usando il metodo di Taylor di secondo ordine;

Scrivere uno script di Matlab che

I approssimi la soluzione del problema di Cauchy

 y ⁰ = −t ² y t ∈ [0, 1]

y (0) = 1

usando il metodo di Taylor di secondo ordine;

I verifichi esperimentalmente l’ordine di convergenza del metodo;

I faccia il grafico della soluzione approssimata e della soluzione esatta y (t) = exp(−t ³ /3).

Ripetere l’esercizio usando il metodo di Crank-Nicolson.

I Scrivere una funzione di Matlab per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y ⁰ (t) = f (t, y (t)) t ∈ [t 0 , t 0 + T ] y (t ₀ ) = y ₀

usando il metodo di Heun:



 

 



 

 



u ₀ = y ₀

for i = 0, 1, . . . , n − 1

K ₁ = f (t _i , u _i ) , K ₂ = f (t _i + h, u _i + hK ₁ ) u i +1 = u i + h

2 (K 1 + K 2 )

dove h = T /n e t i = t 0 + ih per i = 0, . . . , n.

I Scrivere una funzione di Matlab per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y ⁰ (t) = f (t, y (t)) t ∈ [t ₀ , t ₀ + T ] y (t ₀ ) = y ₀

usando il metodo di Runge Kutta di ordine 4:



 

 

 

 

 

 

 

 

u 0 = y 0

for i = 0, 1, . . . , n − 1

K 1 = f (t i , u i ) , K 2 = f (t i + ^h ₂ , u i + ^h ₂ K 1 )

K ₃ = f (t _i + ^h ₂ , u _i + ^h ₂ K ₂ ) , K ₄ = f (t _i + h, u _i + hK ₃ ) u i +1 = u i + h

6 (K 1 + 2K 2 + 2H 3 + K 4 )

I Scrivere una funzione di Matlab per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y ⁰ (t) = f (t, y (t)) t ∈ [t ₀ , t ₀ + T ] y (t ₀ ) = y ₀

usando il metodo di Adams-Bashforth a quattro passi:

(

u i +1 = u i + h

24 (55f i − 59f i −1 + 37f i −2 − 9f i −3 ) i = 3, . . . , n − 1 u 0 = y 0

dove h = T /n e t i = t 0 + ih per i = 0, . . . , n.

I Scrivere una funzione di Matlab che implementi il seguente metodo predictor corrector







u _{i +1} ^∗ = u i + ₁₂ ^h (23f i − 16f i −1 + 5f i −2 )

u i +1 = u i + ₂₄ ^h (9f _{i +1} ^∗ + 19f i − 5f i −1 + f i −2 ) i = 2, . . . , N − 1 u 0 = y 0

per approssimare la soluzione del problema di Cauchy

 y ⁰ (t) = f (t, y (t)) t ∈ [t ₀ , t ₀ + T ] y (t ₀ ) = y ₀

dove h = T /N, t _i = t ₀ + ih per i = 0, 1, . . . , N, f _i = f (t _i , u _i ) e f _{i +1} ^∗ = f (t i +1 , u ^∗ _{i +1} ).

I Verificare l’ordine di convergenza del metodo

u _{i +1} = u i +

2 (3f i − f _{i −1} )

e verificare di nuovo l’ordine di convergenza del metodo.

(Usare il metodo di Runge-Kutta di ordine 4 per calcolare u 1 e u 2 .)

I Esempio

( y ⁰ = ^t _{y +1}

⁺¹ t ∈ [0, 1]

y (0) = 1 Soluzione: y (t) =

q 2

3 t ³ + 2t + 4 − 1.