h + 2 ^−k = d(x, y) + d(y, z).

(b) Sia k tale che 2 ^−k ≤ r, fissiamo a ∈ E, e consideriamo l’insieme A := {x ∈ X : (x ₁ , x ₂ , . . . , x _k ∈ E ^k , x _n = a per n > k}.

Si noti che A contiene |E| ^k elementi, dove |E| denota il numero di elementi di E.

Inoltre se y ∈ X, esiste un elemento x ∈ A tale che x _m = y _m per ogni m ≤ k, e quindi d(x, y) ≤ 2 ^−k ≤ r. Da ci` o segue che l’unione di tutte le palle di raggio r e aventi come centro un elemento di A, contiene tutto X.

Esercizio 5 Supponiamo che a ₁ , a ₂ , a ₃ , . . . , a _k siano k numeri interi distinti.

(a) ` E vero che

Σ _k = (a ₁ − a ₂ ) ² + (a ₂ − a ₃ ) ² + · · · + (a _k−1 − a _k ) ² + (a _k − a ₁ ) ²

` e un numero pari, per ogni scelta di a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a k ?

(b) Sia k = 4: trovare il minimo valore di Σ ₄ al variare della scelta degli a _i e caratteriz- zare le scelte degli a _i che minimizzano Σ ₄ .

(c) Dimostrare che, per ogni k ≥ 1, vale

Σ _k ≥ 4(k − 1) ² k ed esibire una scelta degli a _i che minimizzano Σ ₈ . Soluzione.

(a) Σ _k ha la stessa parit` a di

S _k = |a ₁ − a ₂ | + |a ₂ − a ₃ | + · · · + |a _k−1 − a _k | + |a _k − a ₁ | che a sua volta ha la stessa parit` a di

a ₁ − a ₂ + a ₂ − a ₃ + · · · + a _k−1 − a _k + a _k − a ₁ = 0

(b), (c) Il caso k = 4 si pu` o fare anche “a mano”. Mostriamo qui una soluzione che permette di affrontare il problema per k generico. Applicando la disuguaglianza di Cauchy si ottiene che

Σ _k ≥ S _k ² k

Si osserva poi per via elementare (disponendo i numeri a i sulla retta e pensando per esempio alla lunghezza del cammino che parte da a ₁ , va ad a ₂ etc.. e torna in a ₁ ) che il numero S _k ` e ≥ 2(k − 1). Nel caso k = 4 la disuguaglianza d` a dunque

Σ ₄ ≥ 9

e dunque Σ 4 ≥ 10 visto che Σ k ` e sempre pari. Si verifica poi con un esempio che il minimo 10 viene raggiunto e che le scelte buone sono del tipo a ₁ = 1, a ₂ = 3, a ₃ = 2, a ₄ = 0 o simili, a meno di traslazione, permutazione ciclica etc..

Il caso k = 8 ` e analogo e porta al valore minimo 26, ottenuto con scelte del tipo 1, 3, 5, 7, 6, 4, 2, 0.

Esercizio 6 Sia ABC un triangolo e siano a, b, c, rispettivamente, le lunghezza dei lati BC, AC, AB; infine, sia S l’area del triangolo ABC. Supponiamo che esista un punto P interno ad ABC tale che A b P B = B b P C = C b P A = 120 ^◦ . Calcolare la somma delle lunghezze AP + BP + CP in funzione di a, b, c, S.

E possibile calcolare AP + BP + CP in funzione dei soli a, b, c? `

Soluzione. Siano x, y, z, rispettivamente, le lunghezze di AP, BP, CP ; vogliamo calcolare x + y + z. Applicando il teorema di Carnot (o del coseno) ai triangoli AP B, BP C, CP A, e tenendo conto che cos 120 ^◦ = −1/2, otteniamo

c ² = x ² + y ² + xy, a ² = y ² + z ² + yz, b ² = x ² + z ² + xz, da cui x ² + y ² + x ² + ^xy+yz+xz ₂ = ^a

^+b ₂

^+c

.

Inoltre, l’area di AP B ` e pari a ¹ ₂ AP · P B · sin 120 ^◦ =

√ 3

4 xy; analogamente, le aree di BP C e CP A valgono, rispettivamente,

√ 3 4 yz e

√ 3

4 xz. Poich´ e l’area di ABC ´ e pari alla somma delle aree di AP B, BP C, CP A, otteniamo

S =

√ 3

4 (xy + yz + xz).

Possiamo allora concludere osservando che

(x + y + z) ² = (x ² + y ² + x ² + ^xy+yz+xz ₂ ) + ³ ₂ (xy + yz + xz) = ^a

^+b ₂

^+c

+ 2 √ 3S, da cui x + y + z =

q a

+b

+c

2 + 2 √

3S . ` E possibile calcolare AP + BP + CP in funzione dei soli a, b, c, usando la Formula di Erone

S = p(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)

4 .