Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

(1)

Probablità, Statistica e Processi Stocastici

Franco Flandoli, Università di Pisa

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria 1

(2)

Riassunto

Abbiamo introdotto le equazioni di¤erenziali stocastiche, equazioni del tipo

dX _t = b ( t, X _t ) dt + σdB t

(o un po’più generali) dove B _t è il moto browniano, ovvero dB _t /dt è il white noise.

Abbiamo e¤ettuato alcune simulazioni di singole realizzazioni.

Abbiamo sviluppato il calcolo di Itô.

Invece, circa valori medi delle soluzioni, abbiamo visto poco (solo l’esempio delle’energia media).

(3)

Studio della pdf delle soluzioni

Se X _t è la soluzione di un’equazione di¤erenziale stocastica, tra le cose che ci interessano maggiormente c’è la densità di probabilità di X t , a t …ssato.

Dal punto di vista teorico, non sempre la densità esiste; ci sono casi singolari in cui X _t concentra dalla massa in qualche punto. Si pensi ad esempio al caso

X _t ⁰ = b ( X t ) .

Non occupiamoci però della (non banale) questione dell’esistenza della densità, con…dando che nei nostri esempi essa ci sia. Poniamoci il problema concreto di conoscerla, esattamente o approssimativamente.

Vediamo due metodi: uno simulativo ed uno più analitico.

(4)

La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo

Il metodo simulativo è semplicissimo: si generano N simulazioni (usando realizzazioni indipendenti del noise) …no ad un dato tempo t e poi, gra…camente, si traccia l’istogramma.

Oltre all’istogramma, possono interessare i valori di certe probabilità e valori medi. Il loro calcolo si basa sulla:

Theorem (Legge dei Grandi Numeri)

Se X ₁ , X ₂ , ... è una successione di v.a. indipendenti ed identicamente ditribuite, con media …nita µ, allora

lim

N ! ∞

1 N

∑ N i = 1

X _i = µ

(limite quasi certo, oppure in probabilità: per ogni e > 0, lim _N _! _∞ P _N ¹ ∑ ^N i = 1 X i µ > e = 0).

(5)

L’errore di Monte Carlo

Se il momento secondo è …nito, si veri…ca facilmente che

E 2 4 1

N

∑ N i = 1

X _i µ

2 3 5 = ^σ

2 N dove σ ² è la varianza, comune, delle X _i . Quindi, un po’

approssimativamente, 1 N

∑ N i = 1

X _i µ σ

p N .

(Esercizio: veri…care nel caso dell’energia media)

(6)

La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo

Quindi, immaginiamo di risolvere un’equazione di¤erenziale stocastica immettendo volta per volta dei moti browniani indipendenti

B _t ¹ , B _t ² , ...:

dX _t ⁱ = b t, X _t ⁱ dt + σdB _t ⁱ con un dato iniziale …ssato X ₀ ⁱ = x ₀ .

Le soluzioni sono anch’esse indipendenti. E sono identicamente ditribuite (è la stessa equazione).

Fissato t, le v.a. X _t ¹ , X _t ² , ... sono indipendenti ed identicamente ditribuite. Quindi

1 N

∑ N i = 1

φ X _t ⁱ ! ^E [ φ ( X _t )] .

(7)

La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo

Ad esempio, scegliendo diverse φ:

se φ ( x ) = x troviamo la media 1 N

∑ N i = 1

X _t ⁱ ! ^E [ X _t ] .

se φ ( x ) = H ( x λ ) (vedi esercitazione), cioè φ ( x ) = 1 se x > λ, zero altrimenti, allora

card i = 1, ..., N : X _t ⁱ > λ

N ! ^P ( X _t > λ ) .

Quest’ultima formula si capisce anche pensando a "frequenza relativa ! probabilità".

(8)

Esempio lineare

Equazione dX _t = X _t dt + 0.2 dB _t , X ₀ = 1

Con N = 10000 (quindi errore 0.01), tempo t = 1

P X 1 > e ¹ 0.5074

(9)

Esempio nonlineare

Equazione dX t = X t X _t ³ dt + 0.4 dB t

Con N = 1000 (quindi errore 0.03), tempo t = 100

P ( X 100 > 0 ) 0.558.

(10)

Sulla pdf di una SDE

Abbiamo considerato equazioni di¤erenziali stocastiche della forma dX _t = b ( t, X _t ) dt + σ ( t, X _t ) dB _t

Per avere informazioni quantitative sulla densità di probabilità (pdf) di X _t si può usare il metodo di Monte Carlo.

Ad esempio

E [ X _t ] ¹ N

∑ N i = 1

X _t ⁱ

dove X _t ⁱ , i = 1, ..., N, sono ottenute da diverse simulazioni indipendenti.

L’istogramma dei valori X _t ⁱ , i = 1, ..., N, è un’approssimazione della pdf p t ( x ) .

(11)

L’equazione di Fokker-Planck

Sotto opportune ipotesi vale il seguente risultato:

Theorem

La pdf p _t ( x ) di X _t soddisfa l’equazione

∂p

∂t = ¹ 2

∑ d i ,j = 1

∂ i ∂ j ( a _ij p ) div ( bp ) dove

a ij = ∑

k

σ ik σ jk

∂ i = ^∂

∂x i

, div v =

∑ d i = 1

∂ i v _i .

(12)

Casi particolari di equazione di Fokker-Planck

Familiarizziamo coi simboli. Intanto, in dimensione d = 1, a ij = a = σ ² .

L’equazione è semplicemente

∂p

∂t = ¹ 2

∂ σ ² p

∂x ²

∂ ( bp )

∂x . Nel caso di noise additivo, σ ( t, x ) = σ costante,

∂p

∂t = ^σ

2

2 ∂ ² p

∂x ²

∂ ( bp )

∂x . Anche in più dimensioni, noise additivo, σ ( t, x ) = σI

∂p

∂t = ^σ

2 2 ∆p div ( bp ) .

(13)

Condizione iniziale

Come ogni equazione alle derivate parziali con

^∂

∂t

, necessita di una condizione iniziale nota, al tempo t = 0:

p 0 ( x ) .

Essa è la densità della v.a. iniziale della SDE, X ₀ .

Spesso X ₀ è un punto deterministico …ssato, x ₀ . In questo caso, non ha una vera densità, nel senso usuale del termine.

Il dato iniziale p ₀ ( x ) , in tal caso, è la delta di Dirac in x ₀ : p ₀ ( x ) = δ ( x x ₀ ) .

Sotto ipotesi abbastanza generali, la soluzione p t ( x ) è però una funzione regolare, per t > 0 (fenomeno di regolarizzazione parabolica).

(14)

Esempio del moto browniano

Vediamo la SDE particolarissima, in dimensione 1, dX _t = σdB t , X ₀ = 0 L’equazione di Fokker-Planck associata è

∂p

∂t = ^σ

2

2 ∂ ² p

∂x ² , p ₀ ( x ) = δ ( x ) . La funzione

p _t ( x ) = p ¹

2πσ ² t exp x ² 2σ ² t è soluzione (veri…ca noiosa ma elementare).

(15)

Esempio dell’equazione lineare

Esaminiamo

dX _t = λX t dt + σdB t , X ₀ = x ₀ . L’equazione di Fokker-Planck associata è

∂p

∂t = ^σ

2

2 ∂ ² p

∂x ² + λ ∂ ( xp )

∂x , p ₀ ( x ) = δ ( x x ₀ ) . Infatti, b ( x ) = λx . Si può cercare una soluzione della forma

p _t ( x ) = C ( t ) exp 1 2

( x m ( t )) ² σ ( t ) ²

!

e, con opportuni calcoli, la si trova (una gaussiana con media e varianza variabili nel tempo).

(16)

Simulazioni. Discretizzazione spaziale

Purtroppo non si va molto oltre questi esempi, se si vogliono soluzioni esplicite.

Vediamo invece alcune simulazioni, limitatamente a d = 1.

Usiamo un metodo elementare: discretizziamo lo spazio (che è in…nito) tramite un insieme …nito di valori x i (ad esempio prendiamo un grande intervallo [ L, L ] e lo suddividiamo in parti uguali con N x

punti, detti x _i )

discretizziamo la derivata prima

^∂f

∂x

con

∂f

∂x ( x _i ) ^f ( x _i ₊ ₁ ) f ( x _i ) h x

dove h _x è il passo spaziale di discretizzazione

(per i nostri scopi è indi¤erente prendere altri incrementi)

(17)

Simulazioni. Discretizzazione spaziale

discretizziamo la derivata seconda

^∂²

^f

∂x²

con

∂ ² f

∂x ² ( x _i ) ^f ( x _i + 1 ) 2f ( x _i ) + f ( x _i ₁ ) h ² _x

nota: la formula proviene da:

1 h x

f ( x _i ₊ ₁ ) f ( x _i ) h x

f ( x _i ) f ( x _i ₁ ) h x

in…ne dobbiamo …ssare delle condizioni al bordo; questo al momento non si capisce, ma risulterà chiaro scrivendo il codice. Prenderemo la condizione di ‡usso nullo,

^∂f

∂x

= 0, una delle più neutre, ovvero f ( x i + 1 ) = f ( x i ) (tra punti vicini al bordo).

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

Probablità, Statistica e Processi Stocastici

Franco Flandoli, Università di Pisa

Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria

Riassunto

Abbiamo introdotto le equazioni di¤erenziali stocastiche, equazioni del tipo

dX t = b ( t, X t ) dt + σdB t

(o un po’più generali) dove B t è il moto browniano, ovvero dB t /dt è il white noise.

Abbiamo e¤ettuato alcune simulazioni di singole realizzazioni.

Abbiamo sviluppato il calcolo di Itô.

Invece, circa valori medi delle soluzioni, abbiamo visto poco (solo l’esempio delle’energia media).

Studio della pdf delle soluzioni

Se X t è la soluzione di un’equazione di¤erenziale stocastica, tra le cose che ci interessano maggiormente c’è la densità di probabilità di X t , a t …ssato.

Dal punto di vista teorico, non sempre la densità esiste; ci sono casi singolari in cui X t concentra dalla massa in qualche punto. Si pensi ad esempio al caso

X t 0 = b ( X t ) .

Non occupiamoci però della (non banale) questione dell’esistenza della densità, con…dando che nei nostri esempi essa ci sia. Poniamoci il problema concreto di conoscerla, esattamente o approssimativamente.

Vediamo due metodi: uno simulativo ed uno più analitico.

La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo

Il metodo simulativo è semplicissimo: si generano N simulazioni (usando realizzazioni indipendenti del noise) …no ad un dato tempo t e poi, gra…camente, si traccia l’istogramma.

Oltre all’istogramma, possono interessare i valori di certe probabilità e valori medi. Il loro calcolo si basa sulla:

Theorem (Legge dei Grandi Numeri)

Se X 1 , X 2 , ... è una successione di v.a. indipendenti ed identicamente ditribuite, con media …nita µ, allora

lim

N ! ∞

1 N

∑ N i = 1

X i = µ

(limite quasi certo, oppure in probabilità: per ogni e > 0, lim N ! ∞ P N 1 ∑ N i = 1 X i µ > e = 0).

L’errore di Monte Carlo

Se il momento secondo è …nito, si veri…ca facilmente che

E 2 4 1

N

∑ N i = 1

X i µ

2 3 5 = σ

2

N dove σ 2 è la varianza, comune, delle X i . Quindi, un po’

approssimativamente, 1 N

∑ N i = 1

X i µ σ

p N .

(Esercizio: veri…care nel caso dell’energia media)

La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo

Quindi, immaginiamo di risolvere un’equazione di¤erenziale stocastica immettendo volta per volta dei moti browniani indipendenti

B t 1 , B t 2 , ...:

dX t i = b t, X t i dt + σdB t i con un dato iniziale …ssato X 0 i = x 0 .

Le soluzioni sono anch’esse indipendenti. E sono identicamente ditribuite (è la stessa equazione).

Fissato t, le v.a. X t 1 , X t 2 , ... sono indipendenti ed identicamente ditribuite. Quindi

1 N

∑ N i = 1

φ X t i ! E [ φ ( X t )] .

La pdf delle soluzioni tramite Monte Carlo

Ad esempio, scegliendo diverse φ:

se φ ( x ) = x troviamo la media 1 N

∑ N i = 1

X t i ! E [ X t ] .

se φ ( x ) = H ( x λ ) (vedi esercitazione), cioè φ ( x ) = 1 se x > λ, zero altrimenti, allora

card i = 1, ..., N : X t i > λ

N ! P ( X t > λ ) .

Quest’ultima formula si capisce anche pensando a "frequenza relativa ! probabilità".

Esempio lineare

Equazione dX t = X t dt + 0.2 dB t , X 0 = 1

Con N = 10000 (quindi errore 0.01), tempo t = 1

P X 1 > e 1 0.5074

Esempio nonlineare

Equazione dX t = X t X t 3 dt + 0.4 dB t

Con N = 1000 (quindi errore 0.03), tempo t = 100

P ( X 100 > 0 ) 0.558.

Sulla pdf di una SDE

Abbiamo considerato equazioni di¤erenziali stocastiche della forma dX t = b ( t, X t ) dt + σ ( t, X t ) dB t

Per avere informazioni quantitative sulla densità di probabilità (pdf) di X t si può usare il metodo di Monte Carlo.

Ad esempio

E [ X t ] 1 N

∑ N i = 1

X t i

dove X t i , i = 1, ..., N, sono ottenute da diverse simulazioni indipendenti.

L’istogramma dei valori X t i , i = 1, ..., N, è un’approssimazione della pdf p t ( x ) .

L’equazione di Fokker-Planck

Sotto opportune ipotesi vale il seguente risultato:

Theorem

dX _t = b ( t, X _t ) dt + σdB t

(o un po’più generali) dove B _t è il moto browniano, ovvero dB _t /dt è il white noise.

Se X _t è la soluzione di un’equazione di¤erenziale stocastica, tra le cose che ci interessano maggiormente c’è la densità di probabilità di X t , a t …ssato.

Dal punto di vista teorico, non sempre la densità esiste; ci sono casi singolari in cui X _t concentra dalla massa in qualche punto. Si pensi ad esempio al caso

X _t ⁰ = b ( X t ) .

Se X ₁ , X ₂ , ... è una successione di v.a. indipendenti ed identicamente ditribuite, con media …nita µ, allora

X _i = µ

(limite quasi certo, oppure in probabilità: per ogni e > 0, lim _N _! _∞ P _N ¹ ∑ ^N i = 1 X i µ > e = 0).

X _i µ

2 3 5 = ^σ

N dove σ ² è la varianza, comune, delle X _i . Quindi, un po’

X _i µ σ

B _t ¹ , B _t ² , ...:

dX _t ⁱ = b t, X _t ⁱ dt + σdB _t ⁱ con un dato iniziale …ssato X ₀ ⁱ = x ₀ .

Fissato t, le v.a. X _t ¹ , X _t ² , ... sono indipendenti ed identicamente ditribuite. Quindi

φ X _t ⁱ ! ^E [ φ ( X _t )] .

X _t ⁱ ! ^E [ X _t ] .

card i = 1, ..., N : X _t ⁱ > λ

N ! ^P ( X _t > λ ) .

Equazione dX _t = X _t dt + 0.2 dB _t , X ₀ = 1

P X 1 > e ¹ 0.5074

Equazione dX t = X t X _t ³ dt + 0.4 dB t

Abbiamo considerato equazioni di¤erenziali stocastiche della forma dX _t = b ( t, X _t ) dt + σ ( t, X _t ) dB _t

Per avere informazioni quantitative sulla densità di probabilità (pdf) di X _t si può usare il metodo di Monte Carlo.

E [ X _t ] ¹ N

X _t ⁱ

dove X _t ⁱ , i = 1, ..., N, sono ottenute da diverse simulazioni indipendenti.

L’istogramma dei valori X _t ⁱ , i = 1, ..., N, è un’approssimazione della pdf p t ( x ) .

La pdf p _t ( x ) di X _t soddisfa l’equazione

∂t = ¹ 2

∂ i ∂ j ( a _ij p ) div ( bp ) dove

∂ i = ^∂

∂ i v _i .

Familiarizziamo coi simboli. Intanto, in dimensione d = 1, a ij = a = σ ² .

∂t = ¹ 2

∂ σ ² p

∂x ²

∂t = ^σ

∂ ² p

∂x ²

∂t = ^σ

Essa è la densità della v.a. iniziale della SDE, X ₀ .

Spesso X ₀ è un punto deterministico …ssato, x ₀ . In questo caso, non ha una vera densità, nel senso usuale del termine.

Il dato iniziale p ₀ ( x ) , in tal caso, è la delta di Dirac in x ₀ : p ₀ ( x ) = δ ( x x ₀ ) .

Vediamo la SDE particolarissima, in dimensione 1, dX _t = σdB t , X ₀ = 0 L’equazione di Fokker-Planck associata è

∂t = ^σ

∂ ² p

∂x ² , p ₀ ( x ) = δ ( x ) . La funzione

p _t ( x ) = p ¹

2πσ ² t exp x ² 2σ ² t è soluzione (veri…ca noiosa ma elementare).

dX _t = λX t dt + σdB t , X ₀ = x ₀ . L’equazione di Fokker-Planck associata è

∂t = ^σ

∂ ² p

∂x ² + λ ∂ ( xp )

∂x , p ₀ ( x ) = δ ( x x ₀ ) . Infatti, b ( x ) = λx . Si può cercare una soluzione della forma

p _t ( x ) = C ( t ) exp 1 2

( x m ( t )) ² σ ( t ) ²