Prova scritta di Complementi di Matematica
per il c.l.s. in Biotecnologie Industriali
(1) Nello spazio coordinato si considerino la retta r
(x + y − 2 = 0
3y − 2z − 5 = 0 , il punto P = (3, 1, 2) ed il piano π : x + 3y − z = 0.
Si determinino quindi:
(a) la retta s passante per P , parallela a π ed incidente r;
(b) il coseno dell’angolo tra r e s;
(c) la distanza tra s e π.
(2) Si dica per quali a, b ∈ R l’applicazione
z = f (x, y) = ax2+ by2− xy − 5
ha curva di livello 0 tangente nel punto (1, 1) alla retta x + y − 2 = 0 del piano coordinato xy.
(3) Si consideri l’applicazione reale in due variabili reali z = f (x, y) = x − 1/y + x/y.
(a) Si determini la natura degli eventuali punti critici di f .
(b) Si determinino i punti di massimo e di minimo assoluti per la f ristretta al dominio chiuso e limitato
D = {(x, y) ∈ R2| x ≥ 0, y ≤ −1/2, 5x − 6y ≤ 18}.
(4) Si calcoli l’area dell’insieme S del piano costituito dai punti che soddisfano, in coor- dinate polari, alle condizioni
(0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ ρ ≤ log(θ + 1) .
(5) Si calcoli il volume del solido
V =(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x + y ≤ 1, −1 ≤ x − y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ (x + y) ex2−y2 (Sugg.: si considerino nuove coordinate u = x + y, v = x − y, z = z).
(6) Si determini il carattere di ciascuna delle seguenti serie:
+∞
X
n=1
(√n
e − 1)3/2 n sin(1/n2),
+∞
X
n=1
(n − 1)103n
√ n! .
NOTA BENE:
la Seconda Prova Parziale consiste esclusivamente negli esercizi (4), (5), (6).
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