La struttura nucleare dell’atomo

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

La struttura nucleare dell’atomo

Lezione 1

Prequel: la struttura atomica della materia

•  Alla fine dell’800 è ormai completamente assodata la struttura atomica della materia:

–  su di essa si basa tutta la chimica

–  elementi chimici classificati nella tavola periodica –  identificati dal numero atomico Z

Z

Numero atomico

Peso

atomico

Peso atomico:

massa [in g] di una mole N_A = 6.022×10²³

di atomi dell’elemento

L’esperimento di Rutherford

•  J.J. Thomsons aveva estratto dall’atomo particelle cariche negativamente.

•  Essendo neutro, l’atomo doveva contenere delle cariche positive.

•  Si pone il problema di come queste siano distribuite.

•  L’esperimento di Rutherford e collaboratori del 1910 dimostrò che la carica positiva è concentrata in un nucleo

–  puntiforme entro la risoluzione dell’esperimento –  inizio della fisica “nucleare”

•  Introdurremo due concetti fondamentali per il corso:

–  il processo di scattering

–  e la definizione di sezione d’urto

•  con le definizioni collegate di coefficiente di assorbimento e cammino libero medio o lunghezza di interazione

•  Vedremo:

–  la cinematica dell’urto non relativistico

–  come calcolare la sezione d’urto per scattering coulombiano

→ scoperta dell’elettrone

L’esperimento di Rutherford

Prima di realizzare l’esperimento per cui è universalmente ricordato

L’esperimento di Rutherford

•  Nel 1910 due assistenti di Rutherford, H. Geiger e E. Marsden,

iniziarono sotto la direzione di Rutherford, una serie di esperimenti a Manchester.

•  Con questi esperimenti fu misurata la sezione d’urto di diffusione delle particelle α da parte degli atomi del bersaglio.

•  L’osservazione che destò

l’interesse di Rutherford fu la relativa abbondanza di

particelle α diffuse a grande angolo.

L’esperimento di Rutherford

•  L’esperimento consiste nella misura del numero di particelle α deviate in funzione dell’angolo di deflessione:

•  È necessario determinare quantitativamente:

–  la probabilità che una particelle α venga deflessa in un certo angolo solido

–  il tasso di eventi effettivamente atteso –  concetto di sezione d’urto

dΩ

Interludio: angolo solido

•  L’angolo solido in steradianti (sr) è l’area sottesa sulla superficie sferica di raggio unitario.

–  In analogia all’angolo in radianti (rad) che è l’arco sotteso sulla circonferenza di raggio unitario.

•  Il differenziale dΩ è dato da:

–  a volte si sottintende l’integrazione su φ:

•  Come ci si aspetta:

θ θ

=sinθdφdθ dΩ = sinθdϕdθ

= dϕ d cosθ

= 2sin

(

)

( )

dΩ = 2π sinθdθ

∫

∫

∫

∫

= 2π dcosθ

−1

∫

Un rivelatore di area A, ad una distanza r

sottende un angolo solido ΔΩ=A/r²

Sezione d’urto

•  In fisica nucleare e subnucleare siamo interessati a interazioni che avvengono in regioni di dimensioni inferiori a quelle di un atomo:

–  dimensioni minori del più piccolo strumento che possiamo costruire;

–  la stessa preparazione dello stato iniziale ha incertezze maggiori della regione in cui avvengono i fenomeni.

•  In esperimenti di scattering studiamo stati asintotici:

–  parametri (intensità, quantità di moto...) del fascio incidente

–  parametri (angolo di deflessione, quantità di moto...) delle particelle diffuse

–  entrambi misurati a “grandi” distanze dalla regione di interazione.

–  Si può misurare il tasso con cui si ottiene un certo risultato finale a partire dal sistema inizialmente preparato.

•  La sezione d’urto è una quantità collegata alla probabilità che si verifichi un certo evento:

–  Quantità osservabile

–  Interpretabile sia in meccanica classica che in meccanica quantistica

Sezione d’urto

•  Consideriamo un esperimento ideale:

–  un fascio di proiettili

–  incidente su una lamina di materiale

–  andiamo a misurare quante vengono deflesse verso un rivelatore

•  Il numero di interazioni al secondo dn/dt è proporzionale a:

–  l’intesità del fascio (numero di particelle incidenti al secondo) I₀ –  la densità di bersagli (numero di bersagli per unità di volume) n_T –  lo spessore del bersaglio dz

–  l’angolo solido sotteso dal rivelatore ΔΩ

•  La costante di proporzionalità ha le dimensioni di una superficie ed è detta sezione d’urto differenziale dσ/dΩ

o dz

I dn θ

( )

dt ∝ ^nT

dn θ

( )

dt = I₀n_Tdzdσ dΩΔΩ I₀

n_T dz ΔΩ

ΔΩ

Misura della sezione d’urto

•  Supponiamo di potere considerare il bersaglio sottile (condizione che si verifica molto frequentemente)

–  ciò è equivalente alla condizione

•  in queste condizioni per una ben definita condizione sperimentale

–  ad es. una fissata energia del fascio, una fissata accettanza angolare ΔΩ –  il numero N₀ di particelle del fascio è misurato con un rivelatore monitor –  il numero di interazioni n è misurato con il rivelatore

•  inoltre sono ovviamente conosciuti

–  lo spessore del bersaglio dz

–  la densita n_T di atomi/nuclei bersaglio (target)

•  ρ è la densità, A peso atomico e N_A il numero di Avogadro

•  La sezione d'urto allora è

•  se gli errori su tutte le grandezze sono trascurabili escluso l'errore statistico su n, l'errore statistico sulla sezione d'urto è

n_Tdzσ ≪ 1

n_T = ρ AN_A

dσ

dΩ = 1 ΔΩ

1 n_Tdz

n N₀

Δσ σ ⁼

Δn

n = n

n = 1 n

monitor

θ

rivelatore

E

N.B.:

ΔΩ = area rivelatore/distanza²

Assorbimento e lunghezza di interazione

•  La sezione d’urto totale σ si ottiene integrando la sezione d’urto differenziale su tutto l’angolo solido:

•  Il tasso totale di particelle diffuse si traduce in una diminuzione dell’intensità I del fascio:

•  Se la diminuzione del numero di particelle nel fascio non è trascurabile, l’intensità varia con la profondità secondo la legge:

•  dove µ=n_Tσ prende il nome di coefficiente di assorbimento.

•  Analogamente si può introdurre la lunghezza d’interazione λ (detta anche libero cammino medio)

⇒ dI

I z( ) ^{= −nTσdz}

I z( ) ^{= I}0e^−nTσz = I₀e^−µz

λ = 1 µ ⁼

1 n_Tσ

I z( ) ^{= I}0e⁻

z λ

dn

dt = −dI = In_Tdzσ

0 dz L

fascio

z

σ = dϕ sinθ dθ ^dσ dΩ

0

∫

2π

∫

Assorbimento e lunghezza di interazione

•  Se lo spessore z è piccolo (z≪λ):

–  il fascio uscente è ridotto in intensità di un fattore 1-z/λ –  la probabilità di scattering di un particella del fascio è

–  prodotto della densità superficiale n_Tz per la sezione d’urto σ

•  La densità di centri di scattering dipende dalla densità del materiale:

–  spesso si esprime λ normalizzata per la densità:

•  dipende dal materiale, ma non dallo stato dello stesso

•  ha le dimensioni di una densità superficiale.

z λ = n_Tzσ

n_T = ρ A N_A

λ = 1

n_Tσ ⁼ A

ρN_Aσ (λρ) ^{= A}

N_Aσ

Urto non relativistico tra due particelle

–  Conservazione del momento

–  Conservazione dell’energia cinetica

v!_o

v!_α v!_t m_α!

v_o = m_α!

v_α + m_t! v_t v!_o = !

v_α + m_t m_α

v!_t v_o² = v_α² + m_t²

m_α² v_t² + 2 m_t m_α

v!_t ⋅ ! v_α

1

2m_αv_o² = 1

2m_αv_α² + 1

2m_tv_t²

2 2 t 2

o m t

v v v

a m

a

= + ² m^t _t²

v v

a m

a

+ = _vt² ₌ ^mt

m_α v_t² + 2! v_t ⋅ !

v_α

v_t² 1 − m_t m_α

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 2! v_t ⋅ !

v_α v_α² + m_t²

m_α² v_t² + 2 m_t m_α

v!_t ⋅ ! v_α

Urto non relativistico tra due particelle

•  In base alla relazione

•  Se m

<m

•  le due particelle escono nella stessa direzione

•  Se m

>m

•  le due particelle tendono a uscire in direzioni opposte

v_t² 1 − m_t m_α

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 2! v_t ⋅ !

v_α

1 m^t 0 m_a

- > v^!_t ⋅ !

v_α > 0

1 m^t 0 m_a

- < ^{v!t ⋅v!α < 0}

L’esperimento di Rutherford

•  Nel modello di Thomson dell’atomo

•  Sappiamo che l’elettrone è molto leggero (misura e/m)

•  Se l’urto fosse con l’elettrone

•  La particelle α non sarebbe apprezzabilmente deviata dall’elettrone

–  Si può verificare che neppure la carica positiva uniformemente distribuita sulle dimensioni dell’atomo deflette apprezzabilmente la particella α

+

-

m_t

m_α ∼ 10⁻⁴ !

v_o = !

v_α + m_t m_α

v!_t

≈ !

v

L’esperimento di Rutherford

•  Supponiamo che l’atomo abbia un nucleo molto piccolo ma molto pesante

–  ad esempio se consideriamo l’oro (^{A=197, m}_t ~ 2×10⁵ MeV)

–  Inoltre

–  Pertanto il momento del nucleo dopo l’urto è

•  Significa che la particella α può addirittura rinculare indietro

v_t² 1 − m_t m_α

"

#$ %

&

' = 2! v_t ⋅ !

v_α v_t² 1 − m_t m_α

"

#$ %

&

' = 2vt ⋅ v_α cosθ ≤ 2v_t ⋅ v_α

v_t² ≤ 2m_α

m_t v_t ⋅ v_α v_t ≤ 2m_α m_t v_α

v_o² = v_α² + m_t m_α v_t²

m_t

m_α ∼ 50

≤ v_α² + m_t

m_α 2m_α m_t

"

#$ %

&

'

2

v_α² = v_α² + 4m_α

m_t v_α² ∼ v_α² v_o ∼ v_α

v_t ≤ 2m_α

m_t v_α m_tv_t ≤ 2m_αv_α m_tv_t ≤ 2m_αv_o m_α!

v_o m_tv_t ∼ 2m_αv_o m_αv_o

1 − m_t

m_α ≈ −m_t m_α

Scattering coulombiano

•  Fino a questo punto abbiamo fatto dei ragionamenti qualitativi

•  Si può fare un calcolo quantitativo con interazione fra la particella α e il nucleo di tipo Coulombiano

•  La traiettoria è un ramo di un’iperbole

•  Ci sono due costanti del moto

–  L’energia totale:il campo è conservativo

–  Il momento angolare: la forza è diretta lungo e ha momento nullo

V r( ) ⁼ ₄¹ πε_o

ZZ_αe² r

z θ

χ_ο b

b = parametro d’impatto

θ = angolo di scattering

m_αv!_o

E ≡ 1

2m_αv_o² = 1

2m_αv² + U r( )

L =! !

r × m! v

r χ

!r

r_o

!r × ! F = 0

Ÿ Utilizziamo le coordinate polari r e χ

Ÿ Le coordinate del punto di massimo avvicinamento sono r_o e χ_o

Ÿ vogliamo trovare la relazione fra b e θ

DIM

Scattering Coulombiano

•  Passiamo in coordinate polari r e χ:

–  Se scomponiamo la velocità nelle componenti radiale e trasversale:

–  Equazione della traiettoria:

–  Angolo al punto di massimo avvicinamento:

•  dove r₀ è soluzione di

•  Un calcolo lungo ma non difficile permette di ottenere z θ

χ_ο b

m_α! v_o

r χ

b = 1 4πε_o

ZZ_αe²

2E cotθ 2 E = 1

2m_αv_o²

DIM

L = m_αv_ob = 2m_αE b

dχ dt = L

mr² v_T = L

mr v_T = rdχ

dt v_r = dr v_r = v² − v_T^{2 =} _m^{2 Ekin − L} dt

2

m²r^{2 =} 2

m E − V (r) − L² 2mr²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ dr

dt = 2

m E − V (r) − L² 2mr²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ d χ

dr = L mr²

2

m E − V (r) − L² 2mr²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1/2

θ = π-2χ₀

χ0 = dr L mr²

2

m E − V (r) − L² 2mr²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1/2

r₀ +∞

∫

E − V (r) − L² 2mr² = 0

Sezione d’urto di Rutherford

•  Dalla relazione tra parametro di impatto e angolo di deflessione:

•  ricaviamo la relazione differenziale:

•  Le particelle α che vengono diffuse tra un angolo θ e θ+dθ sono quelle che passano in un’area:

b = 1 4πεo

ZZ_αe²

2E cotθ 2

db = 1 4πε_o

ZZ_αe²

2E −1 2

1 sin²θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟dθ

dσ = 2π bdb

= 2π 1 4πε_o

ZZ_αe² 2E

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

2

cosθ 2 sin³θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟dθ

DIM

Sezione d’urto di Rutherford

•  Possiamo quindi costruire una relazione tra l’angolo solido in cui le particelle α vengono diffuse e l’area in cui sono passate:

b = 1 4πε_o

ZZ_αe²

2E cotθ

2 db = 1

4πε_o

ZZ_αe² 2E −1

2

1 sin²θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟dθ

dσ ¹

2

cosθ ²

sin³θ ^2dϕdθ

bdϕdb = 1 4πε_o

ZZ_αe² 2E

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

2

cosθ 2 sin³θ 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟dϕdθ

= 1 4

2 cosθ ^2sinθ ²

sin⁴θ 2 dϕ^dθ

= 1 4

sinθ

sin⁴θ 2dϕ^dθ

= 1 4

1

sin⁴θ 2dΩ

DIM

Sezione d’urto di Rutherford

•  Otteniamo quindi l’espressione:

•  Supponiamo di avere un fascio di n₀ particelle per unità di area incidenti su un atomo:

–  Il numero di particelle diffuse in un angolo solido dΩ sono quelle che entrano nell’area corrispondente:

•  Se il fascio incide su N_T atomi:

•  In un caso realistico un fascio di N₀ particelle di sezione S incide su un bersaglio di spessore dz con n_T atomi per unità di volume:

•  Il numero totale di particelle deflesse nell’angolo solido dΩ sarà:

dσ

dΩ = 1 4πε_o

ZZ_αe² 4E

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

sin⁴θ 2

dn( )θ ^{= No}

S n_TdzS dσ dΩdΩ

dn( )θ ^{= n}0dσ = n₀ dσ dΩdΩ dn( )θ ^{= n0NT dσ}

dΩdΩ

n₀ = N₀ S N_T = n_TdzS

= N_on_Tdz dσ dΩdΩ

Sezione d’urto differenziale per scattering coulombiano

Sezione d’urto di Rutherford

•  La sezione d’urto totale si può ricavare da quella differenziale per integrazione:

•  Nel caso dello scattering Coulombiano è facile rendersi conto che l’integrale non è convergente per piccoli angoli:

–  Effetto del grande range delle forze elettromagnetiche: per quanto grande sia b, c’è sempre almeno una piccola deviazione.

–  In realtà per b maggiore della dimensione atomica, gli elettroni schermano completamente la carica nucleare.

•  La formula per la sezione d’urto totale escludendo un piccolo angolo:

σ = dϕ ^sinθ ^dθ ^dσ dΩ

0

∫

2π

∫

σ = 2π ^ZZα 4

!c E α

!

"

# $

%&

2 sinθ ^dθ sin⁴θ 2

0

∫

σ θ( >θ₁) ^{= 4π 1}

4πε_o

ZZ_αe² 2E

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 1

sin²θ₁ 2 − 1

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

= 8π ^ZZα 4

!c E α

!

"

# $

%&

2 d sin( θ ²)

sin³θ 2

0

∫

ESERCIZI

Esercizio 1 (vedi es. 1.11 del Das-Ferbel)

•  Considerare una sorgente collimata di particelle α di 8

MeV di energia, che fornisce 10

α/s su un foglio d’oro

di 0.1 mm. Che tasso di conteggio ci si aspetta in un

rivelatore che sottende un anello conico di Δθ=0.05

rad ad un angolo di scattering di 90°? Lo si confronti

con il tasso a 5°. Il risultato pone dei problemi?

Esercizio 2

•  Calcolare la sezione d’urto differenziale e totale per l’urto di una particella puntiforme di massa

trascurabile su una sfera rigida di raggio R

Esercizio 3

•  La derivazione della sezione d’urto per scattering

coulombiano, è stata eseguita assumendo un centro di forze fisso.

•  Sapendo che, per una forza centrale, si può scomporre il problema a due corpi in un moto relativo con una massa pari alla massa ridotta dei due corpi e nel moto del centro di massa:

–  dimostrare che il dΩ nel sistema del centro di massa è uguale al dΩ del moto relativo

–  determinare la relazione tra la sezione d’urto nel sistema del centro di massa e quella nel sistema del laboratorio:

dσ

dΩ_lab. = dσ dΩ_c.m.

dΩ_c.m.

dΩ_lab.

Esercizio 4

•  Il neutrone venne osservato come una radiazione neutra in grado di trasferire un’energia significativa ai nuclei.

–  dimostrare che la massima energia trasferita da un proiettile di massa ed energia m₁ ed E₁ ad un bersaglio di massa m₂ è:

–  Chadwick misurò (con errori relativa- mente grandi) una radiazione neutra che produceva un’energia massima di rinculo di 5 MeV su nuclei di idrogeno e di 1 MeV su nuclei di azoto. Che e- nergia e massa ha questa radiazione?

(usare i pesi atomici per determinare le masse dei nuclei)

E_max = E₁ 4ζ

(1 +ζ^)2, ζ = m₁ m₂