BAGAGIOLO FABIO

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Attività didattica:

Attività didattica [codice] Corso di studio Struttura

Analisi matematica 1 [140444] Ingegneria Industriale Dipartimento di Ingegneria Industriale

Periodo di svolgimento: Primo Semestre

Docenti Cognome e Nome

Titolare del corso BAGAGIOLO FABIO ( matr. 004180) GUARIGLIA EMANUEL

Altri docenti

COLETTI ROBERTA ( matr. 0195231)

Ore didattica assegnate e rendicontate:

Docente Ore

didattica assegnate

Altre ore

assegnate Ore didattica rendicontate

(A)

Altre ore rendicontate

(B)

Totale ore

rendicontate Stato registro

BAGAGIOLO FABIO 80 0 80 0 80 Bozza

Ore didattica previste per gli studenti 120

Ore didattica rendicontate per tipologia di attività e per gruppi di studenti:

Ore suddivise per gruppi studenti Attività didattica frontale (A) Ore totali

Ore Gruppi di studenti

lezione in aula 80 80 prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati)

Firma del docente:

Firma del Direttore:

Data:

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Dettaglio delle attività svolte:

Analisi matematica 1 [140444]

1.12/09/2018 - lezione in aula - Docente: BAGAGIOLO FABIO Ora inizio: 11:30

Ora fine: 13:30 Ore: 2

Titolo attività:

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Descrizione attività:

Presentazione del corso. Insiemi: definizioni e proprieta'. Operazioni con gli insiemi.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Gli insiemi numerici e operazioni su essi. Z come estensione algebrica di N, Q come estensione algebrica di Z. La radice quadrata di 2 non e' razionale. R come estensione topologica di Q. R non ha buchi ed e' in biezione con gli allineamenti decimali. Numeri irrazionali e numeri trascendenti.

Definzione di gruppo, anello e campo. Ordinamento. Esistenza dei numeri reali come assioma. C'e' un unico campo ordinato completo. La proprieta' di Archimede.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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N e Z sono discreti, Q e R sono densi. Q e' denso in R. Definizione, per un sottoinsieme di R, di maggiorante e minorante, di massimo e minimo, di estremo superiore ed inferiore. Insiemi limitati e illimitati. relazione tra estremo superiore e massimo. Esempi vari. Definizione di intervallo e notazioni

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Funzioni tra insiemi: definizioni, notazioni e esempi. Grafico di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Esempi. Le biettive sono invertibili. Funzione inversa. La radice quadrata come inversa della funzione quadrato tra i positivi. Composizione di funzione, definizione, proprieta' esempi e controesempi. La funzione identita'. Inversa dopo funzione uguale funzione identita'.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Cardinalita' di un insieme. N, Z, Q, sono numerabili, R e' piu' che numerabile. Ipotesi del continuo.

Funzioni su R: potenze, polinomi, razionali, radici n-esime.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Potenze con esponente razionale e reale. Funzione esponenziale, il numero di Nepero, logaritmo come inversa dell'esponenziale, logaritmo naturale. Funzioni trigonometriche e loro inverse.

Definizione di fuinzione limitata, superiormente limitata, inferiormente limitata.

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26/09/2018 - lezione in aula - Docente: BAGAGIOLO FABIO Ora inizio: 11:30

Ora fine: 13:30 Ore: 2

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Funzioni monotone. Le funzioni strettamente monotone sono invertibili. Numeri complessi: definizione e notazioni. Unita' immaginaria, parte reale, parte immaginaria. Somma e prodotto di numeri

complessi. Il reciproco di un numero complesso non nullo. C e' un campo ed estende i reali. Non e' ordinabile. C e' in biiezione con il piano cartesiano (piano di Gauss). Interpretazione geometrica della somma di numeri complessi. Il teorema fondamentale dell'algebra. Risoluzione di un'equazione di secondo grado in C. Il modulo di un nunmero complesso.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Il coniugato di un numero complesso, sue varie proprieta' e interpretazione geometrica. Soluzione di un'equazione non algebrica in C. Formula trigonometrica di un numero complesso. Prodotto e quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica e formule di De Moivre. La potenza n- esima di un numero complesso in forma trigonometrica.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Radici n-esime di un numero complesso non nullo: sono esattamente n e si dispongono come i vertici di un poligono regolare di n lati centrato nell'origine. Formula per le radici n-esime. Esponenziale di un numero complesso. Forma trigonometrica di un numero complesso. Esercizi vari.

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Definizione di successione di numeri reali. Notazioni varie ed esempi. Interpetazione fisica come legge oraria del moto sulla retta reale di una particella in tempo discreto. Il metodo delle tangenti di Newton, la formula dell'interesse composto. Definizione di limite reale (finito) per una successione, quando n tende a + infinito. Prova con la definizione che 1/n tende a zero (usando la proprieta' archimedea).

11.04/10/2018 - lezione in aula - Docente: BAGAGIOLO FABIO Ora inizio: 10:30

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Prova con la definizione che (n+1)/(n+2) converge a 1. Definzione di divergenza a +infinito e a -infinito.

Successione oscillante (senza limite ne' finito ne' infinito). Esempi. Unicita' del limite, permanenza del segno. Definizione di successione superiormente limitata, inferiormente limitata, limitata, monotona.

Se una successione converge ad un limite finito, allora e' limitata. Il teorema fondamentale delle successioni monotone. Non occorre essere monotoni per convergere.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Prova che (n=1)/(n+2) e' crescente. Infinitesimo per limitato, carabinieri. Algebra dei limiti (somma di limiti, prodotto di limiti,...). La successione geometrica, la successione a^(1/n), la successione (-1)^n/

n, la successione n^alpha. Limiti di polinomi in n, limiti di rapporti di polinomi in n, limiti di rapporti di somme di potenze qualunque di n.

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Ora fine: 13:30 Ore: 2

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Il crietrio del rapporto per successioni. Forme indeterminate, esempi. Elenco di forme che non sono indeterminate. Confronti asintotici. Confronto tra log, potenze, esponenziali, fattoriale, n^n. Definizione di equivalenza tra successioni.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Nei prodotti e nei rapporti si puo' sostituire fattori con fattori equivalenti. Alcune equivalenze notevoli per succcessioni infinitesime. La formula di Stirling. Esercizi su limiti di successioni come forme indeterminate, con l'uso delle equivalenze, con o senza paramtero. Definizione di limite (finito) di una funzione reale per x che tende a x_0 reale. Definizione di intorno. Prova che il limite di x^2 quando x tende a 0 e' 0.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Unicita' del limite. Calcolo di limiti con la definizione, esempi di non eistenza del limite. Limite finito all'infinito (asintoto orizzontale), limite infinito al finito (asintoto verticale), limite infinito all'infinito. Limite destro e sinistro e relaxzione con il limite. Relazione tra limite di variabile reale e limiti di succesioni.

Il limite di sen x per x a + infinito non esiste (due successione che hanno limite diverso). Algebra di limite, permanenza del segno.

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Funzione continua in un punto, discontinuita' eliminabile, discontinuita' a salto, discontinuita'

essenziale: definizioni ed esempi. Funzione continua in un intervallo. Continuita' a destra e continuita' a sinistra e relazione con la continuita'. Permanenza del segno per funzioni continue, se continua in un punto allora localmente limitata. Esempio di funzione mai continua. Algebra delle funzioni continue (somma, prodotto, quoziente, composizione...). le funzioni elementari sono continue nei loro domini (esponenziali, logaritmi, trigonometriche, potenze...). Il valore assoluto e' continuo. Prova che il seno e' continuo.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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I polinomi sono continui. Esercizio su limite con parametro. Esercizio sull'incollamento continuo con parametro. Il lemma di bisezione. Il teorema degli zeri di Bolzano. Esempi e controesempi.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Le funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato sono limitate. Commenti e controesempi. Il teorema di Weierstrass. Commenti e controesempi. La derivata di una funzione in un punto come tasso di variazione e come coefficiente angolare della retta tangente. Derivata a destra e a sinistra.

La funzione e' derivabile se e soltanto se le derivate destra e sinistra esistono e coincidono. La derivabilita' in un punto implica la continuita' in quel punto. Il viceversa non e' vero (esempio) La funzione derivata.

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Ora fine: 13:30 Ore: 2

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x sin(1/x) e zero in zero non e' derivabile in zero. Algebra delle derivate: somme, prodotto, repporti e alcune verifiche. Derivata della composta, regola della catena. Esempi di calcolo di derivate. Se il limite delle derivate esiste finito allora esiste la derivata e vale tale limite. Esempio di esistenza della derivata senza che esista il limite delle derivata. Punto angoloso, felsso verticale e cuspide. Radice quadrata del modula ha una cuspide in zero. Asintoto obliquo. Esercizio sull'incollamento derivabile con parametro.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Esempi di calcolo di derivate di funzioni composte. Derivabilita' della funzione inversa e formula con reciproco della derivata. Calcolo di derivate di funzioni inverse e di tangenti e normali a farfici di fuznioni e loro inverse. Derivabilita' del valore assoluto di una funzione e di log|x|. Definizone di massimi, minimo, massimo relativo e minimo realtivi e dei relativi punti. Esempi, controesempi e relazione tra le due nozioni. La regola di Fermat.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Punti stazionari. Un punto di estremo relativo interno e di derivabilita' e' un punto stazionario. I teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Esempi e commenti. Esercizio sul teorema di Lagrange. Studio dei massimi e minimi di una funzione. Esercizio. Test di monotonia con il segno della derivata prima.

Esercizio su crescenza e decrescenza di funzione, natura dei punti stazionari e abbozzo del grafico. Il teorema di De L'Hopital. Esercizio.

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Definizione di insieme convesso del piano e varie caratterizzazioni analitiche e geometriche.

Definizione di epigrafico di una funzione. Definizione di funzione convessa e varie caratterizzazioni analitiche e geometriche. L'ipografico di una funzione e le funzioni concave. Una funzione e' concava se soltanto se la sua opposta e' convessa. Le funzioni convesse sono continue nell'interno del loro dominio. Se una funzione e' convessa e derivabile allora la derivata e' crescente. Stretta

convessita'.Se una funzione e' convessa e derivabile allora i punti stazionari coincidono con i punti di minimo assoluto (la regola di Fermat, con i minimi, e' un se e solo se). L'ultimo teorema di Fermat.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Derivata seconda e derivate successive. Test del segno della derivata seconda per lo studio della convessita'. Test della derivata seconda per lo studio della natura dei punti stazionari. Esempi e controesempi. Verifica della convessita' o concavita' per alcune funzioni elementari. Il problema dell'approssimazione con polinomi. Definzione di "o piccolo". Formula di Mac Laurin di ordine n con resto di Peano e polinomio di Mac Laurin di grado n.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Verifica che il polinomio di grado due che approssima piu' del secondo ordine e' proprio quello di Mac Laurin. Formula di Taylor con il resto di Peano. Formule di Mac Laurin di seno, coseno, esponenziale e log(1+x). Esempio di uso della formula di Taylor per il cacolo dei limiti. Esempio di uso sbagliato della formula avendo sviluppato "troppo poco".

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Ora fine: 13:30 Ore: 2

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Calcolo di limiti con la formula di Taylor e commenti vari. La formula di Taylor per le funzioni composte.

Calcolo di formula di =Taylor per una funzione composta e commenti vari. La formula di Taylor con il resto di Lagrange e suo uso per calcolare valori approssimati di grandezze e funzioni.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Serie numeriche: definizioni e notazioni, motivazioni. Esempi di serie. Somma parziale e definizione di somma di una serie come limite della successione delle somme parziali. Esempi di serie e studio della loro convergenza tramite il calcolo delle somme parziali: serie sum(-1)^n, sum(1/(n(n+1)) di Mengoli, serie telescopiche in generale, sum(1), serie geometrica di ragione x. Algebra delle serie.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Algebra delle serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie e' che il termine generale sia infinitesimo. Una serie converge se e soltanto se il resto n-esimo e' infinitesimo. Serie a termini positivi non possono oscillare. La serie armonica diverge a +infinito. Il criterio del confronto e del confronto asintotico per le srie a termini positivi. La serie armonica generalizzata.

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Criterio del rapporto e della radice per serie a termini positivi. Le serie sum(1/n!), sum(1/n^n) e sum(n!/

n^n) convergono. La serie sum(1/(n (log(n))^alpha)) converge se e soltanto se alpha>1. Esercizi sulla convergenza di serie a termini positivi con e senza parametro.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Serie a segno qualunque. La convergenza assoluta implica quella semplice. Esercizi. Le serie a segno alterno e il criterio di Leibniz. La serie armonica alternata converge semplicemente ma non assolutamente. Leibniz e Newton. Esercizi, esempi e controesempi.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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La serie di Taylor di una funzione e definizione di funzione analitica. Esempio di funzione infinite volte derivabile ma non analitica. Per essere analitica il resto di Lagrange deve andare a zero. Le serie di Taylor di exp, sen, cos, log(1+x) e 1/(x-1) con i loro intervalli di convergenza, e quindi la loro analiticita'. Definizione di serie di potenze, raggio di convergenza e convergenza della serie di potenze. Derivazione termine a termine di una serie di potenze. Esercizi su convergenza di serie di potenze, convergenza di serie di potenze di una funzione data, calcolo di somma di una serie numerica.

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Ora fine: 13:30 Ore: 2

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Achille e la Tartaruga. Convergenza di una serie e commutativita'. Integrazione: il problema dell'area.

Somme di Riemann e di Cauchy-Riemann per funzioni positive e limitate su un intervallo compatto.

Definzione di integrabilita' e di area del trapezoide come limite comune di tutte le somme di Cauchy- Riemann. Verifica, per alcune semplici funzioni, che le somme di Cauchy-Riemann convergono a quella che e' effettivamente l'area del trapezoide.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Verifica di integrabilita' di funzioni con la definizione. Sul prinicipio di induzione matematica.

Integrabilita' di funzioni di segno qualunque, parte positiva e parte negativa. Le funzioni continue e monotone sono integrabili sugli intervalli chiusi e limitati. Esempio di funzione non integrabile.

Integrabilita' alla Riemann e integrabilita' alla Lebesgue. Proprieta' dell'integrale: linearita', additivita' rispetto al dominio di integrazione, monotonia e disuguaglianza integrale con il valore assoluto. Il teorema della media integrale.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Definizione di primitiva di una funzione su un intervallo. Proprieta' delle primitive (differiscono per una costante, somma di primitive e' primitiva della somma....). La funzione integrale e i teoremi fondamentali del calcolo integrale. Tabella di primitive immediate di funzioni elementari. Esercizi di calcolo di integrali definiti, integrali indefinti e di aree.

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Integrazione per sostituzione (cambiamento di variabile) e integrazione per parti. Esempi ed esercizi.

La lunghezza del grafico di una funzione continua e derivabile su un intervallo compatto.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Lunghezza del grafico di una curva, volume di un solido di rotazione attorno all'asse x e all'asse y, area di una superficie di rotazione attorno all'asse x e all'asse y. Esempi ed esercizi. Esempio di funzione continua su un compatto con grafico di lunghezza infinita.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Integrali impropri: domini aperti, funzioni illimitate, domini non limitati. Definzione di convergenza, criteri di confronto, esercizi. Integrabilita' di 1/x^alpha a zero e all'infinito.

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Ora fine: 13:30 Ore: 2

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Criteri di confronto per integrali impropri su domini illimitati. Esercizio su convergenza di intergale con parametro. Il criterio integrale per la convergenza delle serie. La serie armonica alternata e la serie sum(1/nlogn). Integrabilita' all'infinito e convergenza a zero della funzione integranda. Derivazione di funzioni integrali. Esercizio. La serie di Fourier e i suoi coefficienti.

Ora fine: 12:30 Ore: 2

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Serie di Fourier, convergneza, coefficienti e somma di serie numeriche. Equazioni differenziali ordinarie: definizioni, esempi, notazioni. Esempi dalle applicazioni. Definizione di problema di Cauchy per il prim'ordine.

Ora fine: 10:30 Ore: 2

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Il problema della catenaria. Esistenza ed unicita' locale per il problema di Cauchy, esempio di non esistenza e di non unicita' (pennello di Peano). Equazioni del primo ordine a variabile separabili.

Metodo di soluzione per l'equazione e per il relativo problema di Cauchy. Esercizio. Le funzioni iperboliche e la soluzione dell'equazione della catenaria.

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Soluzione della catenaria. Esercizi su problemi di Cauchy per equazioni prim'ordine a separazione di variabile. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico e integrale generale dell'omogena. Esercizio su problema di Cauchy. Equazioni lineari del

secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. Integrale generale uguale integrale generale dell'omogenea associata piu' integrale particolare della non omogenea. Metodo di somiglianza per la ricerca dell'integrale particolare. Esercizi.